KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Egy konvex 12-szög csúcsai közül hányféleképpen választhatunk ki 4-et úgy, hogy az általuk meghatározott konvex négyszög oldalai a 12-szög átlói legyenek?
  (A) 98
  (B) 105
  (C) 116
  (D) 132
  (E) 145

Helyes válasz: B

Indoklás: Általános n-szögre adjuk meg a megoldást. Számozzuk meg a csúcsokat pozitív körüljárás szerint rendre az 1, 2, \ldots ,n számokkal. Pontosan azok a kiválasztott négyszögek lesznek jók, amikre teljesül a következ? két tulajdonság:

(A) nincs szomszédos számpár, azaz olyan, ahol a számok különbsége 1

(B) együtt ugyanabban a négyszögben nem szerepel az 1 és az n szám (hiszen az 1 és n szomszédosak)

Tehát az egyszerre (A) és (B) tulajdonságú csúcsnégyesek számára vagyunk kíváncsiak, amit jelöljön N(AB). Erre igaz, hogy N(AB) =
N(A) - N(A\overline{B}), azaz az (A) tulajdonságúak számából kivonva az (A), de nem (B) tulajdonságúakat.

Egy megfelel?en kiválasztott számnégyes számait jelölje rendre a,b,c,d. A megfelel?ség miatt (*) 1\leqa<a+1<b<b+1<c<c+1<d<d+1\leqn. Ekkor a b'=b-1,c'=c-2,d'=d-3 jelöléssel (**) 1\leqa<b'<c'<d'\leqn-3 teljesül. Fordítva pedig, ha az a,b',c',d' számokra igaz az utóbbi egyenl?tlenséglánc (**), akkor a,b,c,d-re is igaz az el?bbi (*). Vagyis N(A) egyenl? a (**)-nak eleget tev? számnégyesek számával, ami pontosan az els? n-3 pozitív egészb?l kiválasztható, különböz? számokból álló (és monoton növekv?en rendezett) számnégyesek száma:

N(A) = \binom{n-3}{4}.

Ha egy számnégyesnek megvan az (A) tulajdonsága, de (B) nincs, akkor szerepel benne az 1 és az n, továbbá a másik két elemére 3\leqb<b+1<c\leqn-2. Az el?z? gondolatmenethez teljesen hasonlóan ez:

N(A\overline{B}) = \binom{n-5}{2}.

Összegezve az fentieket: N(AB) = N(A) - N(A\overline{B}) =
\binom{n-3}{4} - \binom{n-5}{2}, ami még egyszer?bb alakban N(AB)
= \frac{n}{4} \binom{n-5}{3}, ahová behelyettesítve n=12-t kapjuk, hogy N(AB)=105.


2. feladat. Mennyi maradékot ad 65^{6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6 + 3} 9-cel osztva, ahol a kitev?ben 2008 darab 6-os szerepel?
  (A) 1
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 6
  (E) 8

Helyes válasz: E

Indoklás: A 6 \cdot \ldots \cdot 6 kitev?t írjuk le a 6.n egyszer?bb alakban, ahol n=62007. Így 656n+3=(7.9+2)6n+3, ami pontosan annyi maradékot ad 9-cel osztva, mint 26n+3. Ugyanis egy (a+b)k alakú kifejezést ha kifejtünk, akkor egyetlen tagot leszámítva mindegyikben szerepelni fog szorzóként az a, ami jelen esetben a 9.7, tehát osztható 9-cel. Így ezek a tagok 0 maradékot adnak. Innent?l elég a 26n+3 számot vizsgálni. Kicsit módosítva az alakját kapjuk, hogy

26n+3=8.26n=8.64n.

Az el?z? megfontoláshoz hasonlóan 64n pontosan annyi maradékot ad 9-cel osztva, mint 1n, hiszen 64n=(9.7+1)n. Emiatt pedig 8.64n, ennek a 8-szorosát, azaz 8 maradékot ad.

Megj.: Ezek szerint tetsz?leges n természetes számra igaz a maradék, így nem volt jelent?sége n=62007-nek.


3. feladat. Egy hattagú társaság horgászni megy. Indulás el?tt mindenki megtippelte mindenkir?l, ki hány halat fog.

9 4 8 3 1 6
6 7 5 1 6 7
6 9 16 5 10 3
4 2 4 8 9 5
9 5 7 9 12 9
8 5 10 7 5 10

Este kiderült, hogy mindenki kevesebbet jósolt annak, aki nála többet fogott, és többet saját magának, és annak, aki nála kevesebbet fogott. Nem volt közöttük kett?, aki ugyanannyit fogott volna, és mindenkinek legalább egy hal horogra akadt. Hány halat emelt ki a vízb?l a harmadik legtöbbet fogó ember?

[Megjegyzés: a táblázat i-edik sorának j-edik eleme azt jelezi, hogy mekkora fogást tippelt az Ai ember Aj-nek.]
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: E

Indoklás: Jelölje az A1 által fogott halak számát a, A2-jét b, \ldots, A6-ét pedig f. Nyilván A4 nem foghatott kevesebbet annál, amennyit A2 tippelt neki (azaz 1-nél), ugyanis mindenki legalább egyet fogott. Emiatt A4 többet fogott A2-nél, azaz d>b. Ekkor A2 kevesebbet fogott, mint amennyit A4 jósolt neki, következésképpen b<2, így b=1. Ezek szerint A2 mindenkinél kevesebbet fogott, ezzel együtt mindenkinek kevesebbet jósolt, és azt is tudjuk, hogy magával kapcsolatban mindenki többre számított. Tehát 6<a<9, 5<c<16, 1<d<8, 6<e<12,7<f<10. Mivel senki nem fogott annyit, amennyit neki jósoltak, a nem lehet 8, így csak 7. A3 kevesebbet tippelt A1-nek (6-ot), mint amennyit ténylegesen fogott, azaz c<a, amit 5<c-vel összevetve c=6. A d<8 és d\neqa összefüggés miatt A4 kevesebbet fogott A1-nél, ezért A4-nek A1 többet jósolt, így d<3, ahonnan b\neqd miatt d=2.

Maradt még e és f. A fenti egyenl?tlenségekb?l tudjuk, hogy 6<e, így A3 kevesebbet fogott A5-nél, ezzel együtt kevesebbet is tippelt neki, azaz 10<e. Tehát e=11. Ezek szerint A5 többet fogott A6-nál, mert f<10, tehát A6-nak többet jósolt, ezért f<9, ahonnan f=8. Összefoglalva:

a=7, b=1, c=6, d=2, e=11, f=8.

Tehát a harmadik legnagyobb fogás 7 hal.


4. feladat. Egy pozitív egész szám összes pozitív osztóinak szorzata 2120.360.590. Mi lehet ez a szám?
  (A) 1080
  (B) 4800
  (C) 12000
  (D) 18000
  (E) 21600

Helyes válasz: D

Indoklás: Jelölje a keresett számot N. Ennek prímtényez?i pontosan azok a prímszámok, amik az osztók szorzatában szerepelnek, tehát N=2k.3l.5m. Jelölje továbbá d(N) az N összes pozitív osztóinak a számát, valamint P a szorzatukat. Amennyiben N nem négyzetszám, minden osztónak van egy kiegészít? párja (ami t?le különböz?), amivel megszorozva N-et kapjuk, ezért P=N^{\frac{d(N)}{2}}. Ha pedig N négyzetszám, akkor a gyökét?l eltekintve mindegyik osztójának megvan az el?bbi kiegészít? párja. Tehát P=N^{\frac{d(N)-1}{2}} \cdot \sqrt{N} = N^{\frac{d(N)}{2}}. Ezek szerint minden esetben P=N^{\frac{d(N)}{2}}.

N=2k.3l.5m prímtényez?s alakjából következik, hogy pozitív osztóinak száma d(N)=(k+1)(l+1)(m+1). Ugyanis az osztók 2h.3i.5j alakúak, ahol a kitev?k egymástól függetlenül rendre k+1, l+1, illetve m+1 értéket vehetnek fel, hiszen például i lehet 0,1,2, \ldots, l.

Az el?z?ek alapján

2^{120} \cdot 3^{60} \cdot 5^{90} = (2^k \cdot
3^l \cdot 5^m)^{\frac{(k+1)(l+1)(m+1)}{2}}.

Err?l leolvasható, hogy k:l:m=120:60:90, azaz legyen k=4t, l=2t, m=3t, ahol t pozitív egész. A fenti egyenl?ség miatt a különböz? prímek kitev?inek meg kell egyezniük a két oldalon, ugyanis egy számnak nincs két különböz? pozitív prímekb?l álló felbontása. Tehát

120 =
4t \cdot \frac{(4t+1)(2t+1)(3t+1)}{2},

azaz

60=t(4t+1)(2t+1)(3t+1).

Könnyen láthatóan ennek a pozitív egészek körében csak a t=1 megoldása. (t növelésével a jobb oldal értéke szigorúan monoton n?) Tehát N=24.32.53=18000 a keresett szám.


5. feladat. Legyen A a tízes számrendszerben felírt 44444444 számjegyeinek az összege, B pedig az A számjegyeinek összege. Mennyi lehet B számjegyeinek az összege?
  (A) 7
  (B) 15
  (C) 29
  (D) 53
  (E) 96

Helyes válasz: A

Indoklás: A kérdéses számjegyösszeget jelöljük C-vel. Fels? becslést adva A,B,C értékeire: 44444444<100004444<100005000=1020000 miatt 44444444 legfeljebb 20000 jegy?, emiatt pedig A\leq9.20000=180000, azaz A legfeljebb hatjegy?. Ezek szerint számjegyeinek összege, B nem lehet nagyobb 6.9=54-nél, következésképpen C\leq13, ugyanis az 54-nél nem nagyobb pozitív egészek körében a számjegyösszeg 49 esetében maximális, és ekkor 13.

Emellett a 9-cel való oszthatóságról tudjuk, hogy egy szám 9-cel osztva pontosan annyi maradékot ad, mint a számjegyeinek összege 9-cel osztva, azaz 44444444, A, B, C ugyanazt a maradékot adják, ha elosztjuk ?ket 9-cel. Az eredeti számunkat kicsit átalakítva kapjuk, hogy

44444444=44444444-74444+74444-7+7=(44444444-74444)+7.(73.1481-1)+7.

Itt felhasználjuk, hogy az (an-bn) alakú számok oszthatók (a-b)-vel, ami esetünkben egyrészt 4444-7=4437=9.493, másrészt pedig 73-1=9.38. Tehát 44444444 9-cel osztva 7 maradékot ad, és C-nek ugyanennyit kell adni. Emellett a fentiekb?l tudjuk, hogy C\leq13, így értéke csak 7 lehet.

[Megjegyzés: Már az els? bekezdés gondolatmenete elég volt ahhoz, hogy az 5 válaszlehet?ség közül kiválasszuk a helyeset.]

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley