Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1889] Sinobi2013-10-05 13:18:56

*pozitív valós számok esetén.

Előzmény: [1888] Sinobi, 2013-10-05 13:15:24
[1888] Sinobi2013-10-05 13:15:24

Igaz-e, hogy minden nemnegatív a1, a2, ... an valós számok esetén létezik olyan d valós szám, hogy \sum (ai~mod~d)^2~>(n-1) \cdot d^2? (a modulo pozitív értéket ad vissza). Ebből már következne egy másik állítás, amiből egy megint másik, amiből a feladat, de ez ehhez hozzá se tudok nyúlni, nem is látszik igaznak :( Van valakinek ötlete? Másik becslése, ellenpéldája, stb?

[1887] koma2013-10-03 22:47:30

köszi mindenkinek a hozzászólását, tényleg nem volt egy "nehéz" feladat, de valahogyan nem jöttem mégsem rá... sebaj, most már okosabb lettem, köszönöm:)

[1886] w2013-10-03 20:04:50

Ez igazából ugyanaz a megoldás: a3-3ab=35, ab=30 után a3=(x+y)3=125, x+y=5. Köszi viszont, hogy leírtad. (Direkt azért úgy mutattam be, mert kicsit általánosabb, pl. alkalmas az x+y=3, x4+y4=17 egyenletrendszer megoldására is.)

Fálesz Mihálynak is köszönöm a megoldási ötletét/módszerét, nagyon érdekes volt.

Előzmény: [1884] Alekszandrov, 2013-10-03 11:20:52
[1885] Fálesz Mihály2013-10-03 13:10:08

Egy további, bár kétségtelenül kevésbé elegáns lehetőség, hogy a konstansokat elimináljuk, aztán a kapott homogén polinomot szorzattá alakítjuk:

6(x3+y3)-7(x2y+y2x)=6.35-7.30=0

(x+y)(2x-3y)(3x-2y)=0.

...

Előzmény: [1884] Alekszandrov, 2013-10-03 11:20:52
[1884] Alekszandrov2013-10-03 11:20:52

Van másik megoldás is, nem kell ehhez a és b! :-)

A második egyenletet szorozd meg hárommal, majd add össze az elsővel, így x+y köbe egyenlő 125-tel, tehát x+y=5. Majd a második egyenletet szorzattá alakítva, az x+y helyébe beírva az 5-öt, kapjuk: xy=6 Ez a két egyenlet már ránézésre is megoldható!

Előzmény: [1883] koma, 2013-09-30 10:02:34
[1883] koma2013-09-30 10:02:34

köszi szépen a segítséget

Előzmény: [1882] w, 2013-09-29 22:42:37
[1882] w2013-09-29 22:42:37

Szia Koma!

Az 1) feladatod klasszikus példa az ún. elemi szimmetrikus polinomok alkalmazására. Tehát az ilyen szimmetrikus kifejezéseket ki lehet fejezni a:=x+y és b:=xy segítségével: 35=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab és 30=x2y+xy2=xy(x+y)=ab. Innen már nem olyan nehéz befejezni.

2) 3) Vedd észre, hogy a2\ge0 és |a|\ge0, ahol egyenlőség épp akkor áll fenn, ha a=0.

Előzmény: [1881] koma, 2013-09-29 20:13:57
[1881] koma2013-09-29 20:13:57

Az alábbi feladatok megoldásában kérném a segítségeteket:

1,Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! x3+y3=35, b, x2y+y2x=30

ugyebár a= (x+y)(x2-xy+y2) b= xy(x+y), de hogyan tovább?

2, (x2-1)2+(x4-1)2=0 látom, hogy másodfokú egyenletre vezet, de nem látom a megoldását

3, abs (x+y-13) + abs (y-z-5) abs (y-z-2) =0

nagyon szépen köszönöm előre is a segítséget, és további szép estét kívánok!

[1880] koma2013-09-28 20:58:01

köszi szépen a cikkeket, valóban elírtam...

további szép estét!

Előzmény: [1879] w, 2013-09-28 19:30:16
[1879] w2013-09-28 19:30:16

A rekurzív képletet rosszul írtad be. Amúgy ha az 1) egy elsőrendű, 2) egy másodrendű rekurzió, akkor itt megtalálhatod a megoldást.

Előzmény: [1878] koma, 2013-09-28 18:59:33
[1878] koma2013-09-28 18:59:33

Sziasztok, akadt két problémám, nagyon megköszönném, ha valaki kisegítene.:)

1, Határozza meg az a1=1,an+1=2an (n term szám) rekurzív sorozat képletét.

2,Mutassuk meg, hogy az alábbi rekurzív sorozat monoton csökkenő: a1=2,a2=1,an+1=5an-6an-1,(n\ge2)

köszönöm szépen a segítséget.

[1877] bianka2013-09-28 10:25:42

szia!

egy gyors kérdés (skicc)

köszi! ...bianka

[1876] gyula602013-09-17 20:11:06

Javaslom az x=\frac{1-t}{1+t} helyettesítés alkalmazását, amely után a kanonikus alakra hozás jobban megvalósítható.

A keresett primitív fügvényt a következő két f1(x) és f2(x) függvény összege állítja elő:

f_1(x)=-\frac{1}{\sqrt2}arc\tg\bigg[\frac{\root\of{x^2+x+1}}{\sqrt2(x-1)}\bigg],

f_2(x)=-\frac{1}{\sqrt6}\ln\bigg[\frac{\sqrt2(x+1)-\root\of{3(x^2+x+1)}}{\root\of{(x^2-x+1)}}\bigg].

Előzmény: [1874] juantheron, 2013-09-02 21:12:42
[1875] Fálesz Mihály2013-09-04 06:52:34

Try y=\sqrt{x^2+x+1}-x.

Előzmény: [1874] juantheron, 2013-09-02 21:12:42
[1874] juantheron2013-09-02 21:12:42

\int \frac{1}{(x^2-x+1)\sqrt{x^2+x+1}}dx

[1873] Lóczi Lajos2013-05-24 15:17:24

Kedves Mihály,

szerintem érdemes elkülöníteni a különböző célcsoportokat.

A gyakorlatban előkerülő szakaszonként sima függvények integrálásához mindenki a Newton--Leibniz-formulát fogja akarni használni; ez a célcsoport nem akar Dirichlet-függvényt integrálni, vagy bármit az integrál definíciója alapján kiszámítani. A HK-elmélet keretében a Newton--Leibniz-tételkör nagyon természetes módon tárgyalható, ami nem mondható el a Riemann- vagy a Lebesgue-elméletről. Ez a célcsoport nem fog semmilyen \delta függvényt várni, és nem kapnak sokkot szörnyű függvényektől: a mindennapi praktikus számításokban nem látnak ilyet.

Egy következő célcsoport lehet az, akik látják, hogy van pl. Dirichlet-függvény, és ezt konstans \delta-val nem lehet integrálni (azaz Riemann-értelemben), de egy kicsit bonyolultabb \delta-val már lehet. Ha e célcsoport tagjai ezt a \delta függvényt bonyolultnak találják, akkor nekik a Lebesgue-elmélet sem lenne emészthető. De itt sem muszáj a "definíció" szerinti integrálást erőltetni, a Dirichlet-fv. integráljának értéke a tételekből úgyis "kijön".

Aki pedig absztrakt Lebesgue-elméletet akar tanulni, annak -- a Lebesgue-elmélet megismerése előtt -- nagyon tanulságos lehet látni, hogy milyen gyorsan el lehet jutni egy [a,b]-n értelmezett függvény integráljának definíciójához, amit később majd Lebesgue-integrálnak fogunk hívni és egy bonyolultabb apparátus keretében absztraktabban és általánosabban felépíteni.

Előzmény: [1872] Fálesz Mihály, 2013-05-24 10:34:11
[1872] Fálesz Mihály2013-05-24 10:34:11

Kedves Lajos,

A kérdésed az volt, hogy a HK integrál miért nem vette át pl. az egyetemi tananyagban a Riemann-integrál helyét.

Több okot is látok. Az egyik didaktikai. Én legalábbi személy jobban szeretem, ha a világot apránként fedezzük fel. Előbb találunk néhány mozaikdarabot, ezeket tanulmányozzuk, emésztjük, és csak utána építünk fel valami általánosabb rendszert, aminek a sok darab mind része. Számomra mindig elrettentő példát jelentenek az olyan esetek, ahol előbb kimondanak és bebizonyítanak egy nagyon absztrakt tételt, és utána ennek speciális esete lesz a többi, külön-külön sokkal érdekesebb állítás.

A másik ok, hogy nem akarunk túl sok fölösleges dolgot tanítani. Egy mérnök vagy egy alkalmazott matematikus szép, szakaszonként sima függvényekkel dolgozik, és valószínűleg soha nem akarja mondjuk a Dirichlet-függvényt integrálni. Nekik bőven elég az (improprius) Riemann-integrál, és az x2 integrálása sem okoz túl nagy traumát egyenletes felosztással. Semmi nyereség nincs mindaddig, amíg csak véges sok pont közelében van gond a függvénnyel. Az improprius integrált (végtelen inervallumokon) úgysem ússzuk meg.

Azt is írtad, hogy a definíciók közötti különbség alig észrevehető, a nyereség viszont nagy.

Az alig észrevehető különbség valójában óriási. Persze, mondhatjuk ártatlan arccal, hogy konstans \delta helyett inkább egy pozitív értékű függvényt veszünk, de ez félrevezető. A többség valami viszonylag szép \delta függvényt fog várni, tévesen. Nehezen fogják megemészteni azt a sokkot, hogy a várt szakaszonként folytonos függvény helyett miféle szörnyűségekbe ütközhetnek; hogy egy kicsit csúnyább függvény (pl. a Dirichlet-függvény) integrálásához mennyire bonyolult \delta függvényt érdemes választani.

Ha pedig elkezdjük vizsgálni, hogy egyes függvények miért (nem) HK integrálhatók, óhatalanul beleütközünk a Lebesgue-mérték hiányába. Ezért gondolom, hogy a HK integrállal a mértékelmélet után érdmes foglalkozni.

Előzmény: [1870] Lóczi Lajos, 2013-05-23 22:23:19
[1871] Lóczi Lajos2013-05-23 23:58:10

Szerintem az alapvető tételek bizonyításai nem nehezebbek, lásd pl. Lee Peng-Yee: Lanzhou Lectures on Henstock Integration c. művét 1989-ből, amely a fogalom felépítésére koncentrál.

Vagy érdemes egy pillantást vetni erre a masszívabb könyvre Brian S. Thomson: Theory of the integral, amely összehasonlító szempontból tárgyal viszonylag sok integrálfogalmat.

De hogy a Riemann-integrál fogalma is rejteget még nemtriviális részleteket: 2009-ben adták meg annak szükséges és elégséges feltételét, hogy egy F függvény előálljon, mint egy f Riemann-integrálható függvény integrálfüggvénye. Azaz: mik a feltételek F-re, hogy létezzen hozzá egy c konstans és f Riemann-integrálható függvény, hogy F(x)=c+\int_a^x f(t)dt legyen (x\in[a,b]).

Előzmény: [1868] jonas, 2013-05-23 15:10:52
[1870] Lóczi Lajos2013-05-23 22:23:19

Ahhoz mennyi előkészületre van szükség (a definíciókkal együtt), hogy az x\mapstox2 függvény Lebesgue-integrálját ki tudjuk számítani a [0,1] intervallumon?

Véleményem szerint ennél kevesebb vesződséggel jár a Dirichlet-függvényről megmutatni a definíciókból, hogy HK-integrálja 0.

Ha nem cél az absztrakt mértékelmélet tanulmányozása, a HK-integrál fogalma kifizetődőbben felépíthető, mint a Lebesgue-integrálé.

Előzmény: [1869] Fálesz Mihály, 2013-05-23 17:09:02
[1869] Fálesz Mihály2013-05-23 17:09:02

Szerintem nem olyan egyszerű ez az integrálfogalom, és inkább a mértékelmélet tárgyalása után érdemes foglalkozni vele.

Például próbáljuk integrálni a Dirichlet-függvényt, vagy a Cantor halmaz összes racionális eltoltja uniójának karakterisztikus függvényét a [0,1] intervallumban.

Előzmény: [1865] Lóczi Lajos, 2013-05-14 23:49:32
[1868] jonas2013-05-23 15:10:52

És nem okozza ez azt, hogy nehezebb bebizonyítani az alapvető tételeket rá, mint a Riemann-integrálra?

Előzmény: [1867] Lóczi Lajos, 2013-05-23 15:00:42
[1867] Lóczi Lajos2013-05-23 15:00:42

De ebben az esetben pontosan ezt gondolom. A HK-integrál éppoly természetes, ha vki először hallja, és nem csak elsős matematikusokra gondolok. A mögöttes tartalom pedig csupán annyi, hogy ha a függvény valahol csúnyán változik, akkor a téglalapos közelítőösszegeket is ennek megfelelően finomítsuk: egy igazi adaptív algoritmus.

Előzmény: [1866] Micimackó, 2013-05-23 09:26:00
[1866] Micimackó2013-05-23 09:26:00

Nem gondolhatod, hogy matematikában csak mert két dolog definíciója pofára hasonló, hasonlóan nehéz lesz megérteni a fogalmakat :) A Riemann integrál egy elsős matematikus számára könnyen érthető és természetes, míg ezen igen csak törnie kéne a fejét, és nem is biztos hogy rendesen megértené miről is van szó (és így az egész csak formális zúzás lenne neki).

Előzmény: [1865] Lóczi Lajos, 2013-05-14 23:49:32
[1865] Lóczi Lajos2013-05-14 23:49:32

Csak 1-2 morzsát írok, a többit az idézett oldalakon megadott összefoglaló könyvekből jól áttekintheted egy kis kutatómunka után.

Rejtély számomra, hogy a Henstock--Kurzweil-integrál (HK) miért nem vette át pl. az egyetemi tananyagban a Riemann-integrál helyét: a definíciók közötti különbség alig észrevehető, a nyereség viszont nagy. Ki és miért ennyire konzervatív?

A HK-integrál egyik hátránya, hogy (alapesetben) csak intervallumokon tudunk vele integrálni. Egy másik hátránya, hogy a HK-integrálható függvények tere nem teljes.

A Lebesgue-integrál (L) esetében a fenti teljesség teljesül: ez az alkalmazásokban döntően fontos tényező, ami a mérleget itt az L-integrál javára billenti. Az L-integrállal bonyolult halmazokon is lehet integrálni. Ezt az integrálfogalmat a valós számok halmazánál absztraktabb terekre könnyű kiterjeszteni.

A különféle integrálfogalmak fejlődését az alkalmazások motiválták: egy fontos elméleti/gyakorlati kérdés alapos tanulmányozásakor sokszor kifejlesztettek egy új integrálfogalmat.

Az idézett oldalon felsorolt integrálfogalmak nem feltétlenül összehasonlíthatók Venn-diagramon: más típusú (máshol értelmezett/más típusú térbe képező) függvényekre vannak kitalálva.

Előzmény: [1864] polarka, 2013-05-14 10:08:02

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]