KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 1-6 osztály

1. feladat. Tekintsük az alábbi táblázatot:

1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7

A fenti 4×4-es táblázathoz hasonlóan kitöltünk egy 12×12-es táblázatot. Mennyi lesz ebben a beírt számok összege?
  (A) 576
  (B) 1536
  (C) 1587
  (D) 1618
  (E) 1728

Helyes válasz: E

Indoklás: A fenti táblázatban az összeg nem változik, ha az 1-est és a 7-est kicseréljük két 4-esre. Ugyanígy minden (2,6)-os párt (4,4)-re, és a (3,5)-ös párokat is (4,4)-re cserélhetjük. Vagyis a csupa 4-est tartalmazó mellékátlóra szimmetrikusan összepárosíthatjuk úgy a mez?ket, hogy minden ilyen párban a két szám összege 8, így (4,4)-re cserélve nem változik az összeg. A 4×4-es táblázatban tehát a számok összege (4.4).4=43=64. Hasonló módon a 12×12-es táblázat mellékátlójában mindenütt 12 áll, s itt a párokat (például a két sarokban lév? 1-et és a 23-at) (12,12)-re cserélhetjük. Így a keresett összeg (12.12).12=123=1728.


2. feladat. Hányféle végeredménye lehet a \pm1\pm2\pm3\pm4\pm5\pm6\pm7 kifejezésnek, ha minden \pm jel helyére tetsz?legesen írhatunk összeadást vagy kivonást?
  (A) 19
  (B) 21
  (C) 28
  (D) 29
  (E) 57

Helyes válasz: D

Indoklás: A kifejezés legkisebb értéke -1-2-3-4-5-6-7=-28, legnagyobb értéke 1+2+3+4+5+6+7=28. Bárhogyan is választjuk az el?jeleket, a kifejezés biztosan páros lesz, hiszen négy páratlan szám szerepel benne. Megmutatjuk, hogy minden -28 és 28 közötti páros szám el?állítható. Induljunk ki az 1+2+3+4+5+6+7=28 kifejezésb?l, majd változtassunk bizonyos pozitív el?jeleket negatívra. Ha például a 3 el?jelét megváltoztatjuk, akkor az összegben +3 helyett -3 fog szerepelni, így az 2.3=6-tal csökken. Hasonlóképpen, ha néhány szám el?jelét negatívra változtatjuk, és ezen számok összege A, akkor az összeg 2A-val csökken. Mivel minden 1 és 28 közötti egész számot el? tudunk állítani az 1,2,\ldots,7 számok néhányának összegeként, így bármilyen 1\leqA\leq28-ra tudjuk az összeget 2A-val csökkenteni. (Egy konkrét példa: ha a -4-et szeretnénk el?állítani, akkor a 28-at 2A=32-vel kell csökkentenünk, az A=16 pedig el?áll például 7+6+3 alakban, és az 1+2-3+4+5-6-7 kifejezés végeredménye valóban -4.)


3. feladat. Két prímszám különbsége 2009. Hány osztója van a két prímszám összegének?
  (A) 5
  (B) 8
  (C) 12
  (D) nincsenek ilyen prímek
  (E) nem egyértelm? a megoldás

Helyes válasz: B

Indoklás: Mivel a különbség páros, így az egyik prímszám páratlan, a másik páros, ez utóbbi csak a 2 lehet. Így a másik szám a 2011, amely valóban prím. A két prím összege tehát 2013, amelynek prímtényez?s felbontása 3.11.61, így osztóinak száma 2.2.2=8.


4. feladat. Egy osztálykirándulás folyamán 7 olyan nap volt, amikor délel?tt vagy délután esett az es?. Ha egy nap délel?tt esett, akkor utána délután már nem volt es?. Összesen 5 es?tlen délel?tt és 6 es?tlen délután volt. Hány napig tartott a kirándulás?
  (A) 7
  (B) 8
  (C) 9
  (D) 10
  (E) 11

Helyes válasz: C

Indoklás: Számoljuk össze a fél napokat (azaz a délel?ttöket és a délutánokat): 7 es?s és 5+6=11 es?tlen fél nap volt, ez összesen 18 fél nap, vagyis 9 napig tartott a kirándulás. (Ezen belül 4-szer esett délel?tt, 3-szor délután, 2 nap pedig es? nélkül telt.)


5. feladat. Az 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10 kifejezésbe alkalmasan zárójeleket írva különböz? végeredményeket kaphatunk. Az 1 és 10 közötti egész számok közül hány állhat el? ilyen módon?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 4

Helyes válasz: B

Indoklás: A kifejezésben elhelyezett zárójelek csak azt befolyásolják, hogy a kapott tört számlálójában vagy nevez?jében szerepeljenek az 1,2,\ldots,10 számok mint szorzótényez?k. Mivel 7-es prímtényez? csak egy számban, a 7-ben fordul el?, így vagy a számláló, vagy a nevez? biztosan fog tartalmazni egy 7-es szorzót az egyszer?sítések után is. Emiatt a 7-en kívül más 1 és 10 közötti egész szám nem lehet a végeredmény. A 7 pedig megvalósítható a következ? módon:

1:2:3:4:5:(6:7:8:9:10)=\frac1{2\cdot3\cdot4\cdot5} : \frac6{7\cdot8\cdot9\cdot10} = \frac1{2\cdot3\cdot4\cdot5} \cdot \frac{7\cdot8\cdot9\cdot10}6 = 7.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley