KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. A következ?képpen szeretnénk az egység sugarú kör területével közelít?leg egyez? terület? négyzetet szerkeszteni: Legyen a kör középpontja O, két egymásra mer?leges sugara OP és OR, a P-ben és R-ben húzott érint?k metszéspontja Q, a PQ felez?pontja pedig S. Továbbá legyen az OS szakasznak a körön lév? pontja T és az ezen át PQ-val párhuzamosan húzott egyenes OQ-t az A pontban metszi. Ekkor a keresett négyzet középpontja O és egyik csúcsa A.

Mekkora lesz az eljárás hibája, azaz mennyivel tér el a négyzet területe a körét?l 3 tizedesjegy pontossággal?
  (A) 0,058
  (B) 0,067
  (C) 0,079
  (D) 0,082
  (E) 0,102

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a T vetülete az OP-re U, így a négyzet oldala 2.UA=2.OU, területe t=4OU2. Másrészt PS=\frac12, OS=\frac{\sqrt{5}}{2} és kihasználva az OUT, valamint OPS háromszögek hasonlóságát kapjuk, hogy OU = 1/OS = 2/\sqrt{5}. Tehát t=3,2 területegység a négyzetünk, amib?l kivonva a kör területét megkapjuk a kérdéses eltérést: 3,2 - \pi = 3,2 -
3,1415926 \ldots \approx 0,058.


2. feladat. A 100-nál kisebb prímszámok közül úgy kell összeválogatnunk ötöt, hogy ezek számjegyei közt az 1-es, 2-es, \ldots, 9-es mindegyike egyszer forduljon el?. Hányféleképpen lehetséges ez?
  (A) 5
  (B) 8
  (C) 10
  (D) 14
  (E) 32

Helyes válasz: B

Indoklás: Az öt számban el?forduló számjegyek száma csak úgy lehet egyenl? 9-cel, ha közülük 4 kétjegy? és 1 egyjegy?. Mivel a kétjegy?ek nem végz?dhetnek párosra és 5-re, így csak 1,3,7,9 lehetséges. Ezek szerint a négy kétjegy? szám utolsó jegye pontosan a fenti négy szám valamilyen sorrendben, emiatt máshol nem szerepelhetnek. Így az egyjegy? prím csak a 2 vagy az 5 lehet.

Nézzük el?ször azt az esetet, amikor az egyjegy? számunk 2. Ekkor a másik négy szám els? jegyei 4,5,6,8, és a szóba jöv? prímek a következ?k (jegyeik szerint rendezve):

41 - 61 -
43 53 - 83
47 - 67 -
- 59 - 89

Ebb?l a táblázatból kell kiválasztanunk 4-et úgy, hogy minden oszlopból és minden sorból pontosan egyet vegyünk. Meggondolható, hogy ez 4 esetet jelent.

Most pedig legyen az egyjegy? prím az 5. Az el?z?höz hasonlóan felírhatunk egy táblázatot, amib?l 4 kétjegy?t választunk:

41 - 61 -
43 23 - 83
47 - 67 -
- 29 - 89

Itt is 4 a szóba jöv? esetek száma, tehát az el?z?vel együtt összesen 8-féleképpen választható ki az 5 prímszám.


3. feladat. Egy számsorozat els? tagja 1. Minden egyes további tag 4-gyel nagyobb az el?tte álló tagok összegéb?l vont négyzetgyök 4-szeresénél. Mennyi a sorozat els? 2008 tagjának összege?
  (A) 583663
  (B) 1098020
  (C) 8433148
  (D) 10852738
  (E) 16120225

Helyes válasz: E

Indoklás: Jelölje a sorozat n-edik tagját an, így a1=1 és minden 1-nél nagyobb n természetes számra a_n = 4 + 4\sqrt{a_1 + a_2 +
\ldots + a_{n-1}}. Ezek szerint a_2= 4 + 4\sqrt{1} = 8, a_3 = 4
+ 4\sqrt{1+8} = 16, a_4 = 4 + 4 \sqrt{1+8+16} = 24, továbbá a5=32, a6=40 stb. Megfigyelhet?, hogy a gyökvonások eredménye sorban 1,3,5,7,9 volt, vagyis a 2,3,4,5,6 sorszámú tag számításakor az 1-gyel kisebb sorszámú páratlan szám. Lássuk be, hogy ez minden indexre teljesül!

Legyen k olyan index, melyre a_1 + a_2 + \ldots + a_k = s_k =
(2k-1)^2, ekkor ak+1=4+4(2k-1)=8k, így sk+1=sk+ak+1=(2k-1)2+8k=(2k+1)2. Tehát ez a tulajdonság minden k-re fennáll, azaz s2008=(2.2008-1)2=16120225.


4. feladat. Négy fiú, A, B, C és D ugyanarról az x számról 3-3 állítást mondott. Tudjuk, hogy mindegyiküknek legalább egy állítása helyes, de azt is, hogy legalább egy hamis.

A: (1) x reciproka nem kisebb 1-nél. (2) x-nek tízes számrendszerbeli alakjában nincs 6-os számjegye. (3) x harmadik hatványa kisebb, mint 221.

B: (4) x páros szám. (5) x prímszám. (6) x az 5-nek egész számú többszöröse.

C: (7) x nem állítható el? két egész szám hányadosaként. (8) x kisebb, mint 6. (9) x egy természetes szám négyzete.

D: (10) x nagyobb, mint 20. (11) x pozitív, és tízes alapú logaritmusa legalább 2. (12) x nem kisebb, mint 10.

Mi lehet ez az x szám?
  (A) 16
  (B) 20
  (C) 23
  (D) 25
  (E) nem határozható meg egyértelm?en

Helyes válasz: D

Indoklás: B-nek mindhárom állítása szerint x egész szám, és ezek közül legalább egy igaz, így x biztosan egész és (7) hamis. D kizárólag alsó korlátokat ad meg x-szel kapcsolatban, így ha x\geq100 igaz volna, akkor a többi is (ami lehetetlen), tehát (11) hamis. Ha pedig x<10 lenne, akkor D-nek nem lenne helyes állítása, így x\geq10, azaz (12) igaz és 10\leqx<100.

Az el?z?ek alapján (1) és (3) hamis, ezzel (2) igaz, C részér?l pedig (8) hamis, így marad (9) igaznak.

Az eddigieket összefoglalva 10\leqx<100, x egy természetes szám négyzete és nincs benne 6-os számjegy. Emiatt x nem lehet páros, hiszen a 10 és 100 közötti páros négyzetszámokban szerepel a 6-os számjegy, tehát (4) hamis. Eszerint B két állításáról tudjuk, hogy hamis (a (4)-r?l és (5)-r?l), azaz marad a (6) igaznak. Ennek pedig egyetlen szám felel meg, a 25.


5. feladat. Két szám négyzetének összege \frac{45}{4}, kisebbikük és nagyobbikuk különbsége (ilyen sorrendben) egyenl? a szorzatukkal. Határozzuk meg a két szám összegének abszolútértékét!
  (A) \frac92
  (B) \frac43
  (C) \frac32
  (D) \frac34
  (E) 2

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelölje x a kisebbik, y pedig a nagyobbik számot. Ekkor x<0 és y>0, ugyanis az x-y különbség x<y miatt negatív, és két szám szorzata akkor lehet negatív, ha ellentétes el?jel?ek. Továbbá tudjuk róluk, hogy x^2 + y^2 = \frac{45}{4} és x-y=xy. Ezekb?l

x^2 + y^2 - \frac{45}{4} = (x-y)^2 + 2xy - \frac{45}{4} = (x-y)^2
+ 2(x-y) - \frac{45}{4} = 0,

amib?l - felhasználva a másodfokú egyenlet megoldóképletét -: x-y = xy = -\frac92, hiszen az egyenlet másik gyöke pozitív. Másrészt

(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy
= \frac{45}{4} - 9 = \frac94,

tehát |x+y| = \frac32.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley