Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[337] nadorp2008-03-04 15:22:45

Nem is gondoltam ezt bizonyításnak, Te kérdeztél egy konkrét példát. Viszont az látszik az ábrából, hogy van olyan x_1<\frac12,x_2>\frac12, hogy az A=(x1,f(x1)) és B=(x2,f(x2)) pontokat összekötő szakasz a görbe alatt van. Konkrétan ha x_1=\frac14 és x_2=\frac34, akkor

f\left(\frac{x_1+x_2}2\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2, ez pedig ellentmond a konvexitásnak.

Előzmény: [335] epsilon, 2008-03-04 14:21:49
[336] cauchy2008-03-04 14:35:45

Ne az a pontban húzzál érintőt, hanem az a-\varepsilon pontban, és meglátod, hogy egy másik pontban metszeni fogja az ábrát.

Előzmény: [335] epsilon, 2008-03-04 14:21:49
[335] epsilon2008-03-04 14:21:49

Helló nadorp! gondolom, hogy ezzel nem lehetne belátni, hogy a (0,1) intervallumon nem lenne konvex (csak egy értéket mondtam), és az ábrádon megpróbáltam csak a függvényt meghagyni, és az 1/2-ben van bal illetve jobboldali "alsó érintő" és miért ne lenne konvex az a függvény, amt így látunk?

Előzmény: [331] nadorp, 2008-03-04 09:43:27
[334] cauchy2008-03-04 11:58:24

Ha egyszer fennáll a lenti egyenlőtlenség, akkor nem konvex. És mint látható, az érintő sem marad az ábra alatt.

Előzmény: [330] epsilon, 2008-03-04 06:30:32
[333] cauchy2008-03-04 11:48:17

Az ábrán nem az látszik, amit ír, de hasonlít ahhoz.

Előzmény: [331] nadorp, 2008-03-04 09:43:27
[332] nadorp2008-03-04 10:39:50

De igen, viszont előtte valahogy beláttam, hogy a sorozat korlátos, és még ez dolgozott bennem.

Előzmény: [328] Lóczi Lajos, 2008-03-04 00:05:45
[331] nadorp2008-03-04 09:43:27

Kicsi csúnya, de látszik, hogy nem konvex a=\frac12 esetén

Előzmény: [330] epsilon, 2008-03-04 06:30:32
[330] epsilon2008-03-04 06:30:32

Kedves Lajos és Cauchy! Kösz a magyarázatokat, de még mindig nem világos számomra az pl, hogy mondjuk az a=1/2 értékre miért nem konvex (mert ez ugye nincs a [0,1]-en kívük, és mégsem konvex?! (A derivált esetén a törést megértettem, hiszen mondjuk lehet akár szögpont, visszatérőpont, stb. ahol a két szélső derivált nem egyenlő, a pontban húzott "félérintők" így is a grafikus ábra alatt maradnak.)

[329] epsilon2008-03-04 06:24:17

Köszi nadorp a megerősítést! Én csak azon csodálkozom, hogy lehet ilyen feladatokat tesztfeladatoknak adni feleletválasztósnak, hiszen a többi eredmény csak kelepce volt, végül is meg kell oldani, és nincs semmi ami a feleletválasztóshoz kapcsolná.(sem logikai kizárások, stb.)

[328] Lóczi Lajos2008-03-04 00:05:45

Ez szerintem nincs így: A+A=A+0-ból nemcsak A=0, de A=\pm\infty is következhetne, nem?

Előzmény: [315] nadorp, 2008-03-03 11:21:29
[327] Lóczi Lajos2008-03-03 23:38:57

A törés természetesen fennáll, de vedd figyelembe, hogy az f függvényed értelmezési tartománya csak a [0,1] intervallum volt, tehát érdektelen számunkra, mi és hogy törik azon kívül.

Előzmény: [324] epsilon, 2008-03-03 18:51:57
[326] cauchy2008-03-03 22:21:13

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy az a környezetében NEM konvex a függvény. Az \varepsilon nem is kell nagyon kicsi legyen, elég ha 0<\varepsilon<1 (illetve a-\varepsilon és a+\varepsilon\in[0,1] ha értelmezési tartományon belül akarunk maradni, de azon kívül is érvényes).

Előzmény: [324] epsilon, 2008-03-03 18:51:57
[325] nadorp2008-03-03 21:56:02

Az L=e^{\frac12} szerintem is jó. Én így számoltam:

Könnyen látszik, hogy b_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{2\cdot n!}\frac{ a_3}{a_2}, ahonnan - felhasználva a Stirling formulát -

\lim\root{n}\of{b_n}=e, azaz

\lim\frac{\ln{a_{n+1}}-\ln{a_n}}{n}=1.

Tetszőleges \varepsilon>0-hoz létezik N, hogy

(1-\varepsilon)N+ln aN<ln aN+1<(1+\varepsilon)N+ln aN

(1-\varepsilon)(N+N+1)+ln aN<ln aN+2<(1+\varepsilon)(N+N+1)+ln aN

...

(1-\varepsilon)\frac{(2N+k-1)k}2+\ln{a_N}<\ln{a_{N+k}}<(1+\varepsilon)\frac{(2N+k-1)k}2+\ln{a_N} teljesül minden k-ra, azaz

\lim_{k\to\infty}\frac{\ln{a_{N+k}}}{(N+k)^2}=\frac12

Előzmény: [314] epsilon, 2008-03-02 09:15:39
[324] epsilon2008-03-03 18:51:57

Kedves Lajos! Az a=0 és a=1 értékek esetén a 2 tagra alkalmazott Jensen-féle egyenlőtlenség valóban megadja az f konvexitását, kösz a hozzászólásod ahol írtad! Most már csak az a furcsa, mint írtam, hogy ezekben az esetekben is fennáll az, hogy az x=0 ill. x=1 esetekben nem teljesül a 2a-1=2a+1, vagyis a deriváltal=érintőmeghúzhatósággal való gond továbbra is homályosít? Mi a valódi helyzet, miért van ez a látszólagos ellentmondás? Mert azzak, hogy e 2 pontban konvex, még nem zárja ki, hogy más ban ne lenne az!? Üdv: epsilon

[323] epsilon2008-03-03 18:26:27

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megint jelentkeztél, mert továbbra is érdekelne a 297-es feladat tisztázása (ezúttal nem írtam el), vagyis, hogy miért edták arra azt a választ, hogy PONTOSAN 2 olyan "a" érték van amelyre az konvex lenne. Mint láttuk, az x=a-ban nem deriválható, viszont Te meg írod a 302-ben, hogy az a=0 és a=1 esetben konvex, bocs de Én nem látom miért, mert ebben a 2 esetben is fennáll a már említett 2a-1=2a+1 absurdum, ami az a pontban való deriválhatóság származtat.(vagyis nem húzható az érintő, és ebben a pontban nem érvényes a konvexitás jelzett értelmezése!?) Üdv: epsilon

[322] nadorp2008-03-03 18:22:44

Valami ilyenre számítottam. :-)

Előzmény: [321] epsilon, 2008-03-03 17:56:23
[321] epsilon2008-03-03 17:56:23

Huh a rézangyalát! Elnézést kérek Mindenkitől! Annyira bele vagyok merülve ebbe meg az ilyen típusú csapdás feladatokba, hogy egy 2-es hatványkitevőt elhagytam, amire egyébként a megoldásaimat is leírtam, tehát elnézéseteket kérve a rekurzió HELYESEN:

[320] Lóczi Lajos2008-03-03 17:04:07

Itt például az utolsó sorban az a lépés nem megalapozott, amikor az n-edik gyök alatt álló n-edik gyököt kicserélted a törtre.

Előzmény: [308] epsilon, 2008-03-02 07:38:15
[319] Lóczi Lajos2008-03-03 17:02:01

"aránypárok tulajdonságát használtam, és az a(n+2) alá hoztam az egyik a(n+1)-et, és a jobboldalon a nevezőbe vittem az ottmaradt a(n+1) alá az a(n)-et."

Összesen csak 1 db an+1 van, ha azt átviszed a bal oldalra, a jobb oldalon nem marad már meg!

Előzmény: [316] epsilon, 2008-03-03 16:23:32
[318] epsilon2008-03-03 16:47:46

Tehát mégegyszer: a lehetséges válaszokból (valami hibás gondolatmenet folytán?) kihozható a limesz értékének a 0, az 1 az e akármylike, de egyik sem jó (az e és 0-át mutattam, hogy kijöhetne de nem jó válasz, az 1-et Te hoztad ki, még nem látom miért, az sem a jó válasz). Az eredmény végtelen sem lehet, tehát a "más válasz" alapján a felsoroltakon kívül van a helyes eredmény.

[317] Lóczi Lajos2008-03-03 16:41:31

"és ezek szerint akkor mégis miért állhat a jelzett válasz, hogy pont 2 a érték van amelyre konvex?"

Ha a=0 vagy a=1, akkor a töréspont a [0,1] intervallum végpontja, és a törésponttól balra és jobbra, külön-külön, a függvény eleve konvex: a konvexitással probléma csak akkor van, amikor a töréspont a [0,1] intervallum belsejébe kerül.

Előzmény: [307] epsilon, 2008-03-02 06:48:08
[316] epsilon2008-03-03 16:23:32

Helló nadorp! Ne haragudj, de többvalami elkerülte a figyelmedet: 1) Lennebb beidézem a kiinduló feladatot, és ott meglátod miről van szó! 2) A rekurzióban teljesen mindegy, hogy n-et vagy k-t írunk, nem de? 3) Az aránypárok tulajdonságát használtam, és az a(n+2) alá hoztam az egyik a(n+1)-et, és a jobboldalon a nevezőbe vittem az ottmaradt a(n+1) alá az a(n)-et. 4) Ha tehát a(n+1)/a(n) a jobboldalon b(n)-el lett jelölve, akkor a baloldalon a(n+2)/a(n+1) egyértelműen b(n+1). Aztán a teljes rekurziót átírtam n helyett k-ra, és az (1+1/k)-nek az k-adik hatványát e(k)-val jelöltem, és a kapot, általad beidézett rekurzió szerintem teljesen igaz. 5) Az általad kihozott 0 erdménysajnos 101 százalékban HIBÁS, a feladatnál jeleztem, hogy melyik a helyes válasz, a könyvet majdnem mind ilyen feladatokkal állították össze, sok minden látszatra úgy tűnik, hogy jó, de a helyes válasz nem az. Ismételem, a helyes válasz az (E) erre mérget lehet venni, íme mégegyszer a feladat, és kösz, hogy foglalkozol vele. Még van egy pár tucat ilyen, feladat, ami látszatra másnak tűnik, mint ami a helyes válasz! Üdv: epsilon.

[315] nadorp2008-03-03 11:21:29

Ne haragudj, de szerintem már a kiindulási új rekurzió is rossz. Nem értem, hogy jött ki a bk+1=ek.bk

Különben, ha \lim\root{n^2}\of{a_n} létezik, akkor az csak 1 lehet, ui. a rekurzióból

\frac{\ln a_{n+2}}{n^2}+\frac{\ln a_n}{n^2}=
\frac{\ln a_{n+1}}{n^2}+\frac{\ln\left(1+\frac1n\right)}{n}

Tehát \lim\frac{\ln a_n}{n^2}=0

Előzmény: [312] epsilon, 2008-03-02 08:52:36
[314] epsilon2008-03-02 09:15:39

Vajon ez már jó megoldás lenne:

[313] epsilon2008-03-02 08:53:27

A p>=2 helyett k>=2 kell ( a képben már nem javítottam ki)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]