KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. A c_1, c_2, \ldots , c_n , \ldots számsorozatról tudjuk, hogy c1=0 és a további tagokat a következ?képpen állítjuk el?:

c_{n+1} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \cdot c_n + \frac{6n}{(n+1)^2}.

Milyen számhoz tart ez a sorozat?
  (A) 2,5
  (B) 2,7
  (C) 3
  (D) 3,4
  (E) 3,5

Helyes válasz: C

Indoklás: A képzési szabályban megadott egyenl?ség mindkét oldalát (n+1)2-tel szorozva kapjuk, hogy (n+1)2cn+1=n2cn+6n. Továbbá legyen a természetes számokon értelmezett f függvény f(n)=n2cn, amire az el?z? alapján f(n+1)-f(n)=6n teljesül. Ezzel megkaptuk az f szomszédos természetes számokhoz tartozó növekményét, azaz hogy mennyivel n? a függvény értéke, ha egy számról az eggyel nagyobbra lépünk. f(1)=12c1=0-ból kiindulva eljuthatunk tetsz?leges n természetes számhoz, így megkapjuk, hogy f(n) = f(1) + [f(2)-f(1)] + [f(3)-f(2)] + \ldots +
[f(n)-f(n-1)] = 0 + 6\cdot1 + 6\cdot2 + \ldots + 6(n-1) = 6
\frac{n(n-1)}{2} = 3n(n-1). Azt kaptuk tehát, hogy n2cn=3n(n-1), azaz c_n = 3 - \frac3n, így c 3-hoz tart.


2. feladat. Legfeljebb hány darab 5 cm átmér?j? körlemezt lehet kiszabni egy 9×100 cm méret? téglalap lemezb?l?
  (A) 28
  (B) 30
  (C) 32
  (D) 34
  (E) 37

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen S egy tetsz?leges szabásterv, azaz a téglalapból kivágott körök halmaza, továbbá SO az ehhez tartozó körközéppontok halmaza. Helyezzük bele a lemezt egy derékszög? koordináta-rendszerbe oly módon, hogy az egyik csúcsa az origóba, és az egyik hosszabbik oldal az x tengelyre, az egyik rövidebb oldal pedig az y tengelyre kerüljön. Az SO-beli pontok (x,y) koordinátáira teljesül, hogy egyrészt 2,5\leqx\leq97,5, másrészt 2,5\leqy\leq6,5, hiszen a körök nem "lóghatnak le" a téglalapról. Ezen túl a körlapok diszjunktak (nem nyúlnak egymásba), így két tetsz?leges középpontra teljesül az (x1-x2)2+(y1-y2)2\geq25 egyenl?tlenség.

Két tetsz?leges körközéppont ordinátájának különbsége |y1-y2|\leq6,5-2,5=4, így a fenti egyenl?tlenség miatt (x1-x2)2\geq25-16=9. Ezzel azt kaptuk, hogy |x1-x2|\geq3, ahol x1 és x2 két tetsz?leges körlap középpontjának abszcisszái. Más szóval az abszcisszák különböz?ek és nagyság szerint rendezve ?ket xi+1-xi\geq3 (i=1,2, \ldots, n-1, ahol n a körlapok maximális száma). Az összes indexre összegezve ezt az egyenl?tlenséget kapjuk, hogy

x_n - x_1 = (x_n - x_{n-1}) +
(x_{n-1} - x_{n-2}) + \ldots + (x_2 - x_1) \geq 3(n-1).

Azt pedig tudjuk, hogy xn-x1\leq95, így 3(n-1)\leq95, azaz n\leq32.

Tehát legfeljebb 32 körlapot tudunk kivágni a téglalapból.

Meg kell még mutatnunk, hogy ennyi ki is vágható. Legyen ugyanis egyrészt xi=2,5+3(i-1), másrészt yi=2,5, ha i páros, és yi=6,5, ha i páratlan. Err?l könnyen látható, hogy teljesíti a szükséges egyenl?tlenségeket, tehát kivághatóak a téglalapból.


3. feladat. Imre és Dénes úgy játszanak, hogy minden egyes fordulóban mindketten \frac12 valószín?séggel nyernek a másiktól 1 forintot (mindig pontosan az egyikük nyer). Dénesnél kezdetben 18 forint van, Gábornál pedig 32 forint. Mekkora valószín?séggel veszíti el Dénes a nála lév? összes pénzt? (A játék véget ér, ha valaki mindent elveszített.)
  (A) \frac{9}{16}
  (B) \frac{16}{25}
  (C) \frac{9}{25}
  (D) \frac{9}{50}
  (E) \frac{8}{25}

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje p(k) azt a valószín?séget, hogy Dénes k forintról tönkremegy. Ennél fogva p(0)=1 és p(n)=0, ahol n kettejük összes forintját jelöli, ami a konkrét példában 50. Mivel Dénes azonos valószín?séggel veszít vagy nyer egy fordulóban, továbbá vesztés esetén a következ? körben k+1 vagy k-1 forintról kell nézni a tönkremenési esélyét, így p(k) = p(k-1) \cdot \frac12 +
p(k+1) \cdot \frac12, ahol 1\leqk\leqn-1. Ezek szerint 2.p(k)=p(k-1)+p(k+1), ami átalakítva p(k+1)-p(k)=p(k)-p(k-1)=d. Tehát tetsz?leges k-ra a p(k)-p(k-1) különbség állandó. Továbbá p(k) = p(k) - p(k-1) + p(k-1) - p(k-2) + p(k-2) -
\ldots + p(1) - p(0) + p(0) = k \cdot d + 1. Felhasználva a fenti p(n)=0-t kapjuk, hogy 0=p(n)=1+n.d, így d=-\frac1n. Ebb?l pedig k-ra látható a p(k) = 1-\frac{k}{n} összefüggés, ami a kérdéses valószín?séget adja általános formában. Ebbe behelyettesítve k=18-at és n=50-et a valószín?ség P=1-
\frac{18}{50} = \frac{16}{25}.


4. feladat. Határozzuk meg az egységkocka azon pontjaiból álló halmaz térfogatát, amely pontjainak koordinátáira teljesülnek az y\leqx és z\geq1-x összefüggések!

Megj.: Az egységkocka egyik csúcsa az origóban található, három éle pedig az (1,0,0), (0,1,0) és (0,0,1) vektor.
  (A) \frac16
  (B) \frac13
  (C) \frac12
  (D) \frac23
  (E) \frac34

Helyes válasz: B

Indoklás: A keresett ponthalmaz egy négyzet alapú gúla, amelynek alapja az x=1 lap, ötödik csúcsa pedig a (0,0,1) pont. Ennek térfogata az alapterület és a magasság szorzatának harmada, vagyis \frac{1\cdot1}3.


5. feladat. Írjunk a séma bet?inek helyére számjegyeket úgy, hogy az összeadás helyes legyen, és különböz? bet?k helyére különböz?, azonosak helyére egyenl? számjegyek kerüljenek. Mennyi lesz L értéke?

J U N E
J O L L Y
H O L L Y
+ J O N
J O L Y O N

Azaz

JUNE+JOLLY+HOLLY+JON=JOLYON.
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 5
  (D) 8
  (E) 9

Helyes válasz: A

Indoklás: A JOLLY és HOLLY számok, mivel ötjegy?ek, kisebbek 105-nél, ugyanígy JUNE<104 és JON<103. Ezzel az összegük, k=JOLYON<211000, azaz a J számjegy vagy 1, vagy 2 lehet. Ennek ismeretében végezzük el ismét a fels? becslésünket:

k<3000+30000+100000+300=133300,

ami azt jelenti, hogy J pontosan egyenl? 1-gyel, továbbá az O bet? értéke nem lehet nagyobb 3-nál. Emiatt pedig k<2000+14000+94000+140=110140<120000, így k tízezres helyiérték? jegye kisebb 2-nél, azaz pontosan 0, hiszen O\neqJ=1 miatt 1 nem lehet. A k-ra adható alsó becslés, k>102000 (mivel L\geq2) következtében H=9, ugyanis ha kisebb lenne, akkor k<2000+11000+81000+110=94110 lenne, ami ellentmondás. Tehát U,L<9 és k<1900+10900+90900+110=103810. Emiatt k ezres helyiértékére, azaz L-re 2\leqL\leq3, amit kihasználva egy újabb fels? becslés: k<1900+10400+90400+110=102810.

Tehát az L számjegy a 2.

További megfontolásokkal megkapjuk az egyetlen megoldást, amelyben J=1, O=0, H=9, L=2, Y=3, E=4, N=5 és U=7.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley