KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy számsorozat els? tagja legyen 2, a második pedig 3. A további tagokat pedig úgy képezzük, hogy minden egyes tag 1-gyel kisebb legyen a szomszédainak a szorzatánál. Mennyi lesz az els? 2008 tag összege?
  (A) 3616
  (B) 3800
  (C) 4235
  (D) 4380
  (E) 5102

Helyes válasz: A

Indoklás: Jelölje an a sorozat n-edik tagját. Tudjuk, hogy a1=2 és a2=3, a képzési szabály szerint pedig an=an-1an+1-1 (ahol n=2,3,4, \ldots). Kissé átalakítva kapjuk (an-1\neq0 esetén), hogy a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_{n-1}}, és mivel az els? két tag pozitív, az összes tag pozitív lesz.

Számítsuk ki az els? néhány tagot: a1=2,a2=3,a3=2,a4=1,a5=1,a6=2,a7=3 stb. Ebb?l látható, hogy a sorozat ötösével periodikusan ismétl?dik, hiszen minden új tag kiszámításához csak az el?tte lév? kett?t használjuk. Egy periódus tagjainak összege 9, valamint 2005-ig pontosan 2005:5=401 periódus van, majd a legvégén a2006=2, a2007=3, a2008=2. Ezt összegezve 401.9+7=3616-ot kapunk.


2. feladat. Egy 5 cm sugarú kört egy szel? az A és B pontokban metsz. A szel? egy P pontjától A 12,8, B pedig 20 cm távolságra van. Húzzunk P-b?l érint?t a körhöz, ahol az érintési pont legyen C. Mennyi lesz az AC és BC szakaszok hosszainak aránya, azaz az \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} hányados?
  (A) 0,5
  (B) \frac{1}{3}
  (C) 0,64
  (D) 0,8
  (E) \frac{3}{8}

Helyes válasz: D

Indoklás: Ismert tétel, hogy adott pontból a körhöz húzott érint? szakasz hosszának négyzete megegyezik a pontból húzott szel? szakaszok hosszának szorzatával, azaz PC2=PA.PB, ahonnan PC =
\sqrt{12,8 \cdot 20} = 16. Ezzel együtt PAC \triangle \sim PCB
\triangle, így a megfelel? oldalakra felírhatjuk, hogy \frac{AC}{BC} = \frac{PC}{PB} = \frac{16}{20} = 0,8.


3. feladat. Az x, y, z és a számokra teljesül, hogy x+y+z=a és x3+y3+z3=a3. Hány k>3 egészre teljesül, hogy xk+yk+zk=ak?
  (A) 0
  (B) 2
  (C) 6
  (D) 14
  (E) 14-nél több

Helyes válasz: E

Indoklás: A feltétel alapján (x+y+z)3=x3+y3+z3, amit átrendezve kapjuk, hogy (x+y)(x+z)(y+z)=0. Egy szorzat értéke pedig csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényez?je 0, azaz x, y, z közül valamelyik kett?nek az összege 0. Mivel x, y, z szerepe teljesen szimmetrikus, feltehetjük, hogy x+y=0. Így pedig z=a. Ezeket felhasználva a következ? egyenl?ségnek kell teljesülnie:

xk+yk+zk=ak,

ami másképp írva xk+(-x)k+ak=ak, ami minden páratlan k esetén igaz, hiszen ekkor -xk=(-x)k, tehát végtelen sok megoldás létezik.


4. feladat. Egy hét házaspárból álló társaságot két csoportra szeretnénk osztani úgy, hogy az egyikbe pontosan hat személy kerüljön, és közöttük legalább két házaspár legyen. Hányféleképpen lehetséges ez?
  (A) 690
  (B) 735
  (C) 820
  (D) 875
  (E) 910

Helyes válasz: D

Indoklás: Két f? esetet különböztethetünk meg aszerint, hogy a kiválasztott hat személynél 2 vagy 3 házaspár van, ugyanis a legalább két házaspár legyen pontosan ezt jelenti. Ezen lehet?ségek számának összege adja a feladat megoldását.

Az els? esetet tekintve, ki kell választanunk a 7 házaspárból 2-t, majd még ehhez a 4 személyhez 2 olyat, akik nincsenek házastársi viszonyban. Az el?bbit \binom72-féleképpen, utóbbit pedig \binom52 \cdot 4-féleképpen tehetjük meg. Utóbbinál kiválasztottunk a maradék 5 párból kett?t, majd ebb?l a két kiválasztottból eldöntöttük, hogy a n?t vagy a férfit válogassuk be, ami nyilván minden egyes párkett?s kiválasztása esetén 2.2 lehet?séget jelent. A másik esetnél a 7 házaspárból kiválasztunk 3-at, amivel be is telt a 6 f?s csoportkeret, ezen lehet?ségek száma \binom73.

Tehát összesen \binom72 \cdot \binom52 \cdot 4 + \binom73 = 875 lehet?ség van.


5. feladat. Mennyi lehet azon kétjegy? számok összege, amelyek mindegyikére igaz, hogy 6-szor akkora, mint a nála 7-tel nagyobb szám számjegyeinek összege?
  (A) 86
  (B) 98
  (C) 102
  (D) 120
  (E) 124

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen a keresett szám N=\overline{cd}=10c+d (feltéve, hogy létezik). A 7-tel nagyobb N' szám 1-es helyi érték? jegye biztosan különbözik N-ét?l, ennek alapján három esetet különböztetünk meg:

(1) d+7\leq9, azaz N' tízes jegye is c

(2) d+7\geq10, d\geq3 és c+1\leq9, azaz N' is kétjegy?

(3) d+7\geq10, d\geq3 és c+1=10, azaz N' háromjegy?

Az (1) esetben N'=10c+d+7 jegyeinek összege s1=c+d+7, így N=6s1 miatt c=\frac{5d+2}{4} + 10 nagyobb 10-nél, ez pedig lehetetlen.

A (2) esetet tekintve N' utolsó jegye d+7-10=d-3, az els? jegy pedig c+1, így a jegyek összege s2=c+1+d-3=c+d-2. Ezzel N=6s2-b?l c=-3+ \frac{5d}{4}, tehát d-nek oszthatónak kell lennie 4-gyel. Így d=4 vagy d=8, amivel rendre c=2 és c=7, azaz N=24, illetve 78, és ezek valóban megfelelnek.

Végül a (3) esetben nincs megoldás, ugyanis ekkor c=9, így N' jegyei 1, 0, d-3, összegezve s3=d-2, és N=6s3\geq90 miatt d nem egyjegy?, ami ellentmondás.

Tehát a feltételnek eleget tev? számok összege 24+78=102.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley