KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Legyen ABC egy egyenl? oldalú háromszög, továbbá A tükörképe C-re B1, B képe A-ra C1, C tükörképe B-re A1. Milyen arányban osztja ketté az AB oldal egyenese az A1B1 oldalt?
  (A) 1:1
  (B) 1:2
  (C) 1:3
  (D) 2:3
  (E) 4:5

Helyes válasz: B

Indoklás: Messe az A1B1 egyenest AB a K pontban, és legyen B tükörképe C-re D. Ekkor B1D párhuzamos AB-vel, hiszen B1D az AB tükörképe C-re, másrészt B harmadolja az A1D szakaszt, ezért K is harmadolja A1B1-et, tehát A1K:KB1=1:2.

Megj.: nem használtuk ki, hogy a háromszög szabályos, tehát ez tetsz?leges háromszögre érvényes.


2. feladat. Egy autóbusznak egy útján 322,5 kg/utas volt a kihasználtsági aránya, vagyis az üres kocsi tömegéb?l ennyi esett egy utasra. Visszafelé jövet 18-cal több utas indult a busszal, az arány javult, 187,5 kg/utas lett. Mennyi lesz az arány, ha még hét utas száll fel, és így minden fér?hely foglalt lesz?
  (A) 128,50 kg/utas
  (B) 137,50 kg/utas
  (C) 153,25 kg/utas
  (D) 161,25 kg/utas
  (E) 168,50 kg/utas

Helyes válasz: D

Indoklás: Az üres kocsi tömegét M-mel, az utasok kezdeti számát x-szel jelölve M=322,5x=187,5.(x+18). Innen x=25 és M=8062,5 kg. Miután még 7 utas felszállt, az autóbuszban 50 utas lett - ennyi tehát a megengedett utaslétszám - és a kihasználtsági arány 8062,5/50=161,25 kg/utas lett.


3. feladat. Egy csupa különböz? jegyb?l álló ötjegy? számot megszorzunk 4-gyel. Így egy olyan ötjegy? számot kapunk, amit ugyanezek a számjegyek alkotnak, csak éppen fordított sorrendben. Mi lehet az eredeti számban az ezres helyiértéken álló számjegy?
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 4
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: A

Indoklás: Legyen az ötjegy? számunk \overline{abcde}, tehát keressük b-t. Tudjuk, hogy \overline{abcde} \cdot 4 = \overline{edcba}, ami pedig páros szám, ezért a páros számjegy. \overline{edcba} <
100000, így \overline{abcde} < 25000, amib?l következik, hogy a=2, hiszen 0 nem lehet. \overline{abcde} > 20 000, amib?l \overline{edcba} > 80 000, ezért e\geq8, de 9.4=36 nem 2-re végz?dik, míg 8.4=32 igen, azaz e=8. \overline{edcba} <
90 000, innen \overline{abcde} < 22500, ezzel b\leq2. Mivel \overline{edcba} osztható 4-gyel, \overline{ba} is osztható 4-gyel, és mivel 2, 12, 22 közül csak 12 osztható 4-gyel, ezért b=1.


4. feladat. Egy sorozat els? eleme 439, és a következ? tagot mindig úgy kapjuk, hogy az el?z? számjegyeinek összegét megszorozzuk 13-mal. Mi lesz a sorozat 99. eleme?
  (A) 104
  (B) 130
  (C) 195
  (D) 234
  (E) 286

Helyes válasz: B

Indoklás: Ha kiszámítjuk a sorozat els? néhány tagját, a következ?ket kapjuk: 439, 208, 130, 52, 91, 130 \ldots. A szabályból és az el?bbi elemek alapján nyilvánvaló, hogy a 3., 4. és 5. tag felváltva ismétl?d?en követik egymást. Ezzel azt is láthatjuk, hogy minden 3-mal osztható sorszámú helyre (a 439 az 1. helyen áll) a 130 kerül, a 99 pedig 3-mal osztható.


5. feladat. Keressük meg a legkisebb olyan természetes számot, amely 2,3,
\ldots, 10 számokkal osztva mindig legalább fele akkora maradékot ad, mint az osztó. Mennyi lesz ebben a számban a számjegyek összege?
  (A) 12
  (B) 15
  (C) 19
  (D) 21
  (E) 23

Helyes válasz: E

Indoklás: 2-vel, illetve 3-mal osztva nyilvánvalóan 1, illetve 2 maradékot adhat, más lehet?ség nem lévén. 4-gyel osztva 2-t nem adhat, hiszen nem páros, ezért marad a 3. A 2-vel és 3-mal való oszthatóságból következik, hogy a 6-os osztási maradéka 5, hiszen 3 nem lehet, különben 3-mal osztható lenne, 4 pedig azért nem, mert akkor páros lenne. Ha 8-cal osztjuk, akkor a 4 és a 6 a páratlanság miatt kizárt, az 5 azért, mert akkor 4-gyel osztva 1 maradékot adna, így marad a 7.

5-tel osztva a szám vagy 3, vagy 4 maradékot adhat. Emiatt 10-zel osztva nem adhat 5-öt, a párosság miatt pedig 6-ot vagy 8-at, így marad a 7 vagy a 9. Viszont ha 10-zel osztva 7-et adna, akkor 5-tel osztva 2-t, ami lehetetlen, ezért 9-et ad. Ebb?l következ?en pedig 5-tel osztva 4-et ad.

A fentieket egybevetve a szám 23.3.5.k-1=120.k-1 alakú, ahol k egész szám. Még meg kell találnunk a legkisebb ilyen k-t, amivel a szám teljesíti a 7-tel és 9-cel való osztási kritériumokat. k=1,2,3,4,5 stb. mellett 7 osztási maradékai 0,1,2,3,4 stb., 9-é pedig 2,5,8,2,5 stb. Ezekb?l megállapíthatjuk, hogy - mivel a 7-tel való osztási maradék legalább 4, a 9-cel való pedig 5, - a legkisebb ilyen k az 5. Tehát a szám 120.5-1=599, amiben a számjegyek összege 23.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley