Fórum: Valaki mondja meg!

Igen érdekes elgondolkodni a konvexitás fogalmának a defieálásán, hiszen mint az érintős meghatározás, mint az, hogy f"(x) ne legyen negatív nem igazán fogadható el ezek szerint a konvexitás értelmezésének, mert a derivált belekeverése nem "fair" tehát legtisztább a húrral defineálni és úgy tanítani, noha sok szakkönyvben nem éppen így teszik.

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megerősíted ezt a megoldási lehetőséget, a 308-as hozzászólásnál Én is ezt próbáltam bemutatni, Én ugyan a Stolz-Cezaro tétel 3. következménbyeként ismerem, ugyanis azzal levezethető, de Cauchy-D'Alambert tételnek forgalmazzák a Sorok elméletében, a lényeg az lenne, hogy: 1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, 2) Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki. Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja) meg miért van ellentmondásba az eredmény a 308-cal, mert nagyon tetszik ez a megoldásod, hiszen a teszt középiskolásoknak szól, így nagyágyúval rálőni nem fair, amit mutattam szerintem az is elég hosszadalmas, szerintem ilyesfélén ahogyan írtad egészen plauzíbilis! Üdv: epsilon

Még egyszer hadd térjek vissza a problémára egy utólagos elemzés erejéig, más kiindulással és kevésbé explicit érveléssel, a Stirling-re való hivatkozás nélkül.

A hányados- és gyökkritérium témaköréből ismert a következő egyenlőtlenséglánc:

(Ez a lánc egyébként azt mondja, hogy a gyökkritérium erősebb a hányadoskritériumnál.)

A megadott rekurziót az e_n=(1+1/n)ⁿ és jelölésekkel így írhatjuk át:

Mivel itt a jobb oldal liminf-je és limsup-ja egyaránt e, a fentiekből rögtön adódik, hogy létezik

és e-vel egyenlő. Innen a továbbhaladás már hasonló (de logaritmálás nélkül is megy a dolog persze), a limesz definíciójából kiindulva megmutatjuk, hogy létezik

és -vel egyenlő.

(Ez a definíció persze már pl. cauchy-tól elhangzott, egyenlőtlenség alakjában felírva.)

OK, köszi mindkettőtöknek! Így már tiszta!

Egyetértőleg csatlakozom az előttem szólóhoz. A 297. feladat szövege nem szól az f függvény [0;1]-beli differenciálhatóságáról, ezért a kovexitás érintős definícióját ne használjuk. A konvexitás kérdésében - tankönyv híján - vegyük a WIKIPÉDIA másik definícióját:

Az f: I R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe (bármely, az adott intervallumba eső ÿ(kiegészítés tőlem)) két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad ...

Nem is gondoltam ezt bizonyításnak, Te kérdeztél egy konkrét példát. Viszont az látszik az ábrából, hogy van olyan ,, hogy az A=(x₁,f(x₁)) és B=(x₂,f(x₂)) pontokat összekötő szakasz a görbe alatt van. Konkrétan ha és , akkor

, ez pedig ellentmond a konvexitásnak.

Ne az a pontban húzzál érintőt, hanem az a- pontban, és meglátod, hogy egy másik pontban metszeni fogja az ábrát.

Helló nadorp! gondolom, hogy ezzel nem lehetne belátni, hogy a (0,1) intervallumon nem lenne konvex (csak egy értéket mondtam), és az ábrádon megpróbáltam csak a függvényt meghagyni, és az 1/2-ben van bal illetve jobboldali "alsó érintő" és miért ne lenne konvex az a függvény, amt így látunk?

Ha egyszer fennáll a lenti egyenlőtlenség, akkor nem konvex. És mint látható, az érintő sem marad az ábra alatt.

Az ábrán nem az látszik, amit ír, de hasonlít ahhoz.

De igen, viszont előtte valahogy beláttam, hogy a sorozat korlátos, és még ez dolgozott bennem.

Kicsi csúnya, de látszik, hogy nem konvex esetén

Kedves Lajos és Cauchy! Kösz a magyarázatokat, de még mindig nem világos számomra az pl, hogy mondjuk az a=1/2 értékre miért nem konvex (mert ez ugye nincs a [0,1]-en kívük, és mégsem konvex?! (A derivált esetén a törést megértettem, hiszen mondjuk lehet akár szögpont, visszatérőpont, stb. ahol a két szélső derivált nem egyenlő, a pontban húzott "félérintők" így is a grafikus ábra alatt maradnak.)

Köszi nadorp a megerősítést! Én csak azon csodálkozom, hogy lehet ilyen feladatokat tesztfeladatoknak adni feleletválasztósnak, hiszen a többi eredmény csak kelepce volt, végül is meg kell oldani, és nincs semmi ami a feleletválasztóshoz kapcsolná.(sem logikai kizárások, stb.)

Ez szerintem nincs így: A+A=A+0-ból nemcsak A=0, de A= is következhetne, nem?

A törés természetesen fennáll, de vedd figyelembe, hogy az f függvényed értelmezési tartománya csak a [0,1] intervallum volt, tehát érdektelen számunkra, mi és hogy törik azon kívül.

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy az a környezetében NEM konvex a függvény. Az nem is kell nagyon kicsi legyen, elég ha 0<<1 (illetve a- és a+[0,1] ha értelmezési tartományon belül akarunk maradni, de azon kívül is érvényes).

Az szerintem is jó. Én így számoltam:

Könnyen látszik, hogy , ahonnan - felhasználva a Stirling formulát -

, azaz

.

Tetszőleges >0-hoz létezik N, hogy

(1-)N+ln a_N<ln a_N+1<(1+)N+ln a_N

(1-)(N+N+1)+ln a_N<ln a_N+2<(1+)(N+N+1)+ln a_N

...

teljesül minden k-ra, azaz

Kedves Lajos! Az a=0 és a=1 értékek esetén a 2 tagra alkalmazott Jensen-féle egyenlőtlenség valóban megadja az f konvexitását, kösz a hozzászólásod ahol írtad! Most már csak az a furcsa, mint írtam, hogy ezekben az esetekben is fennáll az, hogy az x=0 ill. x=1 esetekben nem teljesül a 2a-1=2a+1, vagyis a deriváltal=érintőmeghúzhatósággal való gond továbbra is homályosít? Mi a valódi helyzet, miért van ez a látszólagos ellentmondás? Mert azzak, hogy e 2 pontban konvex, még nem zárja ki, hogy más ban ne lenne az!? Üdv: epsilon

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megint jelentkeztél, mert továbbra is érdekelne a 297-es feladat tisztázása (ezúttal nem írtam el), vagyis, hogy miért edták arra azt a választ, hogy PONTOSAN 2 olyan "a" érték van amelyre az konvex lenne. Mint láttuk, az x=a-ban nem deriválható, viszont Te meg írod a 302-ben, hogy az a=0 és a=1 esetben konvex, bocs de Én nem látom miért, mert ebben a 2 esetben is fennáll a már említett 2a-1=2a+1 absurdum, ami az a pontban való deriválhatóság származtat.(vagyis nem húzható az érintő, és ebben a pontban nem érvényes a konvexitás jelzett értelmezése!?) Üdv: epsilon

Valami ilyenre számítottam. :-)

Huh a rézangyalát! Elnézést kérek Mindenkitől! Annyira bele vagyok merülve ebbe meg az ilyen típusú csapdás feladatokba, hogy egy 2-es hatványkitevőt elhagytam, amire egyébként a megoldásaimat is leírtam, tehát elnézéseteket kérve a rekurzió HELYESEN:

Itt például az utolsó sorban az a lépés nem megalapozott, amikor az n-edik gyök alatt álló n-edik gyököt kicserélted a törtre.

"aránypárok tulajdonságát használtam, és az a(n+2) alá hoztam az egyik a(n+1)-et, és a jobboldalon a nevezőbe vittem az ottmaradt a(n+1) alá az a(n)-et."

Összesen csak 1 db a_n+1 van, ha azt átviszed a bal oldalra, a jobb oldalon nem marad már meg!