KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Az f(x) függvényre valamely rögzített a érték mellett fennáll az f(x+a) = \frac{1+ f(x)}{1-f(x)} azonosság. Az alábbi értékek közül melyik lehet a függvény periódusa?
  (A) a
  (B) 2a
  (C) 3a
  (D) 4a
  (E) a fentiek közül egyik sem

Helyes válasz: D

Indoklás: Tegyük fel, hogy létezik olyan periódusa a függvénynek, mely a-nak valamilyen egész számú többszöröse. Az a nem lehet a megoldás, hiszen ekkor f(x+a) = f(x) = \frac{1+ f(x)}{1-f(x)}-b?l ellentmondás adódik. Vizsgáljuk most 2a-val:

f(x+2a) = \frac{1 +
f(x+a)}{1 - f(x+a)} = \frac{1 + \frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}}{1
-\frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}} = \frac{1 - f(x) + 1 + f(x)}{1 - f(x) -
1 - f(x)} = -\frac{1}{f(x)}.

Tehát 2a nem periódus, viszont látható, hogy 2a-t haladva a függvényérték a reciprokának -1-szeresére változott. Ezért újabb 2a-t haladva visszakapjuk a kiindulási értéket: f(x+4a) = -\frac{1}{f(x+2a)} = f(x). Így a függvény 4a szerint periodikus.

Az el?z?ek alapján a függvény nem lehet 3a szerint periodikus, hiszen akkor a szerint is az lenne.

A függvény tehát 4a szerint periodikus.


2. feladat. Három szabályos test, egy tetraéder, egy hexaéder és egy oktaéder felszíne egyenl?. Vajon mekkora térfogataik aránya? (megj.: ebben a sorrendben és három tizedesjegyre kerekítve)
  (A) 1:1,598:2,236
  (B) 1:1,316:1,414
  (C) 1:1,414:2,236
  (D) 1:1,732:2,213
  (E) 1:1,684:1,878

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje rendre a, b, c az éleiket, A1, A2, A3 a felszíneiket, továbbá V1, V2, V3 a térfogataikat. Tudjuk a szabályos testekre vonatkozó felszínképletek alapján, hogy A_1 =  \sqrt{3}a^2 , A2=6b2, A_3 = 2\sqrt{3}c^2. A feladat szerint A1=A2=A3, azaz egyrészt \sqrt3 a^2 = 6b^2, amib?l a= \sqrt{2\sqrt3 b^2} = b \root{4}\of{12}, másrészt 2\sqrt3 c^2  = 6b^2, amib?l c= \sqrt{\sqrt3 b^2} = b \root{4}\of{3}.

A térfogatokra vonatkozó képlet szerint V_1 = \frac{a^3 \sqrt2}{12}, V2=b3, V_3 = \frac{c^3 \sqrt2}{3}. Ezekbe behelyettesítve a fent megkapott a és c értékeket:

V_1 = \frac{(b
\root{4}\of{12})^3 \sqrt2}{12} = \frac{b^3 \root{4}\of{3^3}}{3},

és

V_3 = \frac{(b \root{4}\of{3})^3 \sqrt2}{3} = \frac{b^3 \root{4}\of{3^3
\cdot 4}}{3}.

Tehát V_1 : V_2 : V_3 = \frac{\root{4}\of{3^3}}{3} : 1 :
\frac{\root{4}\of{3^3 \cdot 4}}{3} = 1 : \root{4}\of{3} : \sqrt2 \approx 1
: 1,316 : 1,414.


3. feladat. Egy természetes számot az 1-gyel nagyobb számmal szorozva a szorzat ABCD alakú, ahol A, B, C, D különböz? számjegyek. A 3-mal kisebb számból kiindulva a szorzat CABD alakú, a 30-cal kisebb számból kiindulva pedig BCAD alakú. Határozzuk meg az A+B+C+D számjegyösszeget!
  (A) 17
  (B) 20
  (C) 22
  (D) 26
  (E) 27

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje x a legels? természetes számot, amib?l kiindultunk. Ekkor a következ? egyenleteket írhatjuk fel a feladat alapján:

x(x+1)=x2+x=1000A+100B+10C+D

(x-3)(x-2)=x2-5x+6=1000C+100A+10B+D

(x-30)(x-29)=x2-59x+870=1000B+100C+10A+D.

Vonjuk ki az els? egyenl?ségb?l a másodikat:

6(x-1)=900A+90B-990C=90(10A+B-11C)

x-1=15(10A+B-11C)

x=15m+1,

ahol m egész szám. Mindhárom szorzat négyjegy?, az elöl álló A, B, C számok egyike sem 0. Emiatt egyrészt az els? egyenl?ség alapján x<100, ugyanis 100.101 már ötjegy?, másrészt a harmadik szerint (x-30)(x-29)>1000. Mivel x pozitív egész, ezért ebb?l x>61 következik.

Összefoglalva, x egy olyan 15m+1 alakú természetes szám, melyre 61<x<100. Ezek szerint csak m=5 és m=6 jöhet szóba. Az el?bbi esetén x=76, amelyre viszont 76.77=5852, azaz lenne két egyforma számjegy. Most tekintsük az m=6 eset által adott szorzatokat:

91.92=8372,   88.89=7832,   61.62=3782,

azaz mindháromból A=8, B=3, C=7, D=2, az összegük pedig A+B+C+D=20.


4. feladat. Egy osztály tanulói között szétosztottak egy kosár diót. Az els? tanuló a számú diót és még a megmaradó diók 30-adrészét, a második tanuló 2a számú diót és a maradék 30-ad részét, a harmadik tanuló 3a-t és a megmaradó 30-ad részét és így tovább. Emellett tudjuk, hogy az els? két tanuló ugyanannyi diót kapott. Mekkora lehet az osztály létszáma?
  (A) 25
  (B) 27
  (C) 29
  (D) 30
  (E) 32

Helyes válasz: C

Indoklás: A szétosztandó diók számát d-vel jelölve az els? tanulónak

a
+ \frac{d-a}{30} = \frac{d}{30} + \frac{29 a}{30},

a másodiknak pedig

2a + \frac{d - \frac{d}{30} - \frac{29 a}{30} - 2a}{30} =
\frac{29}{30^2} d + \frac{29 \cdot 59}{30^2} a

dió jutott. Err?l a két értékr?l pedig tudjuk, hogy egyenl?ek, azaz \frac{d}{30} +
\frac{29 a}{30} = \frac{29}{30^2} d + \frac{29 \cdot 59}{30^2} a, amib?l d=292a. Továbbá az els? két tanuló egyenként

a +
\frac{d-a}{30} = a + \frac{(29^2-1)a}{30} = a + \frac{28 \cdot
30}{30} a = 29a

diót kapott.

Teljes indukcióval bizonyítható, hogy mindenki pontosan 29a darab diót kapott az osztályban, ehhez tegyük fel, hogy eddig k-1 tanulóról beláttuk, így nézzük meg k-ra (k>2). Ekkor maradt d-(k-1)29a=29(30-k)a dió, így a k-adik tanulónak

ka +
\frac{29 (30-k) a - ka}{30} = \frac{30ka + 29 \cdot 30a - 29 ka -
ka}{30} = 29a

darab dió jut.

Az el?z?ek alapján tehát 292a diót osztanak ki az osztályban úgy, hogy minden tanuló egységesen 29a-t kap fejenként, így 29-en járnak az osztályba.


5. feladat. Vegyük egy 400 oldalú szabályos sokszög egyik csúcsát, ezt jelölje A0. A többi csúcsot számozzuk meg pozitív körüljárás szerint, azaz A0 szomszédja pozitív irányban A1, tovább A_2,
\ldots, A_{399}. Az A0-ból induló átlók közül keressük azokat, amelyekb?l levonva a középponttól való távolságuk kétszeresét, a különbség abszolút értéke a legkevésbé tér el a sokszög köré írt kör sugarától. Az alábbiak közül melyik lehet egy ilyen átló másik csúcsa?
  (A) A39
  (B) A43
  (C) A47
  (D) A54
  (E) A85

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen az ilyen átlók egyike An, ahol 0<n\leq200, ugyanis a tengelyes szimmetria miatt elég csak ezeket tekinteni. Erre az átlóra az origótól való távolság fele a d(A200,An) távolságnak, ugyanis az A0A200An háromszögnek derékszöge van An-ben. Ha csökkentjük n-et 200-tól 1-ig, akkor egyrészt A0An monoton fogy, másrészt AnA200 monoton n?, következésképpen az A0An-AnA200 monoton csökken. Ezek szerint a

dk=|A0Ak-AkA200|-A0O

(O a körülírt kör középpontja) alakban definiált sorozatban azt a n-et keressük, melyre |dn+1|\geq|dn| és |dn-1|\geq|dn|. Látható, hogy szimmetriai okokból ha teljesül valamilyen n-re, akkor igaznak kell lennie 200-n-re is.

Most keressük meg a köríven azt a B pontot, melyre pontosan |A0B-BA200|-A0O=0. Ekkor B egy olyan íven található, melyet a sokszög a körb?l lemetsz, és a monotonitás miatt pontosan azzal az oldallal metszi le, mely tartalmazza An-t (azaz An az oldal egyik végpontja). Emellett persze el?fordulhat, hogy B pont egybeesik An-nel.

|A_0 B - A_{200} B| = \frac{A_0
A_{200}}{2},

amit négyzetre emelve és felhasználva az A0A2002=A0B2+A200B2 összefüggést kapjuk, hogy

4A0B2-8A0B.A200B+4A200B2=A0B2+A200B2.

Az A0A200B\angle=\beta jelöléssel \frac{A_0
B}{A_{200} B} = \tan \beta, és a fentib?l \tan^2 \beta - \frac83
\tan \beta + 1 = 0, amit megoldva \tan \beta = \frac{4 \pm
\sqrt{7}}{3} = 0,4514 vagy 2,215. Így \beta értékei (kerekítve) 65°42', ill. 24°18', továbbá 2\beta=131°24' és 48°36'. (A két érték lényegében a szimmetrikus n és 200-n index? párt jelzi.) Ezek az A0OB középponti szögek, amihez felhasználva, hogy a sokszög egy oldalához tartozó középponti szög \omega=360°/400, megkapjuk, hogy \frac{131°24'}{\omega}=146 (lekerekítve), és \frac{48°36'}{\omega} = 54 (fölkerekítve). Ez pedig azt mutatja, hogy a megfelel? B pontok az A146A147, ill. A53A54 íven vannak. Könny? számolással adódik, hogy a megfelel? indexek a 146, ill. 54 lesznek.

Tehát a keresett átlók: A0A54, A0A146, (szimmetrikus párjaik pedig) A0A254 és A0A346. Így a felsoroltak közül A54 lesz jó.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley