Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2274] marcius82022-07-20 11:50:50

Bocs a késői válaszért. Nekem is ez jött ki, de olyan hihetetlennek tűnt.

Előzmény: [2272] marcipan5000, 2022-06-18 16:26:15
[2273] iscir2022-06-18 17:33:37

A Wikipédia szerint: Carl Friedrich Gauss fedezte fel 1796-ban, hogy minden pozitív egész felírható legfeljebb három háromszögszám összegeként, melyet a naplójában a következőképpen jegyzett fel: „Heureka! num= Δ + Δ + Δ.”

Előzmény: [2262] marcius8, 2021-10-08 20:45:49
[2272] marcipan50002022-06-18 16:26:15

Rávezetés: Ismert, hogy ha egy modellben egy változó értéke szimmetrikus eloszlással nő vagy csökken mindig, akkor várhatóan tetszőlegesen kicsi és nagy értéket is 1 valószínűséggel fog felvenni megfelelően sok idő után. Ez nem valami precíz, de meg lehet belőle sejteni, hogy a válasz 1 lesz. Jelölje \(\displaystyle p\) annak a valószínűségét, hogy ha csak \(\displaystyle 1\) amőbával kezdünk a kémcsőben, akkor az egy idő után ki fog halni, és írjunk fel valami rekurzív állítást úgy, ahogy az ilyen feladatoknál szokás!

Teljes megoldás:

\(\displaystyle p=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}p+\frac{1}{3}p^2\)

...hiszen ha az amőba duplázódik, akkor onnantól két külön kémcsőbe is rakhatjuk őket, az összes amőba akkor fog egyszer kihalni, ha mindkét kémcső kihal egy idő után, ennek esélye \(\displaystyle p^2\).

Ebből \(\displaystyle p=1\) adódik, ha \(\displaystyle 3\) amőba van kezdetben, azok \(\displaystyle p^3=1\) eséllyel halnak ki.

Előzmény: [2271] marcius8, 2022-06-16 09:19:09
[2271] marcius82022-06-16 09:19:09

Az alfa-amőba fajta a következő tulajdonsággal rendelkezik:

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel elpusztul.

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel nem csinál semmit.

- 1 másodpercig nyugisan ül, majd 1/3 valószínűséggel kétfelé osztódik.

Egy kémcsőbe betesznek 3 alfa-amőbát. Mi annak a valószínűsége, hogy előbb-utóbb nem lesz élő amőba a kémcsőben?

Előre is köszönök minden segítséget, tisztelettel: BZ.

[2270] marcius82021-11-04 17:17:39

javítom a duális logikai szita formát:

\(\displaystyle |A\cap B\cap C|=|A|+|B|+|C|-|A\cup B|-|A\cup C|-|B\cup C|+|A\cup B\cup C|\)

Előzmény: [2269] marcius8, 2021-11-04 17:13:52
[2269] marcius82021-11-04 17:13:52

Ez inkább módszertan, amit most írok.

Ismert a halmazelméletből az úgynevezett logikai szita forma, amely három halmaz esetén a következőképpen néz ki:

\(\displaystyle |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\)

Erre rengeteg példa van a középiskolás könyvekben. Most felírva a duális logikai szita formát, a következő egyenlet adódik:

\(\displaystyle |A\cap B\cap C|=|A|+|B|+|C|-|A\cup B|-|A\cup C|-|B\cup C|+|A\cup B\ cup C|\)

Ha jól csináltam, akkor leellenőriztem ezt az állítást, és ez is igaznak adódott. Igazából az a kérdésem, hogy van-e olyan feladat vagy szituáció, ami igazából ezzel a duális logikai szita formával oldható meg?

[2268] marcius82021-10-09 15:58:53

Nekem így jobban tetszik a Bretschneider-képlet. Ugyanis ebből nagyon jól látszik, hogy egy négyszögre a következő két összefüggés egyszerre teljesül vagy nem teljesül:

Brahmagupta: \(\displaystyle T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)

Ptolemaiosz: \(\displaystyle ac+bd=pq\)

ahol \(\displaystyle s\) a négyszög félkerülete, \(\displaystyle T\) a négyszög területe, \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) a négyszög átlói, \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) a négyszög oldalai (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) szemközti oldalak, \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) szemközti oldalak). Mind a két képlet a húrnégyszögekre teljesül.

Előzmény: [2260] marcius8, 2021-10-08 20:41:35
[2267] Sinobi2021-10-09 11:17:29

"2 vagy több dimenziós esetben, nagyjából tetszőleges test felett például csinálhatjuk azt, hogy az x tengelyt a kétszeresére nagyítjuk, minden mást meg meghagyunk."

X tengely pontjait küldjük inkább a nullvektorba, ez jó példa tetszőleges testre, és legalább 2 dimenziós vektortérre.

Előzmény: [2266] Sinobi, 2021-10-09 10:41:55
[2266] Sinobi2021-10-09 10:41:55

"Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely összegtartó de nem skalárszorostartó?"

Szerintem ha a vektortér prímtest (Zp és Q) feletti, akkor nincs ilyen, összegtartásból levezethető, hogy a skalárszorost is tartja.

C (mint 1 dimenziós komplex vektortér) felett ilyen például a valósrész képzés, összeget összegbe visz, de egy komplex szám i-szeresét nem viszi az i-szeresébe.

1 dimenziós valós esetben, azaz valós függvényekre a kérdés kb a Cauchy függvényegyenlet https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's functional equation.

"Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely skalárszorostartó de nem összegtartó?"

1 dimenziós vektortérre nincsen ilyen, hiszen 1 darab vektor képe már meghatároz minden mást, és összegtartó lesz. 2 vagy több dimenziós esetben, nagyjából tetszőleges test felett például csinálhatjuk azt, hogy az x tengelyt a kétszeresére nagyítjuk, minden mást meg meghagyunk.

Előzmény: [2261] marcius8, 2021-10-08 20:44:36
[2265] marcius82021-10-09 07:21:15

köszönöm! Van az úgy, hogy én is eljutok a bizonyításban levő képletig, csak éppen nem jut eszembe, hogy ha mindkét képletben felbontom a zárójeleket és rendezgetek, akkor meg lesz az egyenlőség. Mint például most.

Előzmény: [2264] sakkmath, 2021-10-09 00:28:41
[2264] sakkmath2021-10-09 00:28:41

Rendezések után láthatjuk, hogy a képleted ekvivalens az itteni bizonyítás végén kapott képlettel.

Előzmény: [2260] marcius8, 2021-10-08 20:41:35
[2263] marcius82021-10-08 21:15:36

Keresek olyan matek-tételt vagy matek-jelenséget vagy matek-konstrukciót, amelyben a 11 és csak a 11 számnak lényeges szerepe van. Ilyen pl. a 11-gyel való oszthatósági szabály. Ha a 13-mal keresnék ilyet, akkor pl. 13 darab arkhimédeszi félig szabályos test van. Előre is köszönöm mindenki segítségét.

[2262] marcius82021-10-08 20:45:49

Mennyire igaz az, hogy bármilyen pozitív egész szám felírható három háromszögszám összegeként?

[2261] marcius82021-10-08 20:44:36

Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely összegtartó de nem skalárszorostartó? Tud valaki olyan leképezést vektortérből vektortérbe, amely skalárszorostartó de nem összegtartó? Előre is köszönöm!

[2260] marcius82021-10-08 20:41:35

Bretschneider-képlet: Legyenek \(\displaystyle P_1Q_1P_2Q_2\) négyszög oldalai: \(\displaystyle Q_2P_1=a\), \(\displaystyle P_1Q_1=b\), \(\displaystyle Q_1P_2=c\), \(\displaystyle P_2Q_2=c\), átlói \(\displaystyle P_1P_2=p\), \(\displaystyle Q_1Q_2=q\). Legyen \(\displaystyle s\) a négyszög félkerülete. Ekkor a négyszög \(\displaystyle T\) területe a következő képlettel számolható ki:

\(\displaystyle T=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}{4}}\)

Tud erre valaki egy szép bizonyítást? Vagy egy akármilyen bizonyítást? Előre is köszönöm!

[2259] Fecó2021-10-08 12:24:38

Köszönöm.

[2258] nadorp2021-10-04 13:04:21

Legyen A és B az átmérő két végpontja, P az átmérő egyenesén levő külső pont, M a szelő és az átmérő metszéspontja.

Továbbá legyen O a keresett kör középpontja, E az érintési pont , r a kör sugara, és nyilván teljesül a \(\displaystyle \beta= EPO\measuredangle=OEM\measuredangle\) összefüggés is.

Ekkor felírhatóak az alábbi egyenlőségek:

\(\displaystyle PA=PO-AO=\frac r {\sin\beta}-r=r\cdot\frac{1-\sin\beta}{\sin\beta}\)

\(\displaystyle AM=AO-MO=r-r\sin\beta=r(1-\sin\beta)\)

\(\displaystyle PB=PO+OB=\frac r {\sin\beta}+r=r\cdot\frac{1+\sin\beta}{\sin\beta}\)

\(\displaystyle MB=MO+OB=r\sin\beta+r=r(1+\sin\beta)\)

A fentiekből következik, hogy

\(\displaystyle \sin\beta=\frac{AM}{PA}=\frac{MB}{PB}\) , azaz

\(\displaystyle \sin\beta=\frac{MX}{PX}\) alakú, ahol X=A vagy X=B

Így a szerkesztés, attól függően, hogy X=A vagy X=B van megadva, a következő lesz:

Vegyük fel a PX szakasz, mint átmérő fölé írható Thalész-kört és az X középpontú, MX sugarú kört. A két kör metszéspontját kössük össze a P ponttal. Ez az egyenes az E-ben metszi a szelőt. Utána állítsunk erre az egyenesre E-ben merőlegest. Így megkapjuk a kör O középpontját.

Diszkusszió: A szerkesztés akkor végezhető el, ha \(\displaystyle MX<PX\) teljesül, hiszen \(\displaystyle \sin\beta<1\) (P külső, M belső pont, így egyenlőség nem lehet). Ez X=B esetén mindig fennál, de ha X=A, akkor csak úgy lesz megoldás, ha \(\displaystyle PA> AM\)

Előzmény: [2257] Fecó, 2021-09-30 15:02:11
[2257] Fecó2021-09-30 15:02:11

Van egy átmérő egyenesem egy körhöz. Adott rajta a körvonal egy pontja. Van egy szelő egyenesem, ami merőleges az átmérő egyenesre. Ismerem az átmérő egyenesen azt a külső pontot, amelyből a körhöz húzott érintő a szelő egyenes és a körvonal metszéspontján halad át. Keresem a kört? (feladat mottója: középkori párkányt szeretnék torzított körökkel, azaz ellipszisekkel megközelíteni, hogy az építőmesteri felújításához sablont készíthessünk.) Minden jót kívánva!

[2256] Kardos2021-08-20 17:14:18

Kedves Mindenki!

Ha valaki tudna segíteni ezekben azt megköszönném :)

[2255] marcius82021-05-03 21:04:37

Köszike Erzsi, ha eljut8k odáig, mindenképpen csekkolni fogom.

Előzmény: [2253] Berko Erzsebet, 2021-05-03 07:32:02
[2254] Berko Erzsebet2021-05-03 07:38:40

https://scholar.rose-hulman.edu/rhumj/vol3/iss2/4/

[2253] Berko Erzsebet2021-05-03 07:32:02

abcd a négyjegyű szám, és úgy értelmeztem a cikkből, hogy csökkenőbe tette a számjegyeket az általánosság megszorítása nélkül. A következőben másolom a cikk linkjét.

Előzmény: [2252] marcius8, 2021-05-02 14:43:27
[2252] marcius82021-05-02 14:43:27

De tudna valaki arra szükséges és elégséges feltételt mondani, hogy egy négyjegyű számból kiindulva, hogy pontosan a \(\displaystyle k\)-ik iterációt múlva lesz először a kapott eredmény 6174, ahol \(\displaystyle k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)?

[2251] marcius82021-05-02 13:27:22

Az \(\displaystyle aaab\) alakú számok esetében, ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) különbsége 1, az első kapott eredmény 999 lesz csakugyan. Hogy az iterációt továbbra is a négyjegyű számok körében vigyem végig, ekkor az eredményt 0999-nek veszem, így eljutok a 6174-hez előbb vagy utóbb. De érdekes esetet említettél meg Erzsi, ezt úgy elfelejtettem megvizsgálni.

Előzmény: [2249] Berko Erzsebet, 2021-05-01 02:35:52
[2250] Berko Erzsebet2021-05-01 06:14:15

Interneten nézelődve, azt javasolják ilyen esetben (9998, 7778), hogy vegyünk hozzá egy 0-t, és működik.

Itt olvashatsz erről a problémáról:

https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]