Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[842] Lóczi Lajos	2009-03-01 20:18:44
A pozitív definitséget nem csak szimmetrikus mátrixokra szokták definiálni?
Előzmény: [841] pvong17, 2009-03-01 15:21:48

[841] pvong17

2009-03-01 15:21:48

Ha egy nem szimmetrikus mátrixnak, létezik negatív sajátértéke akkor már nem is lehet pozitív definit, ugye ?

(bocsánat ha triviális)

[840] fityfiritty	2009-02-26 17:01:02
Nagyon jó!! Köszönöm Neked is és Jonasnak is a profi, klassz válaszokat, tanácsokat. Most már meg merem kockáztatni, hogy az e^x hatványsorának az x = -1- hez tartozó részletösszegéhez jutottunk, ha nem tévedek. Ezért a limeszre a tippem: 1/e. Üdvözöl mindenkit: fityfiritty.
Előzmény: [832] nadorp, 2009-02-25 15:50:24

[839] sakkmath	2009-02-26 12:20:11
Az egyes levelek területeire én is ezeket az eredményeket kaptam. Levezetésedben a teljes területre, mint adott értékre támaszkodsz. Hogy ez a szál se legyen elvarratlan, felteszem az alábbi ábrát, amely további adatokat szolgáltat a görbéről. Így bárki összevetheti saját eredményeit az általam közöltekkel... .

Előzmény: [833] HoA, 2009-02-25 16:40:55

[838] vogel	2009-02-26 10:18:11
Ez elég nyilvánvaló volt, köszönöm. :-D
Előzmény: [836] Lóczi Lajos, 2009-02-26 00:54:08

[837] Lóczi Lajos	2009-02-26 01:40:27
Először az integrálást és a limeszt kellene felcserélni (de ez még nem világos számomra, hogy milyen alapon megy: a becslések nem tűnnek egyszerűnek pl. a Lebesgue domináltkonvergencia-tétel alkalmazásához); utána L'Hospital-szabály jönne, amiből látszik, hogy az $\alpha$ $\in$ (0,1), $\alpha$ =1 és $\alpha$ >1 eseteket kellene külön kezelni. Azt sejtem (legalábbis $\mu$ (X)<+ $\infty$ esetén), hogy a végeredmények rendre + $\infty$ , $\alpha$ \|\|f\|\|₁ és 0.
Előzmény: [834] Cokee, 2009-02-25 22:13:49

[836] Lóczi Lajos

2009-02-26 00:54:08

Írd át pl. így és erre alkalmazd:

$\frac{\pi/2-{\rm{arctg}}(nx)}{1/x}.$

Előzmény: [835] vogel, 2009-02-25 22:49:48

[835] vogel	2009-02-25 22:49:48
Sajnos nem jövök rá valamire ezzel kapcsolatban... A L'Hospital-szabályt mire alkalmazzuk, hogy jön ki az 1/n? Köszi.
Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58

[834] Cokee

2009-02-25 22:13:49

Sziasztok!

Tudnátok segiteni a köv. feladatban:

Legyen (X,M, $\mu$ ) tetszőleges mértéktér,s legyen f $\in$ L¹( $\mu$ ) olyan nem-negatív függvény,amelyre $\int_{X} f>0$ . Tetszőleges $\alpha$ $\in$ (0, $\infty$ ) paraméter estetén határozzuk meg a $\lim_{n\to\infty} \int_{X} n\cdot log\bigg(1+\bigg(\frac{f}{n}\bigg)^{\alpha}\bigg) d\mu$

Elöre is köszönöm

[833] HoA	2009-02-25 16:40:55
Ha a választott abszcisszához tartozó két másik metszéspontot is bejelöljük ( zöld szakasz végpontjai ) és a görbe által határolt területet integrálszámítással, a görbe alatti területek különbségeként számítjuk, az x tengely alatti értékeket szokás szerint negatívnak véve, akkor eredményül a nagy levél területének és a két kis levél területének különbségét kapjuk. Ha OC az y tengellyel $\varphi$ szöget zár be, a kis kék háromszögekből az infinitezimális területdarab $\Delta$ T_d=4a(cos $\varphi$ -sin $\varphi$ )2acos2 $\varphi$ $\Delta$ $\varphi$ , amiből a teljes terület $T_d = 16a^2\int_0^{\pi/4}(\cos \varphi - \sin \varphi) \cos 2\varphi d\varphi = \frac{16}{3}a^2$ Érdekes, hogy ez a terület a²-nek racionális számszorosa. Elfogadva, hogy a területek abszolút értékének összege T_s=2 $\pi$ a² , a felső levél területét T₁-gyel, a két kis levél területének összegét T₂ -vel jelölve $T_1 + T_2 = 2\pi a^2 , T_1 - T_2 = \frac{16}{3}a^2, T_1 = \frac {3 \pi + 8}{3} a^2 , T_2 = \frac {3 \pi - 8}{3} a^2$ A számértékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy T₁ nagyjából 92,5 , T₁ pedig 7,5 százaléka a teljes területnek. ( ha jól számoltam ... :-) )

Előzmény: [804] sakkmath, 2009-02-17 13:20:30

[832] nadorp

2009-02-25 15:50:24

$a_{n+1}-a_n=\frac{a_{n-1}-a_n}{n+1}=-\frac1{n+1}(a_n-a_{n-1})=\frac1{n+1}\frac1n(a_{n-1}-a_{n-2})=...=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$

Ha most összeadjuk ezt az n+1 darab egyenlőséget,a Jonas által adott képlet jön ki.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20

[831] jonas	2009-02-25 13:45:05
Az ilyen fajta feladatra van egy általános módszer, ami gyakran működik. Számold ki a rekurziós szabályból a sorozat első néhány elemét pontosan. Keress rá a számlálójukra az OEIS-ben, megtalálod az A053557 sorozatot egyetlen találatként. Ennek a leírása azt mondja, hogy a sorozat n-ik eleme a $\sum_{0\le k\le n} (-1)^k/k!$ szám számlálója, ebből megsejted, hogy a te a_n sorozatod általános tagja éppen ez az összeg lesz, de vigyázz, az index eggyel el van csúsztatva! Ellenőrzöd, hogy ez a sejtés igaz-e az első néhány tagra, aztán ha igen, akkor megpróbálod belátni teljes indukcióval, hogy ez az explicit képlet valóban mindig igaz. Ezután már csak be kell látnod, hogy ez hova konvergál.
Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20

[830] fityfiritty

2009-02-25 12:48:20

Sziasztok, remek ez a Fórum, le a kalappal! A sok érdekes, okos hozzászólás felbátorított, hogy tőletek kérjek segítséget ehhez a feladathoz: Az (a_n) sorozat elemeit így definiáljuk:

a₀ = 1; a₁ = 0; $a_{n+1} = \frac{a_{n-1}+ na_n}{n + 1};$ ha n = 1, 2, .... . Konvergens-e az (a_n) sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Köszi szépen, előre is!

[829] laci777

2009-02-24 16:15:51

Én köszönöm, mégpedig Neked, valamint Káli Gúlának a hasznos útmutatást. Túl azon, hogy egy magamban már eléggé reménytelennek elkönyvelt problémában segítettetek, élvezet volt számomra a gondolatmeneteteket is követni.

A gordiusi csomó átvágását - tekintettel a valóban csúnya paraméteres megoldásra - külön is köszönöm:)

Szép napot: Laci

Előzmény: [827] HoA, 2009-02-24 14:08:59

[828] plac	2009-02-24 15:10:39
Nagyon köszönöm!
Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58

[827] HoA

2009-02-24 14:08:59

Köszönöm Káli gúla szép megoldását. Azt hiszem, segít még jobban rávilágítani arra, mi a bajom ezzel a feladattal. Fussunk tehát neki harmadszor is, ezúttal az ő jelöléseit is használva:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, M méter hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott t mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont M métert tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? ( Számadatok: t = 15 s , M = 1000 m )

A futár megtett útja [822] megoldóképlete szerint így alakul:

$s = M \frac{v_2}{v_1} - t(v_2 - v_1)$

(1)

Mint az várható volt, a megtett út a feladatban szereplő M,t,v₁ésv₂ mennyiségektől függ. M és t konkrét értéke adott, de v₁ésv₂ szerepét jótékony homály fedi. Gondolhatnánk, hogy azok is az M és t ismeretében értelmes határok között szabadon megadhatók, csak most éppen nem rendelünk hozzájuk számértéket. De ez nem így van. A feladat túlhatározott, adott M és t mellett már v₁ésv₂ nem választható meg egymástól függetlenül. Az adatok közötti megkötést éppen [822] feltételi egyenlete adja:

$\frac{M}{v_1} - t = \frac {M}{v_2 - v_1} + \frac {M}{v_2 + v_1}$

(2)

Ha M,v₁ésv₂ értéke lenne adott, megtehetnénk, hogy (2) –ből kifejezzük t-t és ezt behelyettesítjük (1) –be. Rövid átalakítások után [824] szép képletét kapjuk:

$s = M \left ( 2 + \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right )$

(3)

De az ekkor sem lenne igaz, hogy „akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát”, hiszen egy adott M,v₁ésv₂ hármashoz egy konkrét, éppen a (2) egyenletből adódó t érték tartozik.

Nekünk azonban Mést adott. Mit tehetünk, hogy bemenő adatainktől egyértelműen függő eredményt kapjunk? Az egyik megoldás laci777 „izzadási iránya”: (2) –ből v₂-re másodfokú egyenletet kapunk. Ennek fizikailag értelmes gyökét választva v₂ -nek ezt a kifejezését behelyettesítjük (1) –be és kapunk egy csúnya , de csak M-et,t-tésv₁-et tartalmazó kifejezést. A másik megoldás az, hogy elfogadjuk (3) szép képletét megoldásnak, de hozzátesszük, hogy „ahol v₁ szabadon választott sebesség a 0<v₁<M/t tartományban, v₂ pedig a (2) feltételből számított M,t,ésv₁ által meghatározott sebesség”. És ekkor persze a (3) képletben szereplő mennyiségekhez éppen a megadott t érték trtozik.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32

[826] tudniakarok

2009-02-24 13:46:11

Sziasztok! Kérlek segítsetek!

Az a problémám, hogyha adott tetszőleges db nemnegatív szám, akkor hogyan tudnám elrendezni őket egy mátrixba úgy hogy a lehető legegyenletesebb elrendezést kapjam.(Arra gondolván, hogy a két legnagyobb szám a "legtávolabb" legyen egymástól, és így tovább...) Van-e erre vmilyen már kidolgozott algoritmus, mert nem nagyon találom a szakirodalmakban!? Van ötletem, de elég egyszerűnek találom ráadásul nagy számításigényű,hátha vki tud jobbat!

Előre is köszi a segítséget!

[825] laci777

2009-02-23 23:22:06

Kedves Káli Gúla!

Köszönöm szépen ezt a megoldást is, bár őszintén szólva olyat igyekeztem volna kiizzadni (a jelzett eredménnyel:(), ahol a menetoszlop (a példa adatai szerint 0<v1<240 km/h közt értelmezhető) sebessége az egyedüli független változó, ahogyan valóban is annak a függvénye minden egyéb tényező (a v2 és az egyes szakaszok s és t értékei egyaránt). Még egyszer köszönöm.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32

[824] Káli gúla	2009-02-23 19:14:32
Működik az is. Legyen v₂=kv₁, a menetoszlop hossza M. Amíg fel- és lefut, addig $\frac{M}{(k-1)v_1}+\frac{M}{(k+1)v_1}$ idő telik el, ez alatt a menet $s_0=\frac{1}{k-1}M+\frac{1}{k+1}M$ , a futár pedig $\matrix{ks_0}$ utat tesz meg. A középső időszakban együtt mennek, ez a feltétel miatt $\matrix{M-s_0}$ , tehát a futár összesen $M+(k-1)s_0= \left(2+\frac{k-1}{k+1}\right)M= \left(2+\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\right)M$ utat tett meg a feladat adataival (akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát vagy ha 0 mp-et ment volna).
Előzmény: [823] laci777, 2009-02-23 16:53:01

[823] laci777

2009-02-23 16:53:01

Kedves HoA!

Köszönet (ismét) a segítségért. Úgy gondoltam eredetileg, hogy az egyes időintervallumokban megtett utakkal operálok, de boncolás (+eltévedés:() lett sajna belőle...

Még egyszer köszönöm szépen.

Előzmény: [822] HoA, 2009-02-23 10:08:45

[822] HoA

2009-02-23 10:08:45

Szerintem a feladatban nem az okozza a gondot, hogy „a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet túl kemény dió” , hanem az, hogy a feladat egy kicsit tisztességtelenül van kitűzve. Az egyik szokásos középiskolai feladattípus szövegében megadnak bizonyos paramétereket és az eredményt ezek függvényében várják. Ha zárójelben megadják a paraméterek numerikus értékét is, akkor ezeket az eredmény képletébe behelyettesítve számszerű eredményt is tudunk adni . Másik fekadattípus az, ahol egy fizikai jelenség kapcsán bizonyos mennyiségek közötti összefüggések keresése, értékhatárok megállapítása a cél. Itt a kettő keveredik, a baj csak az, hogy ez a szövegből nem derül ki egyértelműen. Tisztességesnek valahogy így érezném a feladat kitűzését:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? Milyen összefüggés áll fenn v1 és v2 között, ha tudjuk, hogy a menetoszlop 1 km hosszú?

Megoldás: A futár teljes menetideje 1000/v1 mp, ebből 15 mp-ig v1, egyébként v2 sebességgel haladt, a megtett út tehát s = $15 v_1 + (1000/v_1 -15) v_2= 1000 \frac{v_2}{v_1} - 15 (v_2 - v_1)$ méter. A v₁ésv₂ közötti összefüggést abból állapítjuk meg, hogy a futár 1000/v₁-15 mp alatt az 1000 méteres oszlop végéről az elejére majd vissza ment, menetideje tehát: $\frac{1000}{v_1} -15 = \frac{1000}{v_2 - v_1} + \frac{1000}{v_2 + v_1}$ Ezek után a v₂-re adódó másodfokú egyenletet elemezhetjük, milyen v₁ értékekre kapunk pozitív v₂-t, v₂ milyen határok között változhat, stb. Végül v₂-t v₁ függvényeként felírva behelyettesíthetjük a megtett út képletébe, így az egy csak v₁ -től függő kifejezés lesz, de továbbra sem egy konkrét számérték.

Előzmény: [815] laci777, 2009-02-22 00:21:36

[821] Lóczi Lajos

2009-02-22 18:20:58

Rögzített x $\in$ H-ra n $\to$ $\infty$ esetén f_n(x) $\to$ f(x):= $\pi$ x/2. A függvénysorozat egyenletes konvergenciája azt jelenti, hogy $\lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=0$ . Ezt kell igazolni most. Ehhez egy kis függvényvizsgálatra van szükség.

1. Látszik, hogy ha x rögzített, akkor a konvergencia n-ben monoton: f_n(x)<f_n+1(x)<f(x), vagyis |f_n(x)-f(x)|=f(x)-f_n(x)=:g_n(x).

2. Pl. L'Hospital-lal belátod, hogy $\lim_{x\to\infty}g_n(x)=\frac{1}{n}>0,$ illetve két deriválással, hogy g_n(x) konkáv. De g_n(0)=0 is igaz. Vagyis rögzített n-re g_n olyan nemnegatív konkáv függvény, amely 0-ban 0, a végtelenben pedig a határértéke pozitív. Egy ilyen függvény viszont minden x $\in$ H esetén kisebb, mint a limesze, tehát $0\le g_n(x)<\frac{1}{n}$ , minden x-re és n-re.

3. Emiatt $\lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H} g_n(x)=0$ .

Előzmény: [819] plac, 2009-02-22 14:22:15

[820] Lóczi Lajos

2009-02-22 17:23:04

Viszont igazzá válik az állítás, ha megköveteljük, hogy a két végpontban ugyanazok legyenek a függvényértékek, vagyis f(a)=g(a) és f(b)=g(b) legyen.

Ekkor ugyanis a két konvex alakzat tartalmazni fogja egymást (az egyik alakzat a két végpont, az őket összekötő szakasz és f "lelógó" grafikonja által határolt síkidom; a másik ugyanígy, csak g-vel), és ismert (itt a Fórumon már kétszer is előkerült a bizonyítása, csak meg kell keresd :), hogy ha egy konvex alakzat tartalmaz egy másikat, akkor a külső alakzat kerülete nem lehet kisebb.

Előzmény: [818] M. Feri, 2009-02-22 13:45:13

[819] plac	2009-02-22 14:22:15
Hello! A kérdésem a következő lenne. Valaki megtudja nekem mondani, hogy f_n(x)=x^.arctan(nx), H=(0, $\infty$ ) függvénysorozat egyenletesen konvergens-e a konvergencia halmazán és hogy ezt hogyan bizonyítom... Bocsánat ha valaki nagyon bugyutának véli a kérdést, de nagyon nem látom, hogy kellene megcsinálni.

[818] M. Feri	2009-02-22 13:45:13
Igen, éreztem én, hogy sántít valami...
Előzmény: [817] Lóczi Lajos, 2009-02-22 13:32:53

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?