Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[834] Cokee2009-02-25 22:13:49

Sziasztok!

Tudnátok segiteni a köv. feladatban:

Legyen (X,M,\mu) tetszőleges mértéktér,s legyen f\inL1(\mu) olyan nem-negatív függvény,amelyre \int_{X} f>0. Tetszőleges \alpha\in(0,\infty) paraméter estetén határozzuk meg a \lim_{n\to\infty} \int_{X} n\cdot log\bigg(1+\bigg(\frac{f}{n}\bigg)^{\alpha}\bigg) d\mu

Elöre is köszönöm

[833] HoA2009-02-25 16:40:55

Ha a választott abszcisszához tartozó két másik metszéspontot is bejelöljük ( zöld szakasz végpontjai ) és a görbe által határolt területet integrálszámítással, a görbe alatti területek különbségeként számítjuk, az x tengely alatti értékeket szokás szerint negatívnak véve, akkor eredményül a nagy levél területének és a két kis levél területének különbségét kapjuk. Ha OC az y tengellyel \varphi szöget zár be, a kis kék háromszögekből az infinitezimális területdarab \DeltaTd=4a(cos\varphi-sin\varphi)2acos2\varphi\Delta\varphi, amiből a teljes terület

T_d = 16a^2\int_0^{\pi/4}(\cos \varphi - \sin \varphi) \cos 2\varphi d\varphi  = \frac{16}{3}a^2

Érdekes, hogy ez a terület a2-nek racionális számszorosa. Elfogadva, hogy a területek abszolút értékének összege

Ts=2\pia2

, a felső levél területét T1-gyel, a két kis levél területének összegét T2 -vel jelölve

T_1 + T_2 = 2\pi a^2 , T_1 - T_2 = \frac{16}{3}a^2, T_1 = \frac {3 \pi + 8}{3} a^2 , T_2 = \frac {3 \pi - 8}{3} a^2

A számértékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy T1 nagyjából 92,5 , T1 pedig 7,5 százaléka a teljes területnek. ( ha jól számoltam ... :-) )

Előzmény: [804] sakkmath, 2009-02-17 13:20:30
[832] nadorp2009-02-25 15:50:24

a_{n+1}-a_n=\frac{a_{n-1}-a_n}{n+1}=-\frac1{n+1}(a_n-a_{n-1})=\frac1{n+1}\frac1n(a_{n-1}-a_{n-2})=...=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}

Ha most összeadjuk ezt az n+1 darab egyenlőséget,a Jonas által adott képlet jön ki.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20
[831] jonas2009-02-25 13:45:05

Az ilyen fajta feladatra van egy általános módszer, ami gyakran működik. Számold ki a rekurziós szabályból a sorozat első néhány elemét pontosan. Keress rá a számlálójukra az OEIS-ben, megtalálod az A053557 sorozatot egyetlen találatként. Ennek a leírása azt mondja, hogy a sorozat n-ik eleme a  \sum_{0\le k\le n} (-1)^k/k! szám számlálója, ebből megsejted, hogy a te an sorozatod általános tagja éppen ez az összeg lesz, de vigyázz, az index eggyel el van csúsztatva! Ellenőrzöd, hogy ez a sejtés igaz-e az első néhány tagra, aztán ha igen, akkor megpróbálod belátni teljes indukcióval, hogy ez az explicit képlet valóban mindig igaz. Ezután már csak be kell látnod, hogy ez hova konvergál.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20
[830] fityfiritty2009-02-25 12:48:20

Sziasztok, remek ez a Fórum, le a kalappal! A sok érdekes, okos hozzászólás felbátorított, hogy tőletek kérjek segítséget ehhez a feladathoz: Az (an) sorozat elemeit így definiáljuk:

a0 = 1; a1 = 0; a_{n+1} = \frac{a_{n-1}+ na_n}{n + 1}; ha n = 1, 2, .... . Konvergens-e az (an) sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Köszi szépen, előre is!

[829] laci7772009-02-24 16:15:51

Én köszönöm, mégpedig Neked, valamint Káli Gúlának a hasznos útmutatást. Túl azon, hogy egy magamban már eléggé reménytelennek elkönyvelt problémában segítettetek, élvezet volt számomra a gondolatmeneteteket is követni.

A gordiusi csomó átvágását - tekintettel a valóban csúnya paraméteres megoldásra - külön is köszönöm:)

Szép napot: Laci

Előzmény: [827] HoA, 2009-02-24 14:08:59
[828] plac2009-02-24 15:10:39

Nagyon köszönöm!

Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58
[827] HoA2009-02-24 14:08:59

Köszönöm Káli gúla szép megoldását. Azt hiszem, segít még jobban rávilágítani arra, mi a bajom ezzel a feladattal. Fussunk tehát neki harmadszor is, ezúttal az ő jelöléseit is használva:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, M méter hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott t mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont M métert tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? ( Számadatok: t = 15 s , M = 1000 m )

A futár megtett útja [822] megoldóképlete szerint így alakul:

s = M \frac{v_2}{v_1} - t(v_2 - v_1)(1)

Mint az várható volt, a megtett út a feladatban szereplő M,t,v1ésv2 mennyiségektől függ. M és t konkrét értéke adott, de v1ésv2 szerepét jótékony homály fedi. Gondolhatnánk, hogy azok is az M és t ismeretében értelmes határok között szabadon megadhatók, csak most éppen nem rendelünk hozzájuk számértéket. De ez nem így van. A feladat túlhatározott, adott M és t mellett már v1ésv2 nem választható meg egymástól függetlenül. Az adatok közötti megkötést éppen [822] feltételi egyenlete adja:

 \frac{M}{v_1} - t = \frac {M}{v_2 - v_1} + \frac {M}{v_2 + v_1} (2)

Ha M,v1ésv2 értéke lenne adott, megtehetnénk, hogy (2) –ből kifejezzük t-t és ezt behelyettesítjük (1) –be. Rövid átalakítások után [824] szép képletét kapjuk:

 s = M \left ( 2 + \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right )(3)

De az ekkor sem lenne igaz, hogy „akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát”, hiszen egy adott M,v1ésv2 hármashoz egy konkrét, éppen a (2) egyenletből adódó t érték tartozik.

Nekünk azonban Mést adott. Mit tehetünk, hogy bemenő adatainktől egyértelműen függő eredményt kapjunk? Az egyik megoldás laci777 „izzadási iránya”: (2) –ből v2-re másodfokú egyenletet kapunk. Ennek fizikailag értelmes gyökét választva v2 -nek ezt a kifejezését behelyettesítjük (1) –be és kapunk egy csúnya , de csak M-et,t-tésv1-et tartalmazó kifejezést. A másik megoldás az, hogy elfogadjuk (3) szép képletét megoldásnak, de hozzátesszük, hogy „ahol v1 szabadon választott sebesség a 0<v1<M/t tartományban, v2 pedig a (2) feltételből számított M,t,ésv1 által meghatározott sebesség”. És ekkor persze a (3) képletben szereplő mennyiségekhez éppen a megadott t érték trtozik.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32
[826] tudniakarok2009-02-24 13:46:11

Sziasztok! Kérlek segítsetek!

Az a problémám, hogyha adott tetszőleges db nemnegatív szám, akkor hogyan tudnám elrendezni őket egy mátrixba úgy hogy a lehető legegyenletesebb elrendezést kapjam.(Arra gondolván, hogy a két legnagyobb szám a "legtávolabb" legyen egymástól, és így tovább...) Van-e erre vmilyen már kidolgozott algoritmus, mert nem nagyon találom a szakirodalmakban!? Van ötletem, de elég egyszerűnek találom ráadásul nagy számításigényű,hátha vki tud jobbat!

Előre is köszi a segítséget!

[825] laci7772009-02-23 23:22:06

Kedves Káli Gúla!

Köszönöm szépen ezt a megoldást is, bár őszintén szólva olyat igyekeztem volna kiizzadni (a jelzett eredménnyel:(), ahol a menetoszlop (a példa adatai szerint 0<v1<240 km/h közt értelmezhető) sebessége az egyedüli független változó, ahogyan valóban is annak a függvénye minden egyéb tényező (a v2 és az egyes szakaszok s és t értékei egyaránt). Még egyszer köszönöm.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32
[824] Káli gúla2009-02-23 19:14:32

Működik az is. Legyen v2=kv1, a menetoszlop hossza M. Amíg fel- és lefut, addig \frac{M}{(k-1)v_1}+\frac{M}{(k+1)v_1} idő telik el, ez alatt a menet s_0=\frac{1}{k-1}M+\frac{1}{k+1}M, a futár pedig \matrix{ks_0} utat tesz meg. A középső időszakban együtt mennek, ez a feltétel miatt \matrix{M-s_0}, tehát a futár összesen M+(k-1)s_0=
\left(2+\frac{k-1}{k+1}\right)M=
\left(2+\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\right)M
utat tett meg a feladat adataival (akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát vagy ha 0 mp-et ment volna).

Előzmény: [823] laci777, 2009-02-23 16:53:01
[823] laci7772009-02-23 16:53:01

Kedves HoA!

Köszönet (ismét) a segítségért. Úgy gondoltam eredetileg, hogy az egyes időintervallumokban megtett utakkal operálok, de boncolás (+eltévedés:() lett sajna belőle...

Még egyszer köszönöm szépen.

Előzmény: [822] HoA, 2009-02-23 10:08:45
[822] HoA2009-02-23 10:08:45

Szerintem a feladatban nem az okozza a gondot, hogy „a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet túl kemény dió” , hanem az, hogy a feladat egy kicsit tisztességtelenül van kitűzve. Az egyik szokásos középiskolai feladattípus szövegében megadnak bizonyos paramétereket és az eredményt ezek függvényében várják. Ha zárójelben megadják a paraméterek numerikus értékét is, akkor ezeket az eredmény képletébe behelyettesítve számszerű eredményt is tudunk adni . Másik fekadattípus az, ahol egy fizikai jelenség kapcsán bizonyos mennyiségek közötti összefüggések keresése, értékhatárok megállapítása a cél. Itt a kettő keveredik, a baj csak az, hogy ez a szövegből nem derül ki egyértelműen. Tisztességesnek valahogy így érezném a feladat kitűzését:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? Milyen összefüggés áll fenn v1 és v2 között, ha tudjuk, hogy a menetoszlop 1 km hosszú?

Megoldás: A futár teljes menetideje 1000/v1 mp, ebből 15 mp-ig v1, egyébként v2 sebességgel haladt, a megtett út tehát s = 15 v_1 + (1000/v_1 -15) v_2= 1000 \frac{v_2}{v_1} - 15 (v_2 - v_1) méter. A v1ésv2 közötti összefüggést abból állapítjuk meg, hogy a futár 1000/v1-15 mp alatt az 1000 méteres oszlop végéről az elejére majd vissza ment, menetideje tehát: \frac{1000}{v_1} -15 = \frac{1000}{v_2 - v_1} + \frac{1000}{v_2 + v_1} Ezek után a v2-re adódó másodfokú egyenletet elemezhetjük, milyen v1 értékekre kapunk pozitív v2-t, v2 milyen határok között változhat, stb. Végül v2-t v1 függvényeként felírva behelyettesíthetjük a megtett út képletébe, így az egy csak v1 -től függő kifejezés lesz, de továbbra sem egy konkrét számérték.

Előzmény: [815] laci777, 2009-02-22 00:21:36
[821] Lóczi Lajos2009-02-22 18:20:58

Rögzített x\inH-ra n\to\infty esetén fn(x)\tof(x):=\pix/2. A függvénysorozat egyenletes konvergenciája azt jelenti, hogy \lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=0. Ezt kell igazolni most. Ehhez egy kis függvényvizsgálatra van szükség.

1. Látszik, hogy ha x rögzített, akkor a konvergencia n-ben monoton: fn(x)<fn+1(x)<f(x), vagyis |fn(x)-f(x)|=f(x)-fn(x)=:gn(x).

2. Pl. L'Hospital-lal belátod, hogy \lim_{x\to\infty}g_n(x)=\frac{1}{n}>0, illetve két deriválással, hogy gn(x) konkáv. De gn(0)=0 is igaz. Vagyis rögzített n-re gn olyan nemnegatív konkáv függvény, amely 0-ban 0, a végtelenben pedig a határértéke pozitív. Egy ilyen függvény viszont minden x\inH esetén kisebb, mint a limesze, tehát 0\le g_n(x)<\frac{1}{n}, minden x-re és n-re.

3. Emiatt \lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H} g_n(x)=0.

Előzmény: [819] plac, 2009-02-22 14:22:15
[820] Lóczi Lajos2009-02-22 17:23:04

Viszont igazzá válik az állítás, ha megköveteljük, hogy a két végpontban ugyanazok legyenek a függvényértékek, vagyis f(a)=g(a) és f(b)=g(b) legyen.

Ekkor ugyanis a két konvex alakzat tartalmazni fogja egymást (az egyik alakzat a két végpont, az őket összekötő szakasz és f "lelógó" grafikonja által határolt síkidom; a másik ugyanígy, csak g-vel), és ismert (itt a Fórumon már kétszer is előkerült a bizonyítása, csak meg kell keresd :), hogy ha egy konvex alakzat tartalmaz egy másikat, akkor a külső alakzat kerülete nem lehet kisebb.

Előzmény: [818] M. Feri, 2009-02-22 13:45:13
[819] plac2009-02-22 14:22:15

Hello! A kérdésem a következő lenne. Valaki megtudja nekem mondani, hogy fn(x)=x.arctan(nx), H=(0,\infty) függvénysorozat egyenletesen konvergens-e a konvergencia halmazán és hogy ezt hogyan bizonyítom... Bocsánat ha valaki nagyon bugyutának véli a kérdést, de nagyon nem látom, hogy kellene megcsinálni.

[818] M. Feri2009-02-22 13:45:13

Igen, éreztem én, hogy sántít valami...

Előzmény: [817] Lóczi Lajos, 2009-02-22 13:32:53
[817] Lóczi Lajos2009-02-22 13:32:53

Ebben a formában nem is igaz az állítás. Ellenpélda: f az azonosan 0 függvény, g pedig egy pozitív, lineáris függvény. f grafikonja rövidebb, mint g-é.

Előzmény: [816] M. Feri, 2009-02-22 12:54:29
[816] M. Feri2009-02-22 12:54:29

Sziasztok! A következő feladatban valami hiba van, vagy én vagyok figyelmetlen? (Szerintem hiányzik még egy feltétel): Ha f és g [a,b] intervallumot leképezi a valós számok halmazára, mindkét függvény konvex, deriválható és deriváltjai folytonosak, emellett még f(x)\leqg(x) akkor {\int_a^b \sqrt{1+{({f^'}(x))}^2}}dx\geq{\int_a^b \sqrt{1+{({g^'}(x))}^2}}dx

Megoldható így, ebben az alakban? Ha igen, hogy? Előre is köszönöm!!

[815] laci7772009-02-22 00:21:36

Ha nem baj, megint egy példával jönnék, kifogni látszik rajtam. Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, 1 km hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen?

Azt látom, hogy a 15 mp-ben megtett, 0<s<1 km út függvényében egyre nagyobb a szükséges v2-v1 sebességkülönbség, ill. hogy a futár összteljesítménye 2 és 3 km (pontosabban 1+gyökkető és 3) km között kell legyen, de a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet (legalábbis nagyon remélem, hogy az) túl kemény dió:(

Még az itt felvetett többi probléma nehézségét látva is remélem, most is lesz, aki segít a megoldásban:)

Előre is köszönöm.

[814] HoA2009-02-20 10:29:29

Ha az a bizonyos Thálesz-kör egységsugarú és a "Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai köre" [803] ábrájának AO2O1D körívét jelenti, O1ésO2 pedig az ACD ill. ABD háromszögek beírt köreinek középpontját, akkor az első válasz igen, BC mindig gyök 3. Ugyanis a körív sugara EA = \sqrt2, ezért ebben az esetben EO1O2 háromszög szabályos, E-nél lévő szöge 60o. Mivel az EO1ésEO2 egyensek egyúttal a C-nél ill. B-nél lévő derékszögek felezői, így az általuk bezárt szög 60o, tehát BC az egységsugarú körnek 60o-os kerületi szöghöz tartozó húrja, ez pedig \sqrt3 hosszú.

Ha O1O2 forog, BC is mozog, de nem együtt, "merev test szerűen" forognak. [755] és [803] ábrájának összehasonlításából látható, hogy szimmetrikus esetben O1O2 és BC párhuzamosak, egyébként nem. Szemléletesen úgy képzelhető, hogy a rögzítetten 60o-os O2EO1 szög két szára forog legyezőszerűen, és bármely helyzetében a \sqrt2 sugarú AO2O1D körívből 60o-os középponti szöghöz tartózó \sqrt2 hosszúságú O1O2 húrt, az egységsugarú Thálesz-körből pedig 60o-os kerületi szöghöz tartózó \sqrt3 hosszúságú BC húrt metsz ki.

Előzmény: [810] kiskiváncsi, 2009-02-19 20:24:56
[813] laci7772009-02-19 23:29:25

Igen, igazad van, valóban egy lépés kihagyása, ha egyből egy háromszöget veszek önkényesen létezőnek.

Köszi, szia

Előzmény: [811] nadorp, 2009-02-19 23:10:40
[812] jenei.attila2009-02-19 23:22:26

Van-e a valós számok additív csoportjának nem triviális automorfizmusa?

Van-e a valós számok testének véges, vagy megszámlálható indexű részteste? Egyáltalán continuum számosságú valódi részteste? Mi a "legbővebb" valódi résztest?

Nem tudom a válaszokat, valaki segíthetne.

[811] nadorp2009-02-19 23:10:40

Én a bizonyításod megfogalmazására gondoltam.

Ha azt mondod:

"Tekintsünk egy a,b,c oldalú háromszöget, melyre fennáll az egyenlőség. Ekkor a cosinus tétel szerint ebben a háromszögben a c-vel szemben 60o van, tehát c a "középső" hosszúságú oldal."

akkor a fenti bizonyítás hiányos, mert nem tudjuk, hogy létezik-e az a,b,c oldalú háromszög.

Ha viszont azt mondod:

"Tekinsünk két pozitív a\neqb számot és nézzük azt a háromszöget, melynek két oldala a és b, közbezárt szögük 60o. Ez egyértelműen meghatározza a c oldal hosszát és az egyenlőség összes megoldását megkaphatjuk ezzel a módszerrel. Mivel ezek a háromszögek nem szabályosak és c a "középső" hosszúságú oldal, ezért a<c<b vagy b<c<a teljesülhet."

akkor jó a megoldásod.

Előzmény: [807] laci777, 2009-02-19 19:30:30
[810] kiskiváncsi2009-02-19 20:24:56

Kedves HOA! Ez a feladat az egyik fórumon így jelent meg: O1O2 gyök2 hosszú szakasz a Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai körén foroghat. Mekkora a BC szakasz? Azaz ez a megadott és csak ez létezik, vagy kinetogeometriailag ki lehet szerkeszteni, BC valóban mindig gyök 3 vagy nem? Azaz ha O1,O2 szakasz forog, akkor BC állandó és egyenlő gyök3? Vagy csak ez a 6o fokhoz tartozó két szakasz együtt foroghat (merev test szerűen)?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]