Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1860] Lóczi Lajos2013-05-07 17:23:59

Az nem lenne jó, ha itt mindkettőnknek igaza lenne és a területet kétféleképpen is lehetne definiálni.

Konkrétan, melyik részlépéssel nem értesz egyet a levezetésemben? Továbbá képzeljük azt, hogy az egyik processzor a bal oldali területet számolja ki, a másik pedig a jobb oldalit: az egyik nem tud arról, hogy a másik "ugyanannyira közelíti-e a 0-t".

Mi legyen a megoldás?

Előzmény: [1859] polarka, 2013-05-07 17:18:23
[1859] polarka2013-05-07 17:18:23

Mindkettőnknek!?

Az nyilván igaz, hogy [-1,0) között a fv -1 szerese a (0,1] közötti részének, tehát előjeles összegük 0-ra kell kijöjjön, ha ugyanannyira közelíted a 0-t mindkét oldalról. Ha pedig a feltétel nem teljesül, akkor nyilván nem lesz 0.

Előzmény: [1858] Lóczi Lajos, 2013-05-07 16:53:33
[1858] Lóczi Lajos2013-05-07 16:53:33

Akkor viszont ellent kell mondjak Neked, mert szerintem a terület


\int_{-1}^1 \frac{1}{x}dx=\int_{-1}^0 \frac{1}{x}dx+\int_{0}^1 \frac{1}{x}dx=\lim_{\delta\to 0^+}\int_{-1}^{-\delta} \frac{1}{x}dx+\lim_{\delta\to 0^+}\int_{2\delta}^{1} \frac{1}{x}dx=\lim_{\delta\to 0^+}(\ln|\delta|-\ln|2\delta|)=-\ln{2}.

Most akkor kinek van igaza?

Előzmény: [1857] polarka, 2013-05-07 16:36:30
[1857] polarka2013-05-07 16:36:30

Igen.

Előzmény: [1856] Lóczi Lajos, 2013-05-07 16:13:32
[1856] Lóczi Lajos2013-05-07 16:13:32

Egyetértek, a cél nyilván az, hogy ezeket a formulákat pl. területszámításra használjuk. De akkor meg kell kérdezzem, hogy a korábbi c1=c2=c választással kapott primitívfüggvény-sereg megfelel-e a területszámítási intuíciónknak:

\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=c-c=0?

Vagyis ebben a példában a szimmetrikus területet valóban 0-nak szeretnénk definiálni?

Előzmény: [1855] polarka, 2013-05-07 16:06:46
[1855] polarka2013-05-07 16:06:46

Talán, mert ha majdan függvény alatti területként szeretné valaki használni, akkor a következő határozott integrált kapnánk \int_{-c}^{c} \frac{1}{x} dx=c_1-c_2\ne 0, ahol c\inR+

Ami nem felelne meg a területszámítási intuíciónak.

Előzmény: [1854] Lóczi Lajos, 2013-05-07 15:17:27
[1854] Lóczi Lajos2013-05-07 15:17:27

Akkor -- továbbra is csak a valós számok körében maradva -- azt kérdezném, hogy mi az oka annak, hogy számos integráltáblázatban azt látom, amit írtál, miszerint


\int \frac{1}{x} dx=\ln |x| +c.

Azt írod, hogy az értelmezési tartomány legyen a maximális, azaz a 0-tól különböző valósok halmaza. Ha lerajzoljuk ezeket a függvényeket, akkor látszik, hogy mind tengelyesen szimmetrikusak. Én mondok egy bővebb függvényosztályt eredményül:


\int \frac{1}{x} dx=\ln(x) +c_1,

ha x>0, és


\int \frac{1}{x} dx=\ln(-x) +c_2,

ha x<0. Vagyis itt a két ág függőleges eltolása már nem feltétlenül ugyanaz.

Miért nem ezt a bővebb osztályt szokták akkor a könyvek feltüntetni?

Előzmény: [1851] polarka, 2013-05-07 10:52:50
[1853] polarka2013-05-07 11:56:53

De ezen értékek csak a képzetes részt befolyásolják. Nem látom, hogy miért lenne probléma, ha tudok arról is, hogy az illető milyen úton (jelen esetben hányszor kerüli meg az origót és mekkora két pont közötti szögtávolság).

Mert én úgy látom, hogy az integrál felfogható úgy mint, egy vektor-vektor fv-ben végzett mozgás során végzett vonalintegrál. Ahol a valós rész a szokásos skalárszorzatot, a képzetes rész pedig a vektoriális szorzat értékét hordozza.

Előzmény: [1852] Alma, 2013-05-07 10:58:12
[1852] Alma2013-05-07 10:58:12

Az a probléma (határozott integrálban gondolkodva), hogy míg valósban két szám között csak egyféle szakaszon tudsz integrálni (a valós tengely megfelelő részén), a komplex síkon két számot különböző görbékkel tudsz összekötni. Így c1 és c2 közötti határozott integrált több különböző görbén is értelmezheted, és sajnos ezek bizonyos függvényeknél különböző értékeket adhatnak. Ha a függvényednek nincs pólusa, akkor a különböző görbéken elvégzett integrálok értékei megegyeznek. Az 1/x függvénynek van pólusa x=0-ban.

Előzmény: [1851] polarka, 2013-05-07 10:52:50
[1851] polarka2013-05-07 10:52:50

De R\subsetC, így amit leírtam \varphi=0 vagy \pi(+k2\pi) esetén visszaadják a valós értelmezést (annál kicsit többet a fázisok miatt). k\inZ; r\inR+; \varphi\inR

Ha x\inR\{0}-ra szorítkozunk, és értékkészletnek is R-et vesszük, akkor az előzőkből Re(\sim)-vel adódik:

\sim=ln |x|+c

Előzmény: [1849] Lóczi Lajos, 2013-05-07 07:01:45
[1850] Fálesz Mihály2013-05-07 09:10:20

Az 1. képlet tényleg működik \Delta\ge0-ra is.

Előzmény: [1845] polarka, 2013-05-06 17:27:43
[1849] Lóczi Lajos2013-05-07 07:01:45

Ne szaladj ennyire előre :) Egyelőre csak a valós számok körében akarjunk dolgozni, akárcsak korábban. De kérlek, ne csak formulákat írj, hanem az általuk meghatározott függvények értelmezési tartományait is tüntesd fel.

Előzmény: [1848] polarka, 2013-05-06 23:47:03
[1848] polarka2013-05-06 23:47:03

Én a következőképpen gondolnám:

\int\frac{1}{x}dx=\ln x +c=\ln re^{i\varphi}+c=\ln r+i\varphi+c

ahol x\inC, ha nem r és \varphi az adott, akkor r=\sqrt{{\rm Im}(x)^2+{\rm Re}(x)^2}; \varphi=arctan 2(Im(x),Re(x))

Előzmény: [1847] Lóczi Lajos, 2013-05-06 19:29:36
[1847] Lóczi Lajos2013-05-06 19:29:36

Még egy dologra rá szeretném irányítani a figyelmet. De ehhez az kell, hogy megmondd, hogyan értelmezed pontosan az \int\frac{1}{x}dx szimbólumot.

Előzmény: [1846] polarka, 2013-05-06 17:47:25
[1846] polarka2013-05-06 17:47:25

Nem a megoldás volt gyanús, hanem azon kezdtem gyanakodni, hogy ebben az integrálban azért több van, mint amit a bolygómozgásnál közöltek és be is igazolódott, hogy azért mégsem olyan egyszerű és volna még mit diszkutálni róla, hogy minden világos legyen. Ott csak közöltek egy megoldást, ami azért ránézésből egyáltalán nem volt triviális (ott még ez az egyszerűbb alak sem volt leírva).

Elfogadom én, hogy valós számokról van ott szó. A kérdésem arra irányul, hogy minden egyes feltétel csak azért van, hogy ez stimmeljen és nem lehetne egy megoldást felírni, amiből tovább vezetve egyéb feltételekkel, diszkusszióval megkaphatóak, amik ott szerepelnek. Mivel én úgy látom, hogy az elsőből a többi következik (azt hiszem a 3. kivételével, de lehet arról is beláttam már, hogy mégis?), ezért úgy érzem, hogy elég volna az elsőt közölni, mint megoldást. És a többit meg jelezvén, hogy azon megoldás diszkutálása bizonyos feltételek mellett és nem pedig egyenrangú megoldások. De lehet tévedek, ezért is kértem a segítségetek.

Igen, ezt én is megfigyeltem, de ha találok hibát, akkor azt legalább a sajátomban átjavítom vagy bővítem, hogy világosabb legyen, hogy ott miről is van szó. Egyszer az elejétől nekiláttam ennek, míg bele nem untam és találtam bőven elgépeléseket. Vagy nagyon nem intuitív jelöléseket.

Előzmény: [1843] Lóczi Lajos, 2013-05-06 15:47:05
[1845] polarka2013-05-06 17:27:43

A logaritmus kezelését úgy gondolom, hogy jelen esetben megkönnyíti az, hogy van egy szabad konstansuk, amit majd a peremfeltétel szab meg. Ezért a komplex logaritmusok közül bármelyiket választva is végül a peremfeltételhez illeszkedő megoldásnál a konstans majd helyretesz mindent.

Igazad van, de a következőképpen egyeznek meg R-ben, \frac{1}{\sqrt{a}} szorzótól eltekintve:

{\rm ar~ch~} \frac{2ax+b}{\sqrt{|\Delta|}}= \ln\left( \frac{2ax+b}{\sqrt{|\Delta|}} + \sqrt{\frac{(2ax+b)^2}{|\Delta|}-1}\right) = \ln\left[\frac{1}{\sqrt{|\Delta|}}\left(2ax+b +\sqrt{(2ax+b)^2-{|\Delta|}}\right)\right] = \ln\left(2ax+b +\sqrt{(2ax+b)^2-{|\Delta|}}\right) + C

= az 1. sorral \Delta<0 esetén, ami pedig hasonlóan \Delta-val felírva: \ln\left(2ax+b +\sqrt{(2ax+b)^2+{\Delta}}\right) -val egyezik meg.

Azt figyeltem meg, hogy az 1. egyenletben a konstansból behozva \frac{1}{\sqrt{\Delta}}-t arsh ,arch ,arcsin ,arccos  is kihozható eredményként, attól függően, hogy "a"-ra és "\Delta"-ra milyen feltételt szabunk. Tehát szerintem az 1. egyenlet általánosabb ilyen tekintetben, mint a többi.

Előzmény: [1842] Fálesz Mihály, 2013-05-06 15:27:29
[1844] polarka2013-05-06 16:22:33

Az enwikire pont onnan másolták. =)

Előzmény: [1841] jonas, 2013-05-06 14:04:09
[1843] Lóczi Lajos2013-05-06 15:47:05

Önmagában egy megoldás attól még nem gyanús, hogy többféle alakban van megadva.

Ha a paramétereket és a változókat komplexnek is megengednék, akkor már ugye a gyökjel sem lenne jóldefiniált, sem a logaritmus, csak némi magyarázkodás után a pontos értelmezési tartományról és értékkészletről.

De ha csak a valós számok között maradunk is, és azt kéred tőlük, hogy tüntessék fel az értelmezési tartományokat, akkor még nem végeztek volna a táblázat összeállításával és nem is férne el a táblázat abban a kötetben, amibe szánták. Pláne, hogy még 3 paraméter is jelen van a példában.

Valamint általános megfigyelés, hogy az ilyesféle táblázatok számtalan hibát tartalmaznak: örülni kell, hogy egyáltalán van valami formula, amit a konkrét alkalmazásban gondosan újra kell értelmezni/bizonyítani.

Előzmény: [1840] polarka, 2013-05-06 12:56:02
[1842] Fálesz Mihály2013-05-06 15:27:29

Valósban a három eset már az alapintegráloknál is jól megkülönböztethető:

 \int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} = {\rm arc~sin~} x + C;
~~~
\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}} = {\rm ar~sh~} x + C;
~~~
\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2-1}} = {\rm ar~ch~} x + C
~(x>1).

Komplex számokkal a három eset nagyjából ugyanaz, de vigyázni kell arra, hogy a különböző pontokban a végtelen sok logaritmus közül melyiket használod.

A belinkelt szövegben az első sorban szerintem a>0, \Delta<0 kellene. Jó házi feladat, hogy miért nem azt írták azt, hogy \frac1{\sqrt{a}} {\rm ar~ch~} \frac{2ax+b}{\sqrt{|\Delta|}}+C. 1. és a 3. sorban szerintem is hiányzik az abszolútértékjel. A 4. képletet (is) úgy kell érteni, hogy egy olyan intervallumban vagyunk, ahol az integrandus értelmes.

De úgysem úszod meg, hogy te magad végigszámold. Ha \Delta=0, akkor a gyökjel alatti kifejezés teljes négyzet. Ha pedig \Delta\ne0, akkor teljes négyzetté alapítás után egy lineáris helyettesítés vezet a megfelelő alapintegrálra.

Előzmény: [1840] polarka, 2013-05-06 12:56:02
[1841] jonas2013-05-06 14:04:09

A választ nem tudom, de nézd meg még az Abramowitz–Stegun kézikönyvet a 3.3.26. ponttól.

Előzmény: [1840] polarka, 2013-05-06 12:56:02
[1840] polarka2013-05-06 12:56:02

Üdv! A következőkben egy integrállal kapcsolatban kérném a segítségeteket.

A bolygómozgással kapcsolatban olvastam és futottam bele az alábbi integrálba (a Bronstejnből szedtem képen látható részletet). Amit olvastam, ott nem részletezte a megoldást, csak közölte arccos-os formában és rejtetten utalt rá, hogy ő is integráltáblázatból szedte.

Viszont én meg nekiálltam, hogy szépen levezessen, mert még nem találkoztam ezzel és gyanús volt, hogy többféle megoldás is lehetne.

Végülis az itt látható mind a 4 megoldást levezettem. Viszont a megszorításokkal és azok értelmezésével bajlódom:

- Én úgy látom, hogy az "a"-ra és "\Delta"-ra vonatkozó megkötések azért vannak, hogy ne kerüljenek elő komplex számok. Ezen megkötések tényleg szükségesek? Nem lehetséges az a,b,c,x\inC; értelmezéssel mind a 4 kifejezést ekvivalensnek tekinteni?

- Ha viszont a R halmazán kell maradnunk/akarunk maradni, akkor szerény véleményem szerint az 1. és 3. sorban ln|...| kellene legyen és a 4. sorban pedig szintén megkötést kell tenni az arcsin argumentumára. Mint az enwikin is tették (utolsó előtti szekció eleje).

- Valamint a tetszőleges konstans is hiányzik az utolsó két sorból. Vagy van valami oka ennek, amiről nem tudok?

[1839] lorantfy2013-03-11 21:19:10

Ne izgasd magad ezen! A matematikus BSC-n megtanulod az alapokat. Aztán majd az MSC-n szakosodsz gazdasági matematikára. Ott is szépen levizsgázol mindenből, ami szükséges.

Előzmény: [1838] koma, 2013-03-10 21:52:21
[1838] koma2013-03-10 21:52:21

Sziasztok!

Lenne egy meglehetősen furcsa kérdésem: Hogyan lesz valakiből jó pénzügyi matematikus?

Ez nagyon furcsán hangzik, de leírom, hogy mire gondolok. Én matematika szakon szeretném folytatni a tanulmányaimat szept-től és nem látom, hogy milyen mélységig kell az egyes területekben elmélyedni? Annyira szerteágazó a matematika és rengeteg szakkönyv van, hogy félelmetes. Például nekem mennyire kell értenem a számelmélethez ahhoz, hogy ezen a területen dolgozhassak? Én szeretnék jó szakember lenni, de még így is a szakterületen belül rengeteg könyvet találtam például sztochasztikus-differenciálterületekről. Ezek a könyvek azért többnyire átfedésben lehetnek?

Megnyugtató válaszaitokat előre is köszönöm!:)

[1837] koma2013-02-25 21:00:06

köszönöm szépen

Előzmény: [1836] Zine, 2013-02-25 17:22:56
[1836] Zine2013-02-25 17:22:56

Multivariate function, multivariable function, vector-valued function, etc. Németben nem tudok autentikus segítséget nyújtani.

Előzmény: [1835] koma, 2013-02-25 07:48:52

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]