Fórum: Valaki mondja meg!

de nem sürgős, ha valaki ráér, megköszönöm...

Keresem a következő sorozat végtelenben vett határértékét.

\(\displaystyle \frac{1^n+2^n+3^n+....+n^n}{(n+1)^n}\)

Bocs a késői válaszért. Nekem is ez jött ki, de olyan hihetetlennek tűnt.

A Wikipédia szerint: Carl Friedrich Gauss fedezte fel 1796-ban, hogy minden pozitív egész felírható legfeljebb három háromszögszám összegeként, melyet a naplójában a következőképpen jegyzett fel: „Heureka! num= Δ + Δ + Δ.”

Rávezetés: Ismert, hogy ha egy modellben egy változó értéke szimmetrikus eloszlással nő vagy csökken mindig, akkor várhatóan tetszőlegesen kicsi és nagy értéket is 1 valószínűséggel fog felvenni megfelelően sok idő után. Ez nem valami precíz, de meg lehet belőle sejteni, hogy a válasz 1 lesz. Jelölje \(\displaystyle p\) annak a valószínűségét, hogy ha csak \(\displaystyle 1\) amőbával kezdünk a kémcsőben, akkor az egy idő után ki fog halni, és írjunk fel valami rekurzív állítást úgy, ahogy az ilyen feladatoknál szokás!

Teljes megoldás:

\(\displaystyle p=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}p+\frac{1}{3}p^2\)

...hiszen ha az amőba duplázódik, akkor onnantól két külön kémcsőbe is rakhatjuk őket, az összes amőba akkor fog egyszer kihalni, ha mindkét kémcső kihal egy idő után, ennek esélye \(\displaystyle p^2\).

Ebből \(\displaystyle p=1\) adódik, ha \(\displaystyle 3\) amőba van kezdetben, azok \(\displaystyle p^3=1\) eséllyel halnak ki.

Az alfa-amőba fajta a következő tulajdonsággal rendelkezik:

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel elpusztul.

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel nem csinál semmit.

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel kétfelé osztódik.

Egy kémcsőbe betesznek 3 alfa-amőbát. Mi annak a valószínűsége, hogy előbb-utóbb nem lesz élő amőba a kémcsőben?

Előre is köszönök minden segítséget, tisztelettel: BZ.

javítom a duális logikai szita formát:

\(\displaystyle |A\cap B\cap C|=|A|+|B|+|C|-|A\cup B|-|A\cup C|-|B\cup C|+|A\cup B\cup C|\)

Ez inkább módszertan, amit most írok.

Ismert a halmazelméletből az úgynevezett logikai szita forma, amely három halmaz esetén a következőképpen néz ki:

\(\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\)

Erre rengeteg példa van a középiskolás könyvekben. Most felírva a duális logikai szita formát, a következő egyenlet adódik:

\(\displaystyle |A\cap B\cap C|=|A|+|B|+|C|-|A\cup B|-|A\cup C|-|B\cup C|+|A\cup B\ cup C|\)

Ha jól csináltam, akkor leellenőriztem ezt az állítást, és ez is igaznak adódott. Igazából az a kérdésem, hogy van-e olyan feladat vagy szituáció, ami igazából ezzel a duális logikai szita formával oldható meg?

Nekem így jobban tetszik a Bretschneider-képlet. Ugyanis ebből nagyon jól látszik, hogy egy négyszögre a következő két összefüggés egyszerre teljesül vagy nem teljesül:

Brahmagupta: \(\displaystyle T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)

Ptolemaiosz: \(\displaystyle ac+bd=pq\)

ahol \(\displaystyle s\) a négyszög félkerülete, \(\displaystyle T\) a négyszög területe, \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) a négyszög átlói, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) a négyszög oldalai (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) szemközti oldalak, \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) szemközti oldalak). Mind a két képlet a húrnégyszögekre teljesül.

"2 vagy több dimenziós esetben, nagyjából tetszőleges test felett például csinálhatjuk azt, hogy az x tengelyt a kétszeresére nagyítjuk, minden mást meg meghagyunk."

X tengely pontjait küldjük inkább a nullvektorba, ez jó példa tetszőleges testre, és legalább 2 dimenziós vektortérre.

"Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely összegtartó de nem skalárszorostartó?"

Szerintem ha a vektortér prímtest (Zp és Q) feletti, akkor nincs ilyen, összegtartásból levezethető, hogy a skalárszorost is tartja.

C (mint 1 dimenziós komplex vektortér) felett ilyen például a valósrész képzés, összeget összegbe visz, de egy komplex szám i-szeresét nem viszi az i-szeresébe.

1 dimenziós valós esetben, azaz valós függvényekre a kérdés kb a Cauchy függvényegyenlet https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's functional equation.

"Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely skalárszorostartó de nem összegtartó?"

1 dimenziós vektortérre nincsen ilyen, hiszen 1 darab vektor képe már meghatároz minden mást, és összegtartó lesz. 2 vagy több dimenziós esetben, nagyjából tetszőleges test felett például csinálhatjuk azt, hogy az x tengelyt a kétszeresére nagyítjuk, minden mást meg meghagyunk.

köszönöm! Van az úgy, hogy én is eljutok a bizonyításban levő képletig, csak éppen nem jut eszembe, hogy ha mindkét képletben felbontom a zárójeleket és rendezgetek, akkor meg lesz az egyenlőség. Mint például most.

Rendezések után láthatjuk, hogy a képleted ekvivalens az itteni bizonyítás végén kapott képlettel.

Keresek olyan matek-tételt vagy matek-jelenséget vagy matek-konstrukciót, amelyben a 11 és csak a 11 számnak lényeges szerepe van. Ilyen pl. a 11-gyel való oszthatósági szabály. Ha a 13-mal keresnék ilyet, akkor pl. 13 darab arkhimédeszi félig szabályos test van. Előre is köszönöm mindenki segítségét.

Mennyire igaz az, hogy bármilyen pozitív egész szám felírható három háromszögszám összegeként?

Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely összegtartó de nem skalárszorostartó? Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely skalárszorostartó de nem összegtartó? Előre is köszönöm!

Bretschneider-képlet: Legyenek \(\displaystyle P_1Q_1P_2Q_2\) négyszög oldalai: \(\displaystyle Q_2P_1=a\), \(\displaystyle P_1Q_1=b\), \(\displaystyle Q_1P_2=c\), \(\displaystyle P_2Q_2=c\), átlói \(\displaystyle P_1P_2=p\), \(\displaystyle Q_1Q_2=q\). Legyen \(\displaystyle s\) a négyszög félkerülete. Ekkor a négyszög \(\displaystyle T\) területe a következő képlettel számolható ki:

\(\displaystyle T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}{4}}\)

Tud erre valaki egy szép bizonyítást? Vagy egy akármilyen bizonyítást? Előre is köszönöm!

Köszönöm.

Legyen A és B az átmérő két végpontja, P az átmérő egyenesén levő külső pont, M a szelő és az átmérő metszéspontja.

Továbbá legyen O a keresett kör középpontja, E az érintési pont , r a kör sugara, és nyilván teljesül a \(\displaystyle \beta= EPO\measuredangle=OEM\measuredangle\) összefüggés is.

Ekkor felírhatóak az alábbi egyenlőségek:

\(\displaystyle PA=PO-AO=\frac r {\sin\beta}-r=r\cdot\frac{1-\sin\beta}{\sin\beta}\)

\(\displaystyle AM=AO-MO=r-r\sin\beta=r(1-\sin\beta)\)

\(\displaystyle PB=PO+OB=\frac r {\sin\beta}+r=r\cdot\frac{1+\sin\beta}{\sin\beta}\)

\(\displaystyle MB=MO+OB=r\sin\beta+r=r(1+\sin\beta)\)

A fentiekből következik, hogy

\(\displaystyle \sin\beta=\frac{AM}{PA}=\frac{MB}{PB}\) , azaz

\(\displaystyle \sin\beta=\frac{MX}{PX}\) alakú, ahol X=A vagy X=B

Így a szerkesztés, attól függően, hogy X=A vagy X=B van megadva, a következő lesz:

Vegyük fel a PX szakasz, mint átmérő fölé írható Thalész-kört és az X középpontú, MX sugarú kört. A két kör metszéspontját kössük össze a P ponttal. Ez az egyenes az E-ben metszi a szelőt. Utána állítsunk erre az egyenesre E-ben merőlegest. Így megkapjuk a kör O középpontját.

Diszkusszió: A szerkesztés akkor végezhető el, ha \(\displaystyle MX<PX\) teljesül, hiszen \(\displaystyle \sin\beta<1\) (P külső, M belső pont, így egyenlőség nem lehet). Ez X=B esetén mindig fennál, de ha X=A, akkor csak úgy lesz megoldás, ha \(\displaystyle PA> AM\)

Van egy átmérő egyenesem egy körhöz. Adott rajta a körvonal egy pontja. Van egy szelő egyenesem, ami merőleges az átmérő egyenesre. Ismerem az átmérő egyenesen azt a külső pontot, amelyből a körhöz húzott érintő a szelő egyenes és a körvonal metszéspontján halad át. Keresem a kört? (feladat mottója: középkori párkányt szeretnék torzított körökkel, azaz ellipszisekkel megközelíteni, hogy az építőmesteri felújításához sablont készíthessünk.) Minden jót kívánva!

Kedves Mindenki!

Ha valaki tudna segíteni ezekben azt megköszönném :)

Köszike Erzsi, ha eljut8k odáig, mindenképpen csekkolni fogom.

https://scholar.rose-hulman.edu/rhumj/vol3/iss2/4/

abcd a négyjegyű szám, és úgy értelmeztem a cikkből, hogy csökkenőbe tette a számjegyeket az általánosság megszorítása nélkül. A következőben másolom a cikk linkjét.

De tudna valaki arra szükséges és elégséges feltételt mondani, hogy egy négyjegyű számból kiindulva, hogy pontosan a \(\displaystyle k\)-ik iterációt múlva lesz először a kapott eredmény 6174, ahol \(\displaystyle k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)?