KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Határozzuk meg az ABC háromszög legnagyobb szögét, ha tudjuk, hogy AB=BC, és az AT magasság az AH szögfelez? hosszának a fele.
  (A) 120°
  (B) 130°
  (C) 135°
  (D) 140°
  (E) 150°

Helyes válasz: D

Indoklás: ATH\angle=90° és AH=2.AT, vagyis az ATH derékszög? háromszög egyik befogója fele az átfogónak, azaz TAH\angle=60° és THA\angle=30°. AB=BC miatt BAC\angle=BCA\angle=\alpha. Ekkora BAH \angle = \frac{\alpha}{2}, és ABC\angle=180°-2\alpha. Az ABH háromszögben \frac{\alpha}{2} + 180° - 2\alpha + 30° = 180°, azaz 180° -
\frac32 \alpha = 150°, \alpha=20°. Tehát a háromszög szögei 20°,20°,140°, azaz a legnagyobb 140°.


2. feladat. A Bergengóc parlament 100 képvisel?je 10 sorban és 10 oszlopban foglal helyet. Semelyik két képvisel?nek nem azonos a fizetése. Egy napon mindegyikük megkérdezi a szomszédait (a maga el?tt, mögött, mellett ül?ket, és az átlós szomszédokat, azaz legfeljebb 8-at), hogy mennyit keresnek. A bergengóc képvisel?k sajnos nagyon irigyek, ezért csak akkor elégedettek a fizetésükkel, ha a megkérdezett szomszédok közül legfeljebb csak egy keres náluk jobban. Legfeljebb hány olyan képvisel? ül a parlamentben, aki elégedett a fizetésével?
  (A) 10
  (B) 15
  (C) 25
  (D) 35
  (E) 50

Helyes válasz: E

Indoklás: Gondoljunk a parlament székeire úgy, mint egy 10×10-es táblázatra, és osszuk ezt fel 2×2-es négyzetekre, amelyekb?l 100/4=25 darab van összesen. Egy ilyen kis négyzetben mindenki mindenkinek a szomszédja. Válasszuk ki minden ilyenben a két legtöbbet keres? képvisel?t. A másik kett?nek ezek szomszédai, ezért náluk legalább két szomszédjuk többet keres, ezért nem lehetnek elégedettek. Azaz egy négyzetben legfeljebb 2 elégedett képvisel? foglal helyet, az egész parlamentben pedig legfeljebb 25.2=50. A következ? táblázat pedig mutatja, hogy ez lehetséges is.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


3. feladat. Egy hatjegy? szám els? számjegye 1-es. Ha ezt a számjegyet áttesszük a szám végére, akkor egy 3-szor akkora számot kapunk. Mekkora a szám számjegyeinek az összege?
  (A) 23
  (B) 27
  (C) 29
  (D) 34
  (E) 35

Helyes válasz: B

Indoklás: Legyen a szám els? jegyét elhagyva kapott ötjegy? szám a. Ekkor az eredeti szám 105+a. Ha az 1-est a szám végére írjuk, a kapott új szám 10a+1. Ezzel felírhatjuk a következ? egyenl?séget:

3.(105+a)=10a+1.

Azaz 300000+3a=10a+1, 299999=7a, a = \frac{299 999}{7}, a=42857. Tehát az eredeti szám a 142857, amelyben a számjegyek összege 27.


4. feladat. Egy körön szeretnénk elhelyezni 8 számot úgy, hogy mindegyik egyenl? legyen az óra járása szerint utána következ? három szám összegével. Hány megoldás lehetséges?
  (A) 1
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 7
  (E) végtelen sok

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen a 8 szám összege S. Válasszunk ki két számot úgy, hogy minden irányban 3 szám legyen közöttük. Vegyük a kiválasztott két szám után az óra járásával megegyez? irányban következ? 3-3 számot. Ezek összege megegyezik az el?ttük lév? két számmal, ezért ha azok x és y, akkor e számok összege is x, y. Ezek szerint a körön található 8 szám összege S=2x+2y, így \frac{S}{2} = x+y. Ezzel bármelyik két szemben lév? szám összege \frac{S}{2}, továbbá négy ilyen szemközti pár van, ezért 4 \cdot \frac{S}{2} = S, 2S=S. Emiatt pedig S=0. Ebb?l az is következik, hogy két szemben lév? szám egymás ellentettje, ugyanis összegük 0.

Most vegyük x-et és az el?tte lév? három számot, melyek összegér?l láttuk, hogy y. Ezzel ezen négy szám összege x+y=0, és ez tetsz?leges egymást követ? négy számra igaz. Ha kiválasztunk 5 egymást követ? számot, ebben a három középs? és a két széls? két szomszédos négyest alkot, ezek összege pedig egyenl?, így a két széls? szám is egyenl?. Ezek egymással szemben vannak, így egymás ellentettjei, ezért mindkett? szám 0. Ez ugyanígy igaz bármelyik szemközti párra. Tehát az egyetlen megoldás, ha mind a nyolc szám a körön 0.


5. feladat. Hat focicsapat körmérk?zéses tornán vett részt. Mindenki játszott mindenkivel, és a bajnokság végére az egyes csapatok 12,10,9,8,7 és 6 pontot gy?jtöttek össze. Hány pont járt a gy?zelemért, ha a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ért?
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 4,5
  (E) 5

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelölje x a gy?zelemért járó pontszámot, n pedig a döntetlenre végz?dött mérk?zések számát. Nyilván x>2, ugyanis ha x\leq2 lenne, akkor az 5 mérk?zésen legfeljebb 10 pontot gy?jthetett volna egy csapat, de a legeredményesebbnek 12 pontja van.

A hat csapat összesen \frac{6\cdot 5}{2} = 15 mérk?zést játszott. A döntetleneken a két csapat összesen 2, a többin pedig x pontot kapott. Így a bajnokság alatt az összes kapott pontok száma:

2n+(15-n)x=12+10+9+8+7+6=52

2n+15x-n.x=52

15x+n(2-x)=52

n= \frac{52-15x}{2-x}.

x>2 miatt 2-x negatív, ezért 52-15x\leq0, azaz 52\leq15x, ugyanis n egy természetes szám. Így x \geq \frac{52}{15} > 3. Ha valaki nem nyert volna egyik mérk?zésen se, akkor legfeljebb 5 pontja lehetne, de mindenkinek több van ennél, így mindenki nyert legalább egyet. Ha az utolsó csapat legalább két meccset nyert volna meg, akkor viszont 6-nál több pontja lenne, tehát pontosan egyet nyert. Döntetleneinek számát y-nal jelölve a végs? pontszáma 6=x+y. Mivel y egész szám, ezért x is az, továbbá 3<x\leq6, tehát x csak 4,5 vagy 6 lehet. Ezeket a fenti n = \frac{52-15x}{2-x}-be behelyettesítve csak x=4 esetén kapunk egész számot, minden más esetben törtet, ami lehetetlen. Tehát x csak 4 lehet.

Ezzel meg is valósítható a feladatban leírt eredmény. Pl.:

A B C D E F
A
B +
C + +
D + + +
E - 0 0 +
F - 0 + + 0

(Jelölés: +, ha az oszlophoz tartozó csapat nyert, -, ha vesztett, és döntetlen esetén 0)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley