Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[344] nadorp2008-03-05 08:45:21

Én még úgy tanultam, hogy egy függvénygörbe konvex egy [a,b] intervallumon, ha tetszőleges két pontját összekötő szakasz felezőpontja görbe felett (vagy rajta) van.Ha az intervallumon a függvény kétszer deriválható, akkor a második deriváltak nemnegativitása szükséges és elegendő feltétel, de ez már tétel. Esetünkben az eredeti definíció érvényességét tudjuk csak vizsgálni, hiszen a függvény az x=a pontban nem deriválható.

Előzmény: [343] epsilon, 2008-03-05 06:40:40
[343] epsilon2008-03-05 06:40:40

Igen érdekes elgondolkodni a konvexitás fogalmának a defieálásán, hiszen mint az érintős meghatározás, mint az, hogy f"(x) ne legyen negatív nem igazán fogadható el ezek szerint a konvexitás értelmezésének, mert a derivált belekeverése nem "fair" tehát legtisztább a húrral defineálni és úgy tanítani, noha sok szakkönyvben nem éppen így teszik.

Előzmény: [340] Lóczi Lajos, 2008-03-04 22:07:31
[342] epsilon2008-03-05 06:37:26

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megerősíted ezt a megoldási lehetőséget, a 308-as hozzászólásnál Én is ezt próbáltam bemutatni, Én ugyan a Stolz-Cezaro tétel 3. következménbyeként ismerem, ugyanis azzal levezethető, de Cauchy-D'Alambert tételnek forgalmazzák a Sorok elméletében, a lényeg az lenne, hogy: 1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, 2) Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki. Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja) meg miért van ellentmondásba az eredmény a 308-cal, mert nagyon tetszik ez a megoldásod, hiszen a teszt középiskolásoknak szól, így nagyágyúval rálőni nem fair, amit mutattam szerintem az is elég hosszadalmas, szerintem ilyesfélén ahogyan írtad egészen plauzíbilis! Üdv: epsilon

[341] Lóczi Lajos2008-03-04 22:29:48

Még egyszer hadd térjek vissza a problémára egy utólagos elemzés erejéig, más kiindulással és kevésbé explicit érveléssel, a Stirling-re való hivatkozás nélkül.

A hányados- és gyökkritérium témaköréből ismert a következő egyenlőtlenséglánc:


{\rm{liminf}}_{n\to \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n}\le 
{\rm{liminf}}_{n\to \infty} \root n \of{A_n}\le
{\rm{limsup}}_{n\to \infty} \root n \of{A_n}\le 
{\rm{limsup}}_{n\to \infty} \frac{A_{n+1}}{A_n}.

(Ez a lánc egyébként azt mondja, hogy a gyökkritérium erősebb a hányadoskritériumnál.)

A megadott rekurziót az en=(1+1/n)n és A_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} jelölésekkel így írhatjuk át:


\frac{A_{n+1}}{A_n}=e_n.

Mivel itt a jobb oldal liminf-je és limsup-ja egyaránt e, a fentiekből rögtön adódik, hogy létezik


{\rm{lim}}_{n\to \infty} \root n \of{\frac{a_{n+1}}{a_n}}

és e-vel egyenlő. Innen a továbbhaladás már hasonló (de logaritmálás nélkül is megy a dolog persze), a limesz definíciójából kiindulva megmutatjuk, hogy létezik


{\rm{lim}}_{n\to \infty} \root {n^2} \of{a_n}

és \sqrt{e}-vel egyenlő.

Előzmény: [325] nadorp, 2008-03-03 21:56:02
[340] Lóczi Lajos2008-03-04 22:07:31

(Ez a definíció persze már pl. cauchy-tól elhangzott, egyenlőtlenség alakjában felírva.)

Előzmény: [338] sakkmath, 2008-03-04 15:48:23
[339] epsilon2008-03-04 17:49:25

OK, köszi mindkettőtöknek! Így már tiszta!

[338] sakkmath2008-03-04 15:48:23

Egyetértőleg csatlakozom az előttem szólóhoz. A 297. feladat szövege nem szól az f függvény [0;1]-beli differenciálhatóságáról, ezért a kovexitás érintős definícióját ne használjuk. A konvexitás kérdésében - tankönyv híján - vegyük a WIKIPÉDIA másik definícióját:

Az f: I \to R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe (bármely, az adott intervallumba eső ÿ(kiegészítés tőlem)) két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad ...

[337] nadorp2008-03-04 15:22:45

Nem is gondoltam ezt bizonyításnak, Te kérdeztél egy konkrét példát. Viszont az látszik az ábrából, hogy van olyan x_1<\frac12,x_2>\frac12, hogy az A=(x1,f(x1)) és B=(x2,f(x2)) pontokat összekötő szakasz a görbe alatt van. Konkrétan ha x_1=\frac14 és x_2=\frac34, akkor

f\left(\frac{x_1+x_2}2\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2, ez pedig ellentmond a konvexitásnak.

Előzmény: [335] epsilon, 2008-03-04 14:21:49
[336] cauchy2008-03-04 14:35:45

Ne az a pontban húzzál érintőt, hanem az a-\varepsilon pontban, és meglátod, hogy egy másik pontban metszeni fogja az ábrát.

Előzmény: [335] epsilon, 2008-03-04 14:21:49
[335] epsilon2008-03-04 14:21:49

Helló nadorp! gondolom, hogy ezzel nem lehetne belátni, hogy a (0,1) intervallumon nem lenne konvex (csak egy értéket mondtam), és az ábrádon megpróbáltam csak a függvényt meghagyni, és az 1/2-ben van bal illetve jobboldali "alsó érintő" és miért ne lenne konvex az a függvény, amt így látunk?

Előzmény: [331] nadorp, 2008-03-04 09:43:27
[334] cauchy2008-03-04 11:58:24

Ha egyszer fennáll a lenti egyenlőtlenség, akkor nem konvex. És mint látható, az érintő sem marad az ábra alatt.

Előzmény: [330] epsilon, 2008-03-04 06:30:32
[333] cauchy2008-03-04 11:48:17

Az ábrán nem az látszik, amit ír, de hasonlít ahhoz.

Előzmény: [331] nadorp, 2008-03-04 09:43:27
[332] nadorp2008-03-04 10:39:50

De igen, viszont előtte valahogy beláttam, hogy a sorozat korlátos, és még ez dolgozott bennem.

Előzmény: [328] Lóczi Lajos, 2008-03-04 00:05:45
[331] nadorp2008-03-04 09:43:27

Kicsi csúnya, de látszik, hogy nem konvex a=\frac12 esetén

Előzmény: [330] epsilon, 2008-03-04 06:30:32
[330] epsilon2008-03-04 06:30:32

Kedves Lajos és Cauchy! Kösz a magyarázatokat, de még mindig nem világos számomra az pl, hogy mondjuk az a=1/2 értékre miért nem konvex (mert ez ugye nincs a [0,1]-en kívük, és mégsem konvex?! (A derivált esetén a törést megértettem, hiszen mondjuk lehet akár szögpont, visszatérőpont, stb. ahol a két szélső derivált nem egyenlő, a pontban húzott "félérintők" így is a grafikus ábra alatt maradnak.)

[329] epsilon2008-03-04 06:24:17

Köszi nadorp a megerősítést! Én csak azon csodálkozom, hogy lehet ilyen feladatokat tesztfeladatoknak adni feleletválasztósnak, hiszen a többi eredmény csak kelepce volt, végül is meg kell oldani, és nincs semmi ami a feleletválasztóshoz kapcsolná.(sem logikai kizárások, stb.)

[328] Lóczi Lajos2008-03-04 00:05:45

Ez szerintem nincs így: A+A=A+0-ból nemcsak A=0, de A=\pm\infty is következhetne, nem?

Előzmény: [315] nadorp, 2008-03-03 11:21:29
[327] Lóczi Lajos2008-03-03 23:38:57

A törés természetesen fennáll, de vedd figyelembe, hogy az f függvényed értelmezési tartománya csak a [0,1] intervallum volt, tehát érdektelen számunkra, mi és hogy törik azon kívül.

Előzmény: [324] epsilon, 2008-03-03 18:51:57
[326] cauchy2008-03-03 22:21:13

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy az a környezetében NEM konvex a függvény. Az \varepsilon nem is kell nagyon kicsi legyen, elég ha 0<\varepsilon<1 (illetve a-\varepsilon és a+\varepsilon\in[0,1] ha értelmezési tartományon belül akarunk maradni, de azon kívül is érvényes).

Előzmény: [324] epsilon, 2008-03-03 18:51:57
[325] nadorp2008-03-03 21:56:02

Az L=e^{\frac12} szerintem is jó. Én így számoltam:

Könnyen látszik, hogy b_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{2\cdot n!}\frac{ a_3}{a_2}, ahonnan - felhasználva a Stirling formulát -

\lim\root{n}\of{b_n}=e, azaz

\lim\frac{\ln{a_{n+1}}-\ln{a_n}}{n}=1.

Tetszőleges \varepsilon>0-hoz létezik N, hogy

(1-\varepsilon)N+ln aN<ln aN+1<(1+\varepsilon)N+ln aN

(1-\varepsilon)(N+N+1)+ln aN<ln aN+2<(1+\varepsilon)(N+N+1)+ln aN

...

(1-\varepsilon)\frac{(2N+k-1)k}2+\ln{a_N}<\ln{a_{N+k}}<(1+\varepsilon)\frac{(2N+k-1)k}2+\ln{a_N} teljesül minden k-ra, azaz

\lim_{k\to\infty}\frac{\ln{a_{N+k}}}{(N+k)^2}=\frac12

Előzmény: [314] epsilon, 2008-03-02 09:15:39
[324] epsilon2008-03-03 18:51:57

Kedves Lajos! Az a=0 és a=1 értékek esetén a 2 tagra alkalmazott Jensen-féle egyenlőtlenség valóban megadja az f konvexitását, kösz a hozzászólásod ahol írtad! Most már csak az a furcsa, mint írtam, hogy ezekben az esetekben is fennáll az, hogy az x=0 ill. x=1 esetekben nem teljesül a 2a-1=2a+1, vagyis a deriváltal=érintőmeghúzhatósággal való gond továbbra is homályosít? Mi a valódi helyzet, miért van ez a látszólagos ellentmondás? Mert azzak, hogy e 2 pontban konvex, még nem zárja ki, hogy más ban ne lenne az!? Üdv: epsilon

[323] epsilon2008-03-03 18:26:27

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megint jelentkeztél, mert továbbra is érdekelne a 297-es feladat tisztázása (ezúttal nem írtam el), vagyis, hogy miért edták arra azt a választ, hogy PONTOSAN 2 olyan "a" érték van amelyre az konvex lenne. Mint láttuk, az x=a-ban nem deriválható, viszont Te meg írod a 302-ben, hogy az a=0 és a=1 esetben konvex, bocs de Én nem látom miért, mert ebben a 2 esetben is fennáll a már említett 2a-1=2a+1 absurdum, ami az a pontban való deriválhatóság származtat.(vagyis nem húzható az érintő, és ebben a pontban nem érvényes a konvexitás jelzett értelmezése!?) Üdv: epsilon

[322] nadorp2008-03-03 18:22:44

Valami ilyenre számítottam. :-)

Előzmény: [321] epsilon, 2008-03-03 17:56:23
[321] epsilon2008-03-03 17:56:23

Huh a rézangyalát! Elnézést kérek Mindenkitől! Annyira bele vagyok merülve ebbe meg az ilyen típusú csapdás feladatokba, hogy egy 2-es hatványkitevőt elhagytam, amire egyébként a megoldásaimat is leírtam, tehát elnézéseteket kérve a rekurzió HELYESEN:

[320] Lóczi Lajos2008-03-03 17:04:07

Itt például az utolsó sorban az a lépés nem megalapozott, amikor az n-edik gyök alatt álló n-edik gyököt kicserélted a törtre.

Előzmény: [308] epsilon, 2008-03-02 07:38:15

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]