Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2215] HoA2019-10-25 20:29:47

Bocs, elírtam. Nem 100 autós, hanem 100 ajtós - vagy függönyös - melyek közül csak egy mögött van autó. De a rabokra alkalmazást nem érinti.

Előzmény: [2214] HoA, 2019-10-25 14:26:18
[2214] HoA2019-10-25 14:26:18

Szerintem, mint azt a "Csak logika" [501] -ben írtam, a legmeggyőzőbb a 100 autós - itt 100 rabos - változat. Vagyis ne 3, hanem 100 rab legyen és a börtönőr az okos rabnak 98 nevet áruljon el, akik nem kaptak kegyelmet. Továbbra is 1/100 az okos rab szabadulásának valószínűsége?

Előzmény: [2213] marcius8, 2019-10-24 18:27:25
[2213] marcius82019-10-24 18:27:25

első közelítésben én is erre gondoltam (monthy hall paradoxon), csak nem tudom, hogy magántanítványnak hogyan magyarázom el. Köszi a segítséget.

Előzmény: [2212] Fálesz Mihály, 2019-10-24 09:52:30
[2212] Fálesz Mihály2019-10-24 09:52:30

Kecskés játék, már volt: Csak logika, 530. hozzászólás körül.

Előzmény: [2211] marcius8, 2019-10-23 20:51:38
[2211] marcius82019-10-23 20:51:38

Egy börtönben 3 rab van. A börtönőrök sorsolás útján eldöntik, hogy melyik 1 rab kap kegyelmet. Minden rab egyforma eséllyel kaphat kegyelmet. A rabok is tudják, hogy közülük 1 rab kegyelmet kapott, de ők nem tudják, hogy ki a szerencsés. Az egyik nagytudású rab az egyik börtönőrt megfűzi valahogy, és így ez a börtönőr elárulja, hogy a másik két rab közül az egyikről, hogy az nem kapott kegyelmet. A börtönőr úgy gondolja, hogy ezzel nagy titkot úgysem árult el, mert a másik két rab közül valamelyik biztosan úgysem kapott kegyelmet. A nagytudású rab meg úgy gondolkozik, hogy most már a 3 rab közül az egyikről biztosan tudja, hogy az nem kapott kegyelmet, tehát így neki már 1/2 az esélye, hogy kegyelmet kapott. A börtönőrnek, vagy a rabnak van igaza?

[2210] Lóczi Lajos2019-06-09 01:28:40

https://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_quaternion

Előzmény: [2209] marcius8, 2019-05-25 14:22:32
[2209] marcius82019-05-25 14:22:32

Tudja valaki, hogy a kvaterniók halmazában érvényes-e a számelmélet alaptétele? Mindenki segítségét előre is köszönöm. Annyit tudok, hogy itt egy kvaternió akkor egész, ha minden koordinátája egész szám, vagy minden koordinátája feles szám. (feles szám, olyan 2 nevezőjű tört, amelynek számlálója páratlan.) Ami nagyon nehezíti az egész problémát: A kvaterniók körében a kommutativitás hiánya miatt nem tudom vizsgálni az alaptételt az egész számok és a Gauss-egészek közötti számelmélettel analóg módon.

[2208] marcius82019-03-02 18:04:38

Talán van, például, ha tóruszt négyszögekkel közelítünk.

Előzmény: [2207] marcius8, 2019-03-02 14:05:17
[2207] marcius82019-03-02 14:05:17

Van-e olyan poliéder, amelynek minden csúcsából legalább 4 él indul ki, és minden lapjának legalább négy éle (oldala) van?

[2206] titok1112019-01-22 15:13:20

Szia!

És hogyan kellene ezt megfogni az adatok tükrében? Sajna ennyire már nem megy a matek, évek óta nem nagyon foglalkoztam vele... És még annyi, hogy esetleg kisegítő adat lehetne a hordó teljes űrtartalma is.

Előzmény: [2205] jonas, 2019-01-21 13:25:25
[2205] jonas2019-01-21 13:25:25

Használd azt a közelítést, hogy a hordó palástján a pallók olyan parabolák, amiknek a tengelye merőleges a hordó tengelyére és a hordó középpontján megy át, a hordó alja és teteje pedig sík. A parabolikus alakú pallók nem olyan valósághűek, mint a kör alakú pallók (tórusz alakú hordó), de sokkal könnyebb vele pontos számítást végezni, és a legtöbb boroshordónál szerintem megfelelő. A magasság szerinti integrálás belsejében így egyszerű negyedfokú polinom lesz, ezért a pontos értékét is ki tudod számolni a megadott adatokból.

Előzmény: [2204] titok111, 2019-01-18 14:07:50
[2204] titok1112019-01-18 14:07:50

Lenne egy probléma, amit meg kellesz csinálni Excelben is. Ráadásul kiemelt probléma! Adott egy boroshordó. Meg tudom mérni a d és D átmérőket, valamint az l hosszát. (Tegyük fel, hogy szimmetrikus, a gantok párhuzamosak, stb) Olyan számítás kellene, hogy ha lemérem, hogy milyen h magasságig van benne a bor, akkor d,D és l függvényében kiszámolja, hogy a h magassághoz hány liter bor tartozik. (Nyilván ezek normál hordók, tehát fekvő helyzetben vannak, nem gantra állítva, a dugó nyílás pont a legtetején és középen helyezkedik el.) Hogyan kellene ezt megfogni? mert ez olyan kettős integrálnak tűnik alsó hangon. Egyébként elég lenne 1 cm-es lépésekben diszkrét értékek meghatározása is, hiszen általában 100-400 literes hordőkról van szó, így a h értéke max 100 cm körüli lehet. Régen voltak gönci hordóhoz táblázatok, különböző űrmértékek szerint, de már régóta nem találok ilyet. Előre is köszönöm!

[2203] Fálesz Mihály2019-01-10 18:36:26

Ha szélsőértékhelyeket keresünk csak első deriválttal, akkor igazából kizárásos alapon találjuk meg a szélsőértékhelyeket. Olyan, mint egy klasszikus krimitörténet.

Valahonnan tudjuk hogy bűncselekmény történt: valaki betört az MNB-be és felvette a maximumot. Rajta kívül egy idióta is betört, de ő a minimumot vette fel. Az egyiket börtönbe akarjuk zárni, a másikat diliházba. Mondjuk van egy folytonos \(\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb{R}\) függvényünk: ennek a Weierstrass-tétel miatt biztosan van legnagyobb és legkisebb értéke.

A felügyelő kikérdezi az összes gyanúsítottat, vagyis az összes \(\displaystyle [0,1]\)-beli pontot, hogy milyen alibije van. Aki igazolni tudja, hogy ő egy olyan belső pont, ahol \(\displaystyle f\) differenciálható, és a derivált nem nulla, annak alibije van: az ilyen helyeken a függvény lokálisan szig. növekvő/csökkenő, így biztosan nincs szélsőérték sem.

A film utolsó részében összegyűjtjük azokat, akiknek nincs alibije: az intervallum végpontjait, azokat a belső pontokat, ahol a függvény nem differenciálható, vagy éppen differenciálható, de a derivált nulla. Ha szerencsénk van, akkor kevés (véges sok) gyanúsított maradt: ezeket kikérdezzük, vagyis behelyettesítjük a függvénybe. Így kiderül, hogy hol van a maximum és minimum, és kik azok a gyanúsítottak, akik csak rosszkor voltak rossz helyen.

A Lagrange-multiplikátor módszer is ugyanilyen, bizonyos pontoknak alibit biztosít. Annyit állít, hogy azok a pontok, ahol az összes feltétel (egyenlet) teljesül, a feltételek és a célfüggvény folytonosan differenciálható (ehelyett az is elég, ha abban a pontban differenciálhatóak és egy környezeben foytonosak), továbbá a feltételek és a célfüggvény gradiens vektorai lineárisan függetlenek, ott nincs feltételes lokális szélsőértékhely. Ezt persze megfordítva szoktuk használni: ahol feltételes lokális szélsőértékhely van, ott a gradiensvektorok vagy nem is léteznek, vagy lineárisan összefüggőek, tehát valamelyik felírható a többi gradiens egy lineáris kombinációjaként; ebben a lin. kombinációban szereplő együtthatók a "Lagrange-multiplikátorok".

* * *

Téged persze a második derivált szerepe érdekel; sajnos a szinguláris pontokban, ahol feltételek gradiensvektorai lineárisan összefüggőek, ott az egyenletrendszer lokális megoldásai többnyire nem adnak szép felületdarabot. Akár már egyetlen feltétel/egyenlet esetén is, ahol a derivált a nullvektor, ronda lehet a megoldáshalmaz.

A reguláris pontokban, ahol az egyenleteink gradiensvektorai függetlenek, ott az implicitfüggvény-tétel szerint van szép lokális megoldás, felületdarab, és néhány változó egyértelműen meghatározza a többit. Lehetséges egy ügyesen összerakott függvény második deriváltmátrixának definitségét vizsgálni. Ehhez mindenféle parciális derivált mátrixokkal és inverzeikkel kell számolni. Nem szép, de legalább lehetséges...

* * *

A legegyszerűbb eset persze a 2 változó, 1 feltétel. Legyen \(\displaystyle f(x,y)=0\) a feltétel; ezen a "görbén" keressük egy \(\displaystyle g(x,y)\) függvény lokális szélsőértékeit. Tegyük fel, hogy egy \(\displaystyle (a,b)\) rajta van a görbén, tehát \(\displaystyle f(a,b)=0\), és a pont egy környezetében \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) is kétszer differenciálható. És azt is tegyük fel, hogy \(\displaystyle (a,b)\) a görbének nem szinguláris pontja, vagyis legalább az egyik parciális derivált nem \(\displaystyle 0\); mondjuk az \(\displaystyle y\)-szerinti. (A parciáls deriváltakat alsó indexekkel fogom jelölni, tehát \(\displaystyle f_2(a,b)\) az \(\displaystyle f\) második változó szerinti parciális deriváltja: \(\displaystyle f_2(a,b)\ne0\).)

Az implicitfüggvény-tétel szerint van \(\displaystyle (a,b)\) körül egy \(\displaystyle A\times B\) téglalap, amelyben görbénk egy függvény grafikonja: van egy egyértelmű \(\displaystyle h:A\to B\) implcit függvény, ami megoldása az \(\displaystyle f(x,h(x))=0\) egyetletnek; ez a \(\displaystyle h(x)\) függvény differenciálható is, és

\(\displaystyle h'(x) = -\frac{f_1(x,h(x))}{f_2(x,h(x))}.\)

A függvényt akár még egyszer differenciálhatjuk, ebből látjuk, hogy a \(\displaystyle h(x)\) függvény kétszer is differenciálható.

Minket az érdekel, hogy a \(\displaystyle G(x)=g(x,h(x))\) függvénynek milyen szélsőértéke lehet az \(\displaystyle a\) pontban.

A számolást úgy lehet szebben leírni, hogy magát az \(\displaystyle f(x,h(x))=0\) azonosságot és a \(\displaystyle G(x)=g(x,h(x))\) függvényt deriváljuk kétszer az \(\displaystyle a\) pontban:

\(\displaystyle f_1(a,b)) + f_2(a,b)\cdot h'(a) = 0 \)

\(\displaystyle f_{11}(a,b)) + 2f_{12}(a,b))\cdot h'(a) + f_{22}(a,b))\cdot h'(a)^2 + f_2(a,b)) \cdot h''(a) = 0 \)

\(\displaystyle G'(a) = g_1(a,b) + g_2(a,b)\cdot h'(a) \)

\(\displaystyle G''(a) = g_{11}(a,b)) + 2g_{12}(a,b)\cdot h'(a) + g_{22}(a,b))\cdot h'(a)^2 + g_2(a,b)) \cdot h''(a) \)

Az első kettőből kifejezhetjük \(\displaystyle h'(a)\) és \(\displaystyle h''(a)\) értékét; mindkét esetben \(\displaystyle f_2(a,b)\)-vel kell osztani, ami nem nulla; a \(\displaystyle G'(a)\) akkor nulla, ha a két gradiens párhuzamos; végül megkapjuk \(\displaystyle G''(a)\) értékét, és megvizsgálhatjuk az előjelét...

Előzmény: [2202] marcius8, 2019-01-09 11:21:50
[2202] marcius82019-01-09 11:21:50

Esetleg valaki tudja, hogy ha van egy szélsőérték-feladat feltételekkel, akkor a Langrange-multiplikátor módszerrel megtalált lehetséges szélsőértékhelyekről milyen tétel segítségével lehet eldönteni, hogy ezek maximumhelyek vagy minimumhelyek. Vagy a lehetséges szélsőértékhelyek vizsgálata feladatfüggő, minden feladatnál más módszerrel lehet eldönteni a lehetséges szélsőértékhelyekről azt hogy maximumhelyek vagy minimumhelyek? Előre is köszönöm a segítséget. Bertalan Zoltán.

[2201] marcius82018-12-31 14:13:06

Köszönöm a segítséget.

Előzmény: [2200] nadorp, 2018-12-29 14:34:42
[2200] nadorp2018-12-29 14:34:42

Feltesszük, hogy a,b és c között van két különböző.

Jelölje H(x) a szóban forgó függvényt. Nyilván H(x)>0

Felhasználjuk, hogy ha f(t) és g(t) pozitív függvények,akkor

\(\displaystyle f(t)^{g(t)}=e^{g(t)\ln f(t)}\)

Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\neq0\). Ekkor

\(\displaystyle H^{'}(x)=\bigg({{\bigg(\frac{a^x+b^x+c^x}3\bigg)}^{\frac1x}}\bigg)^{'}={{\bigg(\frac{a^x+b^x+c^x}3\bigg)}^{\frac1x}}\cdot\frac{\frac3{a^x+b^x+c^x}\frac{a^x\ln a +b^x\ln b+c^x\ln c}3x-\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}}{x^2}\)

\(\displaystyle H^{'}(x)=\frac{H(x)}{x^2}\bigg(\frac{a^x\ln{a^x}+b^x\ln{b^x}+c^x\ln{c^x}}{a^x+b^x+c^x}-\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}\bigg)\)

Az \(\displaystyle f(t)=t\ln t\) (t>0) függvény második deriváltja pozitív, azaz a függvény konvex. Ezért tetszőleges \(\displaystyle t_1,t_2,t_3\) pozitív számra

\(\displaystyle \frac{t_1\ln{t_1}+t_2\ln{t_2}+t_3\ln{t_3}}3\geq\frac{t_1+t_2+t_3}3\ln\frac{t_1+t_2+t_3}3\)

Ezt alkalmazva az \(\displaystyle a^x,b^x,c^x\) számokra

\(\displaystyle \frac{a^x\ln{a^x}+b^x\ln{b^x}+c^x\ln{c^x}}{a^x+b^x+c^x}\geq\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}\)

Ebből azonnal következik,hogy \(\displaystyle H^{'}(x)\geq0\), azaz H(x) monoton növekvő.

De \(\displaystyle x\neq0\) esetén \(\displaystyle H^{'}(x)>0\) is teljesül, hiszen egyenlőség csak a=b=c esetén lehetne, amit most kizártunk, azaz H(x) szigorúan monoton nő.

Egy kis számolással - mondjuk L'Hospital - adódik, hogy H(x) a 0-ban folytonossá tehető ( határértéke \(\displaystyle \root 3\of {abc}\))

A fentiekből következik, hogy H(x) szigorúan monoton nő.

[2199] marcius82018-12-29 07:32:42

Annyi, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív valós számokat jelentenek.

Előzmény: [2198] marcius8, 2018-12-29 07:12:24
[2198] marcius82018-12-29 07:12:24

Valaki tudna nekem segíteni abban, hogy az \(\displaystyle x\mapsto\bigg(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\bigg)^\frac1x\) függvény szigorúan monoton növekvő az első derivált vizsgálata alapján? Előre is köszönöm a segítséget. Bertalan Zoltán.

[2197] Jhony2018-11-25 17:06:42

- köszönöm szépen !

Előzmény: [2196] Kós Géza, 2018-11-25 09:33:23
[2196] Kós Géza2018-11-25 09:33:23

https://www.komal.hu/forum?a=to&tid=8&tc=88#28376

Különösen G. óta sokkal szigorúbban vesszük a fórum védelmét ezen a területen.

Ha valakinek valami egészen bravúros bizonyítása van valamilyen híres sejtésre, publikálja egy tudományos lapban, pl. elküldheti ide vagy ide vagy ide. És ha az illető lap már közlésre elfogadta, örömmel beszámolunk róla.

Előzmény: [2195] Jhony, 2018-11-24 21:37:41
[2195] Jhony2018-11-24 21:37:41

Köszönöm szépen a hozzászólást,annyit elárulhatok,hogy a sejtésem,ami,végül is bizonyítva tétel,szóval bizonyítottan igazolja,hogy az ikerprímek sora végtelen - ami ,ha jól tudom,máig nincsen bizonyítva ....

Előzmény: [2194] Lóczi Lajos, 2018-11-24 17:13:53
[2194] Lóczi Lajos2018-11-24 17:13:53

Látatlanban nehéz tanácsot adni. Minden attól függ, a sejtés mennyire "érdekes". Esetleg magát az állítást beírhatod ide is, hátha néhányan véleményt tudnak róla mondani.

Előzmény: [2193] Jhony, 2018-11-23 23:35:09
[2193] Jhony2018-11-23 23:35:09

Tisztelt ,,Mindenki" ! - tudom,nagyképűnek hangzik,de akkor is ez az igazság,vagyis - úgy gondolom - szeptember 6-dikán találtam egy matematikai sejtést,amit teljes indukcióval be is tudok bizonyítani - kérdésem : ebben a helyzetben hogyan tovább ? mi lehet , mi legyen a következő lépés ? a kollégáim - van köztük diplomás is - azt javasolták keressem fel az MTA - át és ott kérdezzek rá ? ...,előbb még is úgy gondoltam felteszem a kérdést itt remélve kapok kisegítő ,,használható" válaszokat ... nagyonszépen köszönök minden választ ,segítséget !

[2192] marcius82018-10-25 17:16:59

triviális ellenpélda, köszönöm!!!!

Előzmény: [2190] Fálesz Mihály, 2018-10-23 16:46:38
[2191] Lóczi Lajos2018-10-23 19:42:01

Ha az "egész" szó mindkétszer ott szerepel, akkor \(\displaystyle q_1=2\) és \(\displaystyle q_2=3\) megfelelő ellenpélda.

Előzmény: [2189] marcius8, 2018-10-23 14:57:32

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]