Fórum: Valaki mondja meg!

Parabola alatti területet hogyan lehet meghatározni teljesen elemi módszerekkel, azaz az eljárásban legyen benne végtelen sor határértéke, és ne legyen integrálszámítás? Előre is köszönök minden segítséget.

Érdekelne az is, hogy rendezett állapotból kiindulva, megengedett cseréket végrehajtva, a kártyalapok milyen permutációja érhető el. Előre is köszönöm mindenki segítségét.

Eredeti megfogalmazásomban a következőképpen nézett ki az előbb felvetett probléma, amelyet Kós Géza Tanár Úr átfogalmazott, és a KöMaL-pontversenybe került be: (érdekes matek feladatok, [3668], Kömal, 2013 március, "A" feladatok)

Egy játékot találtam ki. Mivel egy játékkal akkor foglalkoznak sokan, ha szabályai egyszerűek, ugyanakkor nem könnyen végigjátszható, ezért a következő játékot találtam ki:

A magyar kártyacsomag összetétele: A magyar kártyacsomag 32 lapot tartalmaz. Minden lapnak van színe és értéke. A színek lehetnek: „piros” (tavasz), „tök” (nyár), „zöld” (ősz), „makk” (tél). Az értékek lehetnek: „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király”, „ász”. A kártyacsomagban minden lehetséges szín-érték párosítás előfordul.

A nyolc sorból és négy oszlopból álló táblázatban elhelyezett magyar kártyacsomag lapjai akkor vannak rendezett sorrendben, ha a következő feltételek teljesülnek:

• A táblázat minden oszlopában található négy lap színének sorrendje felülről lefelé haladva: „piros” (tavasz), „tök” (nyár), „zöld” (ősz), „makk” (tél).

• A táblázat minden sorában található nyolc lap értékének sorrendje balról jobbra haladva: „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király”, „ász”.

A játék szabálya: A kártyacsomag lapjai véletlenszerű sorrendben egy négy sorból és nyolc oszlopból álló táblázatban vannak elhelyezve. A játék során egyszerre mindig két lapot lehet megcserélni. Két lapot csak akkor lehet megcserélni, ha a két lap ugyanabban a sorban vagy ugyanabban az oszlopban van, továbbá (és) ha a két lap színe vagy értéke ugyanaz. A játék célja, hogy a kártyalapok sorrendje rendezett legyen.

Az érdekes az hogy a véletlenszerűen összekevert állapotból majdnem mindig abba az állapotba jutok, hogy a rendezett állapothoz képest a "makk ász" és a "tök király" fel van cserélve. Sajnos, nem tudok rájönni, hogy ez az én ügyetlenségem (gyanítom, hogy igen), de ugyanakkor nem hiszem hogy ennek törvényszerűen így kell lenni. Arra kérek bárkit, hogy ha ezt a jelenséget meg tudja indokolni, vagy meg tudja oldani (tehát ha a rendezett állapothoz képest csak a "makk ász" és a "tök király" van felcserélve, akkor ez az állapot rendezhető vagy sem), írjon a zoltanbertalan680308@gmail.com címre.

köszönöm

Tűzzük ki nehezített változatban a feladatot.

Létezik-e olyan nem elfajuló konvex QBCD négyszög melynek Q-nál és D-nél levő szögei rendre 98 és 16fok, továbbá QD=DC, CQ=QB és a keresett négyszög átlóinak P metszéspontjára teljesül a PB=BC feltétel.

a) Ha van ilyen négyszög, akkor határozzuk meg a hiányzó szögeit.

b) Indokoljuk, ha nincs ilyen tulajdonságú négyszög.

Javítom magam......

Ha Q felezi AB-t, akkor sem jó az ábra és nem oldható meg a feladat, mert DBC háromszögben D-nél 0 fok kell legyen, ha a kiindulási feltételek teljesülnek.

Nyilván igazad van, hiszen ez a példa a kiegészítéseddel könnyen oldható, de képzeld el, ha így kerül bele egy felvételi feladatsorba. Mennyi időt el lehet vele feleslegesen tölteni és csak körbe-körbe jár mindig azonosságra jutva.

K Robi írta, hogy példatári feladat. A felvételin remélhetőleg olyan példát adtak, ami néhány perc alatt megoldható. A példatárba valószínű hiányosan, hibásan került bele a példa.

Miből derül ki, hogy Q felezőpont?

Elvárjuk a 14 éves diáktól, hogy javítsa a kitűzést úgy, hogy megoldható legyen a feladat?

Amennyiben az ábra csak "tájékoztató" jellegű, akkor legyen P a QC szakasz tetszőleges belső pontja, de ne illeszkedjen DB-re, minden más feltétel változatlan.

Ekkor, 8<ε<60 esetén végtelen sok megoldás van.

AB oldalának Q pontja helyett AB oldalának Q felezőpontja

Én is foglalkoztam a példával délután. A stílus nagyon ismerős volt. Sejtettem, hogy felvételi feladat. Azt, hogy az ábra tájékoztató jellegű, mindig odaírják.

A QCB és a PCB háromszögek hasonlóak, mert mindkettő egyenlő szárú és az alapon fekvő szögeik megegyeznek, ami a C csúcsnál fekvő szög mindkét háromszögben. Ekkor a szárszögek is egyenlőek, tehát CQB szög = PBC szög = ε.

Ha D, P, B pontok kollineárisak, akkor DBC szög = ε és az általad közölt tankönyvi végeredmény szerint a DBC háromszögben a B és C csúcsoknál fekvő szögek összege 16+164=180, vagyis ebben a háromszögben D-nél 0 fok van, a DBC háromszög szakasszá fajul.

Köszönöm a választ! "Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű." Lehet, hogy hiba volt ezt lehagynom!

Ez kezd érdekes lenni, képzeld, erre a feladatra egy nyolcadikos felvételi előkészítő példatárban bukkantam, és bevallom, nem ment. Pedig nem nyolcadikos vagyok (nagyon nem), és nem is felvételi körülmények között próbálkoztam vele,és nem is pár percem volt rá, ahogy a nyolcadikus felvételizőknek.

Gyanús, hogy itt valami elírás/nyomdahiba lehet? Persze nekem nagyon tetszene, ha te így is megoldod, csaknem tudom követni, részletezed a megoldásod?

Ideteszem a teljes feladatot kivágva meg a megoldást is a példatár szerint.

Csal az ábra, ha a peremfeltételek igazak, akkor D, P, B nem lehetnek kollineárisak. Némi szögszámolás után P egybeesik Q-val, QCB háromszög szabályos és a kérdőjeles szögek rendre 0, 98, 60.

Ez egy széles körben ismert probléma. A keresett részek száma legyen k. A megoldás:

\(\displaystyle k=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}4=\frac{1}{24}(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-18n+24)\)

Bővebb információk és a feladattal kapcsolatos érdekességek az OEIS-adatbázisban: https://oeis.org/A000127/internal. E linkről kiindulva juthatunk el egy angol nyelvű megoldáshoz: https://maa.org/sites/default/files/Marc_Noy46792.pdf.

Egy részletes, magyar nyelvű megoldást olvashatunk a MATEMATIKAI PROBLÉMAKALAUZ I. című jegyzeben (4.75. probléma*). A kiadványt megvehetjük e-könyves, vagy nyomtatott formátumban is. Érdemes, most kedvezménnyel adják: https://interkonyv.hu/konyvek/kosztolanyi-jozsef-makay-geza-pinter-klara-pinter-lajos-matematikai-problemakalauz-i/

A nyomtatott jegyzet fedőlapjának fotója:

\(\displaystyle AD=DQ=DC\\ QC=QB\\ PB=CB\\\)

Sziasztok! Nyilván \(\displaystyle \alpha=82^{\circ}\) , de hogyan tovább? Nem jövök rá...

\(\displaystyle \beta=?\\ \delta=?\\ \varepsilon=?\)

Adott "n" pont egy kör kerületén. Páronként összekötjök a pontokat. Legfeljebb hány részre osztják ezek az összekötő szakaszok a körlemezt. Előre is köszönök minden segítséget.

Igen, és köszönöm a megoldást.

Mármint a teljes particionálás, \(\displaystyle n-2\) darab háromszögre kérdezed? Mert akkor ez ismert, \(\displaystyle C_{n-2}\), az \(\displaystyle n-2\)-edik Catalan szám.

Az N-nel jelölt konvex, n-oldalú sokszöget háromszögekre bontottuk azon átlóival, amelyek nem metszik egymást N belsejében. Hányféleképpen tehetjük meg ezt?

Találtam egy angol nyelvű pdf-et erről, ami több oldalon keresztül elmagyarázza ezt, itt: "https://web.northeastern.edu/seigen/11Magic/StebbinsStack/Si Stebbins Stack - from Numericana dot com.pdf"

Írjuk fel a kör kerületére az 1,2...,52 számokat és tegyük a számok mellé a kártyákat a sor definíciója szerint úgy, hogy az 1 mellett legyen a pikk ász.

Ha \(\displaystyle 1\leq i\leq j\leq52\), akkor az \(\displaystyle i\)-dik és \(\displaystyle j\)-dik lap távolsága legyen \(\displaystyle d=\min(j-i,52+i-j)\) ( a nem hosszabb íven levő intervallumot vesszük)

Minden lapot egyértelműen meghatároz egy \(\displaystyle (a,b)\) számpár (\(\displaystyle 0\leq a\leq3,0\leq b\leq12\)), ahol a="szín", b="érték-1" (Most a színekre pikk=0,kőr=1,treff=2,káró=3)

Ekkor a pikk ász a \(\displaystyle (0,0)\) és ha az \(\displaystyle n\)-dik lap az \(\displaystyle (a,b)\), akkor:

\(\displaystyle n-1\equiv a\mod(4)\)

\(\displaystyle 3(n-1)\equiv b\mod(13)\)

Ismert, hogy adott \(\displaystyle (a,b)\) esetén a fenti kongruencia rendszernek egyértelmű megoldása van \(\displaystyle n\)-re \(\displaystyle \mod(52)\), és különböző \(\displaystyle (a,b)\) számpárra - melyek megfelelnek a fenti feltételnek - különböző \(\displaystyle n\)-et kapunk.

Ha most adott két lap \(\displaystyle (a_1,a_2)\) és \(\displaystyle (b_1,b_2)\), melyek az \(\displaystyle n_1\)-dik illetve \(\displaystyle n_2\)-dik helyen vannak, akkor a fentiek szerint

\(\displaystyle n_1-n_2\equiv a_1-a_2\mod(4)\)

\(\displaystyle 3(n_1-n_2)\equiv b_1-b_2\mod(13)\)

——

\(\displaystyle 13(n_1-n_2)\equiv 13(a_1-a_2)\mod(52)\)

\(\displaystyle 12(n_1-n_2)\equiv 4(b_1-b_2)\mod(52)\)

——

\(\displaystyle n_1-n_2\equiv 13(a_1-a_2)-4(b_1-b_2)\mod(52)\)

Innen már látszik a módszer a távolság kiszámítására:

Kiszámoljuk \(\displaystyle 13(a_1-a_2)-4(b_1-b_2)\) értékét és vesszük az 52-es nemnegatív maradékát. Ha ez \(\displaystyle d\) , akkor a távolság \(\displaystyle \min(d,52-d)\)

az előző hozzászólásomhoz ábrát csatolok, hátha így érthetőbb lesz a Si Stebbins sorrend

Egy matekos kérdésem lenne, de nem boldogulok vele. A römi kártyák (52 lapból álló jokerek nélküli francia kártya) egy speciális sorrendjéről van szó, ezt a sorrendet SI STEBBINS sornak nevezik. Lényege: az ábrán látható körben óramutató járásával megegyező irányban a lapok színei periodikusan követik egymást (most pl. pikk, kőr, treff, káró), és bármelyik lap értéke mindig 3-mal több mod 13, mint az előtte levő lap értéke. Előnye ennek a sorrendnek, hogy valójában nincs vége, azaz a kártyacsomag utolsó lapja után következik a kártyacsomag első lapja... A probléma a következő: Két lap színének és értékének ismeretében hogyan lehet gyorsan és könnyen kiszámolni a két lap távolságát. Egyszerű képletet keresek. Mindenki segítségét előre is köszönöm.

ok, azóta megtaláltam a választ...

Van 20 darab egymástól nem feltétlenül különböző szám. A 20 darab számot tetszőlegesen szétválasztjuk két 10 elemű halmazra. Ezután egy 2 sorból és 10 oszlopból álló táblázat felső sorába beírjuk az egyik 10 elemű halmaz elemeit növekvő (nem csökkenő) sorrendben, a táblázat alsó sorába beírjuk a másik 10 elemű halmaz elemeit csökkenő (nem növekvő) sorrendben Ezután a táblázat minden oszlopában kiszámoljuk az oszlopban levő két szám különbségét (különbség = nagyobb szám - kisebb szám), majd az így kapott különbségeket összeadjuk, így egy eredmény adódik. Bizonyítsuk be, hogy bárhogy is választjuk szét a 20 darab számot két 10 elemű halmazra, a kapott eredmény mindig kiszámolható úgy is, hogy a 10 legnagyobb szám összegéből kivonjuk a 10 legkisebb szám összegét. Mindenki segítségét előre is köszönöm: BZ.