KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Az ABCD konvex négyszögben AB+BD+DC legfeljebb 2, a négyszög területe \frac12. Mekkora lehet az AC átló?
  (A) 1
  (B) \frac{\sqrt3}{2}
  (C) \sqrt2
  (D) \sqrt3
  (E) \frac{2\sqrt2}{3}

Helyes válasz: C

Indoklás: Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Eszerint a+e+c\leq2, azaz a+c\leq2-e, továbbá nyilvánvalóan m1\leqa és m2\leqc.

A négyszög területéb?l adódóan e(m1+m2)=1. Ezt összevetve az m1+m2\leqa+c\leq2-e egyenl?tlenséggel, amit az el?z? bekezdésb?l kapunk, a következ?höz jutunk: 1=e(m1+m2)\leqe(a+c)\leqe(2-e). Ebb?l pedig 1\leqe(2-e) és (e-1)2\leq0, ami csak egyenl?ségként lehetséges, vagyis e=1. Ekkor azonban az els? bekezdésben is egyenl?ségeknek kell állnia, így m1=a, m2=c és a+c=2-e=1, valamint \alpha=\gamma=90°.

A 2. ábra alapján tehát AC2=(a+c)2+e2=2, azaz AC =
\sqrt2.


2. feladat. Ali Baba sz?nyegkeresked? téglalap alakú sz?nyeget árul. Tönkrement minden mér?eszköze, de szerette volna tudni egyik sz?nyegének a méreteit. Észrevette, hogy két téglalap alakú szobájában is el tudja helyezni a sz?nyeget úgy, hogy a sz?nyeg minden sarka hozzáérjen a szoba egy-egy falához. Mekkorák a sz?nyeg méretei, ha a szobáké 38×55, illetve 50×55 (láb)?
  (A) 30×40
  (B) 20×40
  (C) 24×52
  (D) 25×50
  (E) 30×50

Helyes válasz: D

Indoklás: Tekintsük el?ször azt az esetet, amikor Ali Baba a PQRS téglalap alakú sz?nyegét elhelyezi az ábrának megfelel?en az 55×38-as ABCD szobában. Legyen PQ=a a téglalap rövidebb oldala, ekkor PS=ap\geqa, így p\geq1. AQP\angle=DPS\angle (mivel mer?leges szárú szögek), ezért a QAP és PDS derékszög? háromszögek szögei megegyeznek, azaz a két háromszög hasonló.

Ebb?l következ?en \frac{38-c}{b} = \frac{DS}{AP} = \frac{PS}{PQ} =
p és \frac{55-b}{c} = \frac{PD}{AQ} = \frac{PS}{PQ} = p. Innen a következ? egyenletrendszerhez jutunk: 38-c=pb, 55-b=pc, amib?l b = \frac{38p-55}{p^2-1} és c= \frac{55p-38}{p^2-1}. Alkalmazva a QAP derékszög? háromszögben Pitagorasz-tételét a^2 =
b^2 + c^2 = (\frac{38p-55}{p^2-1})^2 + (\frac{55p-38}{p^2-1})^2.

Abban az esetben, amikor Ali Baba a sz?nyeget az 50×55-ös szobában helyezi el, az el?z?vel teljesen analóg módon kapjuk, hogy a^2 = (\frac{50p-55}{p^2-1})^2 + (\frac{55p-50}{p^2-1})^2.

Ezek alapján (\frac{38p-55}{p^2-1})^2 + (\frac{55p-38}{p^2-1})^2 =
(\frac{50p-55}{p^2-1})^2 + (\frac{55p-50}{p^2-1})^2, amib?l a rendezés után kapjuk, hogy 2p2-5p+2=0, ennek pedig gyökei p_1=\frac12 és p2=2. A p\geq1 feltétel miatt p=2, amit visszahelyettesítve kapjuk, hogy a=25, ap=50, azaz a sz?nyeg 25×50-es méret?.


3. feladat. Egy tesztvizsga 4 kérdésb?l áll, mindegyik kérdésre 3 el?re megadott lehetséges válasszal. Legfeljebb hányan vehettek részt a vizsgán, ha bármely 3 vizsgázóhoz találtak olyan kérdést, amelyre mindhárman más-más választ jelöltek meg helyesnek?
  (A) 5
  (B) 6
  (C) 8
  (D) 9
  (E) 11

Helyes válasz: D

Indoklás: Jelöljük a versenyz?k maximális számát a4-gyel, és általában n kérdés esetén ezt jelölje an. Nyilván a1=3. Megmutatjuk, hogy n\geq1-re teljesül az a_{n+1} \leq \frac32 a_n egyenl?tlenség. Tekintve az (n+1)-edik lépést, amire szintén 3 lehetséges válasz adott, jelölje A az els?, B a második, C pedig a harmadik választ adók számát. Belátjuk, hogy A+B\leqan. Ha ugyanis A+B versenyz?b?l kiválasztunk hármat, akkor van egy kérdés, amelyikre mindhárman különböz? választ adtak. De ez a kérdés nem lehet az (n+1)-edik, mert arra egyikük sem adta a 3. választ. Így az A+B versenyz?höz mindig van ilyen kérdés az els? n között. Ezért A+B\leqan. Ugyanígy látható, hogy B+C\leqan és A+C\leqan, ezeket összeadva pedig 2(A+B+C)\leq3an. Azaz a_{n+1} = A+B+C \leq \frac32 a_n.

Ezt felhasználva a1=3 miatt a2\leq1,5.a1=4,5, tehát a2\leq4 (hiszen egész szám). Továbbá a3\leq1,5a2=6, így a4\leq1,5.6=9.

Végül pedig egy példával igazoljuk, hogy valóban lehetséges az a4=9, azaz 9 versenyz? tud úgy válaszolni a kérdésekre, hogy teljesítse a feladat feltételét. Az egyes válaszokat a,b,c-vel jelölve:

1. 2. 3. 4.
I. a a b c
II. a b c a
III. a c a b
IV. b a c b
V. b b a c
VI. b c b a
VII. c a a a
VIII. c b b b
IX. c c c c


4. feladat. Hány olyan nemnegatív egész szám létezik, amely másfélszer akkora, mint a számjegyeinek a szorzata?
  (A) 2
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: A

Indoklás: Jelölje a - tízes számrendszerben felírt - A szám számjegyeinek a szorzatát P(A). Ha az n-jegy? (n\geq2) A szám els? jegye a, akkor A\geqa.10n-1. Ha az A további jegyei 9-esek, akkor 9|P(A), és így ha A=1,5.P(A), akkor 9|A. Ebb?l pedig 9|a is következik, azaz a=9 és A=10n-1, de ekkor 1,5P(A) nem egész szám. Így A további jegyei között van 9-nél kisebb is, tehát P(A)\leq8.9n-2.a. Ezt a fentiekkel összevetve kapjuk, hogy 1,5.8.9n-2\geq10n-1, azaz \frac65 \geq (\frac{10}{9})^{n-2}. Mivel a jobb oldal n-ben monoton n? és (\frac{10}{9})^2 > \frac65, ezért n-2\leq1, tehát n\leq3.

Ha n=1, akkor A=0 jó megoldás. Az n=2 esetben A=10a+b=1,5ab. Innen 3ab-20a-2b=0, ahonnan b=\frac{20a}{3a-2} =
6+\frac{2a+12}{3a-2}, azaz b\geq7. Ha b=7, akkor a>9, ha b=8, akkor a=4 jó megoldás, b=9-re pedig a nem egész szám. Végül az n=3 esetet vizsgálva A=100a+10b+c=1,5abc, azaz 200a+20b+2c=3abc, ahonnan 200a<3abc, azaz bc>66. Ez csak úgy lehet, ha b és c is 9, vagy pedig egyikük 9, a másikuk 8. Ebben az esetben viszont jól látható, hogy nem kapunk megoldást.

Tehát a feladat két megoldása a 0 és a 48.


5. feladat. Hány olyan n természetes szám van 1894 és 2008 között, hogy az els? n négyzetszám két csoportra osztható úgy, hogy a két csoportban a számok összege egyenl?? (a pontosság kedvéért 1894\leqn\leq2008)
  (A) 14
  (B) 58
  (C) 76
  (D) 78
  (E) 82

Helyes válasz: B

Indoklás: Vizsgáljuk meg, milyen alakú n természetes számokra oldható meg a csoportosítás! Tetsz?leges n-re vizsgáljuk az els? n négyzetszámot: 1^2, 2^2, 3^2, \ldots , n^2. Ismeretes, hogy ezek összege \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, és ha n=4k+1 vagy 4k+2 alakú, akkor ez a szám páratlan, így ilyenkor biztosan nem osztható két egyenl? összeg? csoportra az els? n négyzetszám. Emellett látható, hogy 3-ra és 4-re sem m?ködik.

Beosztható viszont n=7,8,11,12 esetén, hiszen

12+22+42+72=32+52+62

12+42+62+72=22+32+52+82

12+32+42+52+92+112=22+62+72+82+102

12+32+72+82+92+112=22+42+52+62+102+122.

Másrészt az (n+1)2-n2=2n+1 és (n+3)2-(n+2)2=2n+5 azonosságokból adódik, hogy (n+3)2-(n+2)2-(n+1)2+n2=4=(n+7)2-(n+6)2-(n+5)2+(n+4)2, tehát n2+(n+3)2+(n+5)2+(n+6)2=(n+1)2+(n+2)2+(n+4)2+(n+7)2. Ezek szerint 8 egymást követ? négyzetszám mindig két csoportba osztható úgy, hogy az azonos csoportbeliek összege egyenl? legyen. Így az is igaz, hogy ha az els? n beosztható, akkor az els? n+8 is. Ebb?l viszont következik, hogy minden 8k+7, 8k+8, 8k+11, 8k+12 alakú n-re (k\geq0) az els? n négyzetszám két egyenl? összeg? csoportba osztható. Tehát k\geq1 esetén minden 4k+3 és 4k+4 alakú szám jó lesz, más pedig nem.

1894 és 2008 között pedig pontosan 58 ilyen szám van.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley