KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Egy ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja O, továbbá az AOB háromszög területe 4cm2, a COD-jé pedig 9cm2. A következ?k közül melyik a legnagyobb alsó korlát a négyszög területére?
  (A) 18 cm2
  (B) 21 cm2
  (C) 25 cm2
  (D) 28 cm2
  (E) 29 cm2

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelölje T1, T2, T3, T4 rendre az ABO, BCO, CDO, DAO háromszögek területét. Mivel az els? kett? AO és OC oldalai egy egyenesre esnek, ezért területeikre fennáll, hogy T1:T2=AO:OC. Hasonlóan T3:T4=OC:AO. Ezzel T1:T2=T4:T3, azaz T1T3=T2T4. Azt pedig tudjuk, hogy T1=4 cm2 és T3=9 cm2, így T2T4=36 cm4. A (T2+T4)2\geq4T2T4 egyenl?tlenséget felhasználva T_2 + T_4 \geq 2 \sqrt{T_2 T_4}
= 12 ~cm^2. Tehát a négyszög területe legalább 25 cm2. Ez pedig éles, hiszen AC\bot BD és AO=2, BO=4, OC=3, OD=6 esetén egyenl?séggel teljesül az alsó becslés.


2. feladat. Mekkora annak a valószín?sége, hogy egy 10 tagú társaságban van két ember, akinek a születésnapja egybeesik? (Egy évet tekintsünk 365 naposnak.)
  (A) \thickapprox 0,117
  (B) \thickapprox 0,143
  (C) \thickapprox 0,151
  (D) \thickapprox 0,159
  (E) \thickapprox 0,176

Helyes válasz: A

Indoklás: Határozzuk meg el?ször az esemény komplementerét (kiegészít?jét), azaz annak a valószín?ségét, hogy nincs két olyan ember, akinek a születésnapja egybeesik. Tegyül fel, hogy az összes elemi esemény egyformán valószín?, tehát mindenki ugyanakkora eséllyel születhetett bármely napon. Határozzuk meg azoknak a lehet?ségeknek a számát, amikor bármely két ember különböz? napon született: az els? a 365-b?l bármikor, a második csak a 364 nap egyikén (azon nem születhetett, amelyiken az els?), a harmadik 363 napon stb. Az összes lehet?ség pedig 36510. Ezzel a valószín?ség

\frac{365
\cdot 364 \cdot \ldots \cdot 356}{365^{10}} \thickapprox 0,883.

Tehát az eredeti esemény bekövetkezésének valószín?sége 1-0,883=0,117.


3. feladat. Arthur király három lovagja el?tt van egy-egy 3 literes korsó. Az els? lovag korsója tele van borral, a többié viszont üres. Ekkor az els? fogja a korsót és beleönti a bor felét a másodikéba. Ezután a második a saját bora felét a harmadikéba, majd a harmadik az ? korsójában lév? bor szintén felét az els?ébe. Ugyanez kezd?dik elölr?l még 100-szor. Vajon a végére hány liter bor lesz az els? lovag korsójában?
  (A) \approx1
  (B) \approx1,25
  (C) \approx1,5
  (D) \approx1,75
  (E) \approx2

Helyes válasz: C

Indoklás:


4. feladat. Egy 50×50 pontot tartalmazó rácsban minden pontot pirosra vagy kékre festettünk. A közvetlenül egymás alatt vagy mellett lév? pontokat élekkel kötjük össze, méghozzá úgy, hogy két egyez? szín?t a saját színükkel, a különböz?eket pedig feketével. A pontok között 1510 kék, amib?l 110 a szélen helyezkedik el és egy sincs a sarokban. A vonalak között pedig 947 piros. Hány fekete vonalat húzhattunk be?
  (A) 1831
  (B) 1976
  (C) 2088
  (D) 2274
  (E) 2305

Helyes válasz: B

Indoklás: Mivel a rács összesen 50.50=2500 pontot tartalmaz, melyekb?l 1510 kék, ezért 990 piros pont van. A piros pontok pedig úgy helyezkednek el, hogy 4 található a sarkokban, ezekb?l 2.4=8 vonal indul ki, 82 a szélen, hiszen a 192 széls? helyb?l 110 kék, így ezekhez 3.82=246 él kapcsolódik. A többi 990-4-82=904 piros pont belül található, tehát bel?lük összesen 4.904=3616 él indul ki. Most ezeket számoljuk össze úgy, hogy a 947 piros vonalat duplán (hiszen 2 piros ponthoz kapcsolódnak), a feketéket egyszeresen (egy piros ponthoz kapcsolódnak), a kékeket pedig egyszer sem számoljuk. Ezzel 2.947+ feketék száma =8+246+3616=3870. Tehát 3870-2.947=1976 fekete vonalat húztunk be.


5. feladat. Adott 10 küls?re teljesen egyforma golyó, amelyek azonban mind különböz? súlyúak. Egy kétkarú mérleg segítségével szeretnénk meghatározni, hogy melyik a legnehezebb golyó. A mérleg két serpeny?jébe egyszerre egy-egy golyót tehetünk fel, amelyek közül a szerkezet jelzi, melyik a nehezebb. Legalább hány mérésre van szükségünk?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 8
  (D) 9
  (E) 10

Helyes válasz: D

Indoklás: 9 mérés a következ? módon mindig elegend?: tegyük fel el?ször az 1. és a 2. golyót. A nehezebbet tartsuk meg, és mérjük össze a 3. golyóval. A kett? közül a nehezebbet mérjük össze a 4. golyóval, és így tovább, egészen a 10. golyóig. A legutolsó mérésben kapott nehezebbik golyó lesz a legnehezebb mind a tíz között.

Megmutatjuk, hogy 9-nél kevesebb mérés nem elegend?. Legyenek a golyók egy 10 pontú gráf csúcsai, és ha két golyót összemértünk, húzzuk be az ?ket összeköt? élt a gráfba. A mérések végeztével kapott gráfnak összefügg?nek kell lennie, hiszen ha két golyó között nem vezet út, akkor súlyaik egymáshoz való viszonyáról nincsen információnk. Ahhoz pedig, hogy egy 10 pontú gráf összefügg? legyen, legalább 9 él szükséges.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley