KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Az a, b, c oldalú derékszög? háromszögb?l (c az átfogó és a<b) elindulva a következ? derékszög? háromszögeket készítjük:

Els? lépésben azt a háromszöget, melynek befogói b és c. Jelölje ennek átfogóját d.

Második lépésben azt a háromszöget, melynek befogói c és d.

Minden további lépésben a hosszabbik befogó és az átfogó felhasználásával képezünk új háromszöget, melynek ezek az oldalak a befogói.

Ezt folytatva, mi lesz a 9. lépésben kapott háromszög átfogójának a hossza?
  (A) \sqrt{34a^2+21b^2}
  (B) \sqrt{55a^2+34b^2}
  (C) \sqrt{50a^2+20b^2}
  (D) \sqrt{20a^·+39b^2}
  (E) \sqrt{55a^2+89b^2}

Helyes válasz: e

Indoklás: A kiinduló háromszög átfogója \sqrt{a^2+b^2} hosszú. Az 1. lépésben kapott háromszög átfogója ezek szerint \sqrt{b^2+a^2+b^2}=\sqrt{a^2+2b^2} hosszú. Ha csak azt írjuk le, hogy a keletkez? háromszögek átfogójában mi a2, illetve b2 ,,együtthatója'', a következ? sorozatot kapjuk (minden egyes lépésben az új átfogó együttható az el?z? két átfogó együtthatóinak összegeként adódik):

(1,1), (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), (8,13), (13,21), (21,34), (34,55), (55,89).

Tehát a 9. lépésben kapott háromszög átfogójának a hossza \sqrt{55a^2+89b^2}.

Megjegyzés: Az együtthatók a Fibonacci sorozat elemei, amir?l itt többet is meg lehet tudni.


2. feladat. Egy háromszög alapú gúláról és körülírt gömbjér?l a következ?ket tudjuk:

I. Egy alapél egyenl? hosszú a gömb átmér?jével.

II. A másik két alapél hosszának aránya 3:4.

III. A gúla térfogata 40 cm3.

IV. A gúla alapidoma derékszög? háromszög.

V. A gúla magassága egyenl? a gömb sugarával.

Mennyi a gúla élhosszúságainak az összege?
  (A) \approx28,24 cm
  (B) 30 cm
  (C) \approx40,23 cm
  (D) \approx45,21 cm
  (E) 50 cm

Helyes válasz: d

Indoklás: A gömb sugarát r-rel jelölve az alapháromszög oldalai I. és II. alapján 2r, 8r/5, 6r/5; alapterülete IV. alapján (8r/5).(6r/5)/2; magassága V. alapján r, így III. szerint

\frac{1}{2} \cdot \frac{8r}{5} \cdot \frac{6r}{5} \cdot
\frac{r}{3}=40,

amib?l r=5 cm, tehát az alapélek 10, 8, 6 cm.

Az alapháromszög a gömb egy f?körének síkja, így m=r miatt a negyedik csúcs a f?körre mer?leges átmér? végpontja, tehát az alapon lev? vetülete a gömb és egyben az alap köré írt kör középpontja. Így a 3 oldalél egyenl?, közös hosszuk r \sqrt 2~\rm{cm}.

Tehát a gúla élhosszúságainak összege 10+8+6+3\cdot5\sqrt2\approx45,21~\rm{cm}.

Megjegyzés. A gömb egy átmér?jét tartalmazó minden síkmetszete f?kör és a gömbátmér? ennek is átmér?je, így IV. Thalész tétele alapján következik I-b?l, tehát fölösleges.


3. feladat. Mit mondhatunk arról a háromszögr?l, amelyben a szokásos jelölések mellett fennáll

\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{\rm{tg}\ \alpha}{\rm{tg}\ \beta}}?
  (A) egyenl? szárú, vagy derékszög?
  (B) derékszög?, egyenl? szárú
  (C) derékszög?, de nem egyenl? szárú
  (D) egyenl? szárú, de nem derékszög?
  (E) egyenl? szárú, de nem szabályos

Helyes válasz: a

Indoklás: A feltevés els? részét a sinustétellel egybevetve

\frac{a^2}{b^2}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\beta}=
\frac{\rm{tg}\,\alpha}{\rm{tg}\,\beta}=
\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}.

Itt \alpha\neq0 és \beta\neq0, hiszen ezek háromszög szögei, továbbá sem \alpha, sem \beta nem lehet 90o, különben a feltevésnek nem volna értelme. Így egyszer?sítéssel, ill. átszorzással

sin \alphacos \alpha=sin \betacos \beta,    sin 2\alpha=sin 2\beta.

Ez egy háromszög szögeire akkor teljesülhet, ha 2\alpha=2\beta, azaz \alpha=\beta vagy ha 2\alpha+2\beta=180o, \alpha+\beta=90o.

Tehát a háromszög egyenl? szárú, vagy derékszög?.


4. feladat. Marcsi beledobott egy kosárba valahány piros és kék labdát, amelyeknek legalább 90%-a piros. Jen? találomra kivett 50 golyót, közöttük 49 piros volt. Nándi megnézte a kosárban maradt labdákat, és megállapította, hogy azok 7/8 része piros. Legfeljebb hány labda lehetett a kosárban?
  (A) 130
  (B) 170
  (C) 210
  (D) 250
  (E) 290

Helyes válasz: c

Indoklás: Az 50 labda kivétele után a kosárban maradt labdák számát jelölje 8x. Nándi állítása alapján

\frac{49+7x}{50+8x}\geq0,9.

Ezt átalakítva:

49+7x\geq0,9.50+0,9.8x,

49+7x\geq45+7,2x,

4\geq0,2x,

160\geq8x,

210\geq8x+50.

Tehát legfeljebb 210 labda lehetett a kosárban.


5. feladat. Mennyi az x(x+1)(x+2)(x+3) kifejezés [-3,0] intervallumon vett legkisebb és legnagyobb értékének szorzata?
  (A) 0
  (B) -0,5625
  (C) -0,75
  (D) -1
  (E) -2,25

Helyes válasz: b

Indoklás: A függvény kifejezéséb?l látszik, hogy szimmetrikus az x=-1,5 egyenesre. Ugyanakkor leolvashatjuk gyökhelyeit is: 0, -1, -2, -3. És mivel pozitív f?együtthatójú negyedfokú függvény, ezért egyszer?en ábrázolhatjuk.

A maximum értéke a megadott intervallumban a szimmetriatengelyen, x=-1,5-nél adódik: y=-1,5(-1,5+1)(-1,5+2)(-1,5+3)=0,5625.

Másrészt a kifejezést átalakítva:

x(x+1)(x+2)(x+3)=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=(x2+3x)(x2+3x+2)=z(z+2)=(z+1)2-1.

Mivel z=-1 esetén x2+3x=-1, vagyis x2-3x+1=0, és ennek az egyenletnek van valós gyöke (mert a diszkrimináns nemnegatív), ezért ebb?l következik, hogy a kifejezés értékének minimuma -1, tehát a kérdéses szorzat -1.0,5625=-0,5625.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley