KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Furcsaország lakóinak különös szokásai közé tartozik, hogy minden szerdán, csütörtökön és pénteken hazudnak, a hét többi napján viszont mindig igazat mondanak. Hány olyan nap van egy héten, amikor elhangozhat Furcsaország egyik lakójának szájából a következ? mondat: "Tegnap hazudtam, és holnap megint hazudni fogok"?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 4

Helyes válasz: C

Indoklás: Az ÉS szóval összekapcsolt mondat akkor igaz, ha mindkét része igaz, minden más esetben viszont hamis. Emiatt igazmondó napon nem hangozhat el ez a mondat, hiszen ekkor kellene lennie egy olyan igazmondó napnak, amelynek mindkét szomszédja hazudós, ez viszont nem teljesül. Hazudós napon a mondat hamis, így legalább az egyik része hamis, vagyis a vizsgált nap egy olyan hazudós nap, amelynek legalább az egyik szomszédja igazmondó nap. Ilyen nap kett? van, a szerda és a péntek.


2. feladat. Hányféleképpen állhat fel egy fényképezéshez 4 fiú és 4 lány egy sorba úgy, hogy se két fiú, se két lány nem állhat egymás mellett?
  (A) 48
  (B) 384
  (C) 768
  (D) 1152
  (E) 5040

Helyes válasz: D

Indoklás: Mivel se fiúk, se lányok nem lehetnek szomszédosak, így a sor elején álló ember neme már az összes többi helyen álló ember nemét meghatározza: ha fiúval kezdjük a sort, akkor az 1., 3., 5., 7. helyen fiúknak, a 2., 4., 6., 8. helyen lányoknak kell állnia, ha pedig lánnyal kezdjük, akkor pont fordítva.

Ha fiúval kezdjük a sort, az 1. helyre 4 fiú, a 3. helyre 3 fiú, az 5. helyre 2 fiú közül választhatunk, a 7. helyre pedig a kimaradó fiú kerül, ez 4.3.2.1=4!=24 lehet?ség, hasonlóképpen a lányok is 4!-féleképpen állíthatók be a kimaradó helyekre. Mivel a fiúk és a lányok egymástól függetlenül állnak be a megfelel? helyekre, a lehetséges sorrendek száma ebben az esetben (4!)2=576. Ha lánnyal kezdjük a sort, a lehet?ségek száma teljesen hasonló gondolatmenettel szintén 576, így az összes lehet?ség száma 2.(4!)2=1152.


3. feladat. Egy konvex ABCD négyszög oldalfelez? pontjai az EFGH konvex négyszöget határozzák meg. Hányadrésze az EFGH négyszög területe az ABCD négyszög területének?
  (A) \frac4{10}-e
  (B) \frac12-e
  (C) \frac23-a
  (D) \frac34-e
  (E) nem egyértelm?, az ABCD négyszögt?l függ

Helyes válasz: B

Indoklás: Használjuk a következ? ábra jelöléseit:

(Az ábrán T* jelöli az EFGH négyszög területét, T1,T2,T3,T4 pedig a küls? kis háromszögek területét.)

Az ABD háromszögben EH középvonal, így párhuzamos BD-vel, emiatt az AEH háromszög az ABD háromszög \frac12 arányú kicsinyített mása, így T_1=\frac1{2^2}\cdot T_{ABD}. Hasonlóképpen a CDB háromszögben GF középvonal, így T_3=\frac1{2^2}\cdot T_{CDB}. Mivel TABCD=TABD+TCDB, így T_1+T_3=\frac14\cdot T_{ABCD}. Ugyanilyen módon, a BCA és DAC háromszögek vizsgálatával igazolható, hogy T_2+T_4=\frac14\cdot T_{ABCD}. Ekkor pedig T^*=T_{ABCD}-(T_1+T_2+T_3+T_4)=\frac12\cdot T_{ABCD}.


4. feladat. Hány olyan pozitív osztója van a 15120-nak, amely osztható 90-nel?
  (A) 12
  (B) 16
  (C) 32
  (D) 64
  (E) 80

Helyes válasz: B

Indoklás: A 15120 prímtényez?s felbontása 24.33.5.7, a 90-é pedig 2.32.5. A 15120 minden pozitív osztója 2a.3b.5c.7d alakú, ahol a,b,c,d egészek, továbbá 0\leqa\leq4, 0\leqb\leq3, 0\leqc\leq1 és 0\leqd\leq1. A 90-nel osztható osztóknál a feltételek annyiban módosulnak, hogy az osztó prímfelbontásában mindenképp szerepelnie kell egy 2-esnek, két 3-asnak és egy 5-ösnek, így 1\leqa\leq4, 2\leqb\leq3, 1\leqc\leq1 és 0\leqd\leq1. Vagyis a értéke 4-féle, b értéke 2-féle, c értéke 1-féle, d értéke pedig 2-féle lehet, így a keresett osztók száma 4.2.1.2=16.


5. feladat. Adott néhány doboz, amelyek mindegyikébe piros, kék, sárga és zöld golyókat helyezünk (egy színb?l akárhány golyó kerülhet egy dobozba, és nem feltétlenül kell minden dobozban mind a négy színnek el?fordulnia). Legalább mennyi a dobozok száma, ha a golyók elhelyezését?l függetlenül biztosan lesz két olyan doboz, amelyekben együttvéve mind a négyféle szín? golyóból páros számú lesz?
  (A) 3
  (B) 5
  (C) 9
  (D) 13
  (E) 17

Helyes válasz: E

Indoklás: El?ször megmutatjuk, hogy 17 doboz mindig elég. A dobozokban az egyes színekb?l lév? golyók száma helyett elég azok paritását vizsgálnunk. Minden dobozt leírhatunk egy (a,b,c,d) számnégyessel, ahol a,b,c,d értéke 0 vagy 1 attól függ?en, hogy a megfelel? színekb?l páros vagy páratlan sok van az adott dobozban. Ilyen számnégyesb?l összesen 24=16-féle létezik, vagyis 17 doboz között biztosan lesz két olyan, amelyekhez ugyanaz a számnégyes tartozik. Ekkor e két dobozban mind a négy szín esetében megegyezik a darabszámok paritása, vagyis a két dobozban együttesen páros sok lesz minden színb?l.

Végül megmutatjuk, hogy a becslés éles, azaz 16 doboz nem mindig elég. Tekintsünk egy olyan elosztást, amikor a 16 doboz számnégyesei mind páronként különböz?k. Ekkor bármelyik kett?t is választjuk ki, például (a1,b1,c1,d1)-et és (a2,b2,c2,d2)-t, az együttes darabszámok csak akkor lennének mind párosak, ha a1+a2, b1+b2, c1+c2 és d1+d2 értéke is páros lenne, ez azonban nem lehetséges, hiszen a két számnégyes legalább egy helyen különbözik, ezen a helyen pedig egy 0 és egy 1 összege nem lehet páros.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley