KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Egy természetes szám négyzete 202 jegyb?l áll úgy, hogy az els? 100 jegye 1-es, ezután pedig 101 darab 2-es következik. Mi lesz az utolsó jegy (egyesek helyiértékén álló szám)?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 4
  (D) 5
  (E) 9

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a keresett szám S, továbbá jelöljük a 100 darab egyesb?l álló számot E-vel. A feltételek szerint S2-ben az E, majd E kétszerese és egy kettes, végül egy a ismeretlen számjegy szerepel. Általában, ha egy k jegy? B számot az A szám után írunk, a keletkezett \overline{AB} számban A minden számjegyének a helyi értéke 10k-szorosára n?, azaz \overline{AB} = 10^k A +
B. Tehát E-b?l S2 a következ?képpen állítható el?:

S2=10(10(10100E+2E)+2)+a.

Nyilván 9E+1=10100=:D, hiszen 9E = 9 \cdot 11 \ldots 1 + 1 = 99 \ldots 9 +1. Ezzel a jelöléssel S^2 = 100(D+2)E + 20 + a = 100(D+2)\frac{D-1}{9} + 20 +
a, melyet 9-cel beszorozva kapjuk, hogy 9S2=100D2+100D-20+9a=(10D+5)2+9(a-5), ami akkor lesz négyzetszám, ha a második tag 0, vagyis a=5.


2. feladat. Határozzuk meg azt a legkisebb n természetes számot, amelyre az (x2+y2+z2)2\leqn(x4+y4+z4) egyenl?tlenség minden valós x,y,z értékre teljesül.
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: A

Indoklás: Az egyenl?tlenség a négyzetre emelés elvégzése és a rendezés után a következ? alakra hozható:

0\leq(n-3)(x4+y4+z4)+(x2-y2)2+(y2-z2)2+(z2-x2)2.

A jobb oldalon a második, harmadik, illetve negyedik tag tetsz?leges x,y,z valós számokra nemnegatív. Az els? tag pedig n\geq3-ra szintén nemnegatív, hiszen (x4+y4+z4)\geq0 és n-3\geq0. Amennyiben n<3, akkor x=y=z=1 választással a jobb oldal els? tagja negatív, a többi 0. Tehát 3 a legkisebb olyan természetes szám, amelyre az egyenl?tlenség tetsz?leges valós x,y,z számhármas mellett teljesül.


3. feladat. Kiválasztottuk egy kocka 5 csúcsát. Hányadrésze lehet az általuk meghatározott test térfogata a kockáénak?
  (A) negyede
  (B) harmada
  (C) negyede vagy fele
  (D) kétharmada
  (E) fele vagy harmada

Helyes válasz: E

Indoklás: Legyen a kocka két szemközti lapja ABCD és A'B'C'D', az élhosszt pedig vegyük egységnek. A kiválasztott 5 csúcs közül 3 biztosan egy lapon fog elhelyezkedni, így az általánosság megszorítása nélkül ezek legyenek A,B,C. A másik két csúcs elhelyezkedése alapján a következ? két esetet választjuk szét:

A negyedik csúcs a D, azaz az 5 csúcsú poliéder tartalmazza az ABCD lapot, így a térbeli alakzat egy gúla. Az ötödik csúcsa lehet A',B',C' vagy D', viszont szimmetriai okokból mind a négy esetben ugyanolyan térfogatot kapunk. Ez pedig V= \frac{1 \cdot 1
\cdot 1}{3}.

Ha D nincs a kiválasztott csúcsok közt, akkor választunk A',B',C',D' közül kett?t. Ha D' nincs ezek között, akkor vagy van olyan lap, amelynek mind a négy csúcsát kiválasztottuk, és így az el?bb kapott négyzet alapú gúlához jutunk vagy az A',C' csúcsokat választottuk. Ez utóbbi esetben ABCA'C' gúlához jutottunk, melynek magassága \frac{\sqrt{2}}{2}, alapélei pedig \sqrt{2} és 1 hosszúak. Így térfogata \frac{1}{3} (\sqrt{2}
\cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac13.

Ezeken kívül még egy testet kell megvizsgálni: amikor D' a kiválasztott csúcsok közt van, azaz a test csúcsai ABCB'D'. Ha megfigyeljük, a test térfogata pont a kocka térfogatának a fele lesz.

Tehát az 5 csúcs által meghatározott test a kocka térfogatának a fele vagy harmada.


4. feladat. Hány olyan, kétjegy? számokból álló számpár van, amelyek összege és különbsége ugyanazokból a számjegyekb?l áll, csak fordított sorrendben? (Ilyen pl. a 44 és a 18.)
  (A) 9
  (B) 10
  (C) 11
  (D) 12
  (E) 13

Helyes válasz: A

Indoklás: Jelöljük a keresett számokat A-val és B-vel, összegüket S-sel, különbségüket pedig F-fel. Mivel S és F számjegyei azonosak, csak ellentétes a sorrendjük, mindkett? kétjegy?, hiszen S legalább, F pedig legfeljebb kétjegy?. Továbbá F>0 miatt A nagyobb B-nél. Ha S számjegyeit x-szel és y-nal jelöljük (azaz S=\overline{xy}), akkor nyilván x>y 0-tól különböz? egyjegy? számok. Ezzel a jelöléssel S=10x+y, F=10y+x, azaz

A=
\frac12 (S+F) = 11\frac{x+y}{2} ~~\acute{e}s ~~ B= \frac12 (S-F) =
9\frac{x-y}{2}.

Mivel A és B egészek, ezért \frac{x+y}{2} és \frac{x-y}{2} is egész, jelölje ?ket rendre a és b. Ekkor A=11a, B=9b, x=a+b és y=a-b. Azoknak az a,b számpároknak kell meghatároznunk a számát, amelyekre A,B kétjegy? számok, x,y pedig 0-tól különböz? számjegyek. Így 1<b<a és a+b\leq9, ezzel együtt nyilván 5\leqa+b.

Az (a,b) párok:

a+b=9 esetén (7;2), (6;3), (5;4)

a+b=8 esetén (6;2), (5;3)

a+b=7 esetén (5;2), (4;3)

a+b=6 esetén (4;2)

a+b=5 esetén (3;2)

Ez pedig összesen 9 megoldást jelent.


5. feladat. Legyen a_n = 1 + \frac1n - \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}, ahol n pozitív egész számot jelöl. Melyik az a legkisebb k pozitív egész, melyre az a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_k szorzat értéke nagyobb 2007-nél?
  (A) 2008
  (B) 3842
  (C) 4902
  (D) 7208
  (E) 8026

Helyes válasz: E

Indoklás: Írjuk fel kicsit más alakban an-et: a_n = 1 + \frac1n -
\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3} = \frac{n^3+n^2-n-1}{n^3} =
\frac{(n+1)^2 (n-1)}{n^3}. Ha ezeket a feladat szerint összeszorozzuk 2-t?l k-ig, a következ?t kapjuk:

\frac{((2+1)(3+1) \cdot \ldots \cdot (k+1))^2 \cdot ((2-1)(3-1)
\cdot \ldots \cdot (k-1))}{2^3 \cdot 3^3 \cdot \ldots \cdot k^3} =

= \frac{(3\cdot 4 \cdot \ldots \cdot (k+1))^2 \cdot (1 \cdot 2 \cdot
\ldots \cdot (k-1))}{2^3 \cdot 3^3 \cdot \ldots \cdot k^3}=
\frac{(\frac{(k+1)!}{2})^2 \cdot \frac{k!}{k}}{(k!)^3} =
\frac{\frac{(k!)^2}{2^2} \cdot (k+1)^2 \cdot
\frac{k!}{k}}{(k!)^3},

ahol a számlálóban és a nevez?ben is megjelenik (k!)3, tehát azzal egyszer?síthetünk, így kapjuk, hogy a szorzat = \frac{(k+1)^2}{4k}. Így az eredeti kérdés úgy fogalmazható meg, hogy mi lesz az a legkisebb pozitív egész k, amire teljesül a \frac{(k+1)^2}{4k} > 2007 egyenl?tlenség. Ezt rendezve kapjuk, hogy k2+2k+1>8028k, azaz

k2-8026k+1>0.

A másodfokú egyenlet megoldóképletét használva k_{1,2} =
\frac{8026 \pm \sqrt{8026^2 - 4}}{2} esetén a k2-8026k+1 kifejezés értéke 0. Mivel 0<k1<1 és 8025<k2<8026, ezért a legkisebb k értéke 8026.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley