KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Hány különböz?, természetes számokból álló (x,y,z) számhármas létezik, amelyre teljesül 3x+4y=5z? (Hangsúlyozzuk, hogy a különböz?ség nem az egy számhármason belüli x,y,z-kre vonatkozik, hanem két számhármas különböz?ségére. Továbbá 0-t természetes számnak vesszük.)
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: B

Indoklás: Ha x pozitív egész, akkor 3x osztható 3-mal, 4y pedig 3-mal osztva mindig 1 maradékot ad. Emiatt 5z-nek is 1 maradékot kell adnia 3-mal osztva, amib?l következik z párossága, tehát z=2t, ahol t természetes szám. Átrendezve a 3x+4y=5z=52t összefüggést 3x=52t-22y=(5t-2y)(5t+2y). Itt a jobb oldal mindkét tényez?je egész, a bal oldal pedig 3 hatványa, ezért a jobb oldal mindkét tagja a 3 egy-egy pozitív egész kitev?s hatványa. Ha y=0 volna, akkor 5t-2y=5t-1 osztható lenne 4-gyel, így nem lehetne 3x osztója. Most megmutatjuk, hogy y\geq1 esetén 5t-2y és 5t+2y relatív prímek. Mindkét szám páratlan, tehát legnagyobb közös osztójuk d is az, ami pedig osztja a különbségüket, (5t+2y)-(5t-2y)=2y+1-et, ami csak d=1 esetén lehetséges.

Két relatív prím szám szorzata csak úgy lehet 3x, ha az egyik 1, a másik pedig 3x, azaz 5t-2y=1 és 5t+2y=3x. Az 5t-1=2y alakból látjuk, hogy t nem lehet páros, mert ekkor a bal oldal osztható lenne 52-1=24-gyel, s így 3-mal. Ha viszont t páratlan, akkor 5t-5=5(5t-1-1) osztható 24-gyel, ezért 5t-1=(5t-5)+4 8-cal osztva 4 maradékot ad. Tehát csak az 5t-1=4, vagyis t=1, z=2t=2, y=2 és 5t+2y=3x alapján x=2 lehetséges.

Egyedül azt nem néztük még, hogy mi lesz x=0 esetén. Ekkor 5z=4y+1=22y+1. Az el?bb láttuk, hogy ennek a nemnegatív egészeken egyetlen megoldása y=z=1.

Tehát a feladat feltételeinek két számhármas felel meg, egyrészt a (2,2,2), másrészt a (0,1,1).


2. feladat. Hány olyan pozitív egészekb?l álló (100,k) számpár létezik (k\leq100), amelyre a 100×100-as sakktábla mez?ibe lehet számokat írni úgy, hogy a beírt számok összege pozitív, de bármely k×k-as összefügg? résztáblázatban a számok összege negatív?
  (A) 68
  (B) 71
  (C) 78
  (D) 85
  (E) 91

Helyes válasz: E

Indoklás: Általánosabban kezelve a feladatot, keressük az ilyen (n,k) számpárokat. Ha k osztója n-nek (speciálisan ha k=n), akkor az n×n-es tábla lefedhet? k×k-as résztáblákkal úgy, hogy minden mez? pontosan egyszer legyen lefedve. Ha így minden k×k-as résztáblán a számok összege negatív lenne, akkor az egész táblázatban is negatív a számok összege, pedig pozitívnak kellene lennie. Ezért így nem lehetséges a kitöltés.

Amennyiben k nem osztója n-nek, nézzük az n=qk+r felírást, ahol q és r természetes számok, 0<r<k, továbbá legyen p olyan pozitív szám, amelyre k-1 < p < \frac{n}{q} - 1. Ilyen szám mindig van, hiszen k = \frac{n-r}{q} < \frac{n}{q}. Az n×n-es táblázat k-adik, 2k-adik, \ldots, qk-adik oszlopában minden mez?be írjunk (-p)-t, a többi mez?be pedig 1-et. A táblázat minden sora egyforma, így a beírt számok összege n(n-q) + nq \cdot
(-p) = nq (\frac{n}{q} - 1 - p) > 0, p választása miatt. Másrészt bármely k×k-as összefügg? résztáblázatban pontosan egy oszlopban áll (-p), a többiben 1-ek, vagyis a számok összege k(k-1)+k(-p)=k(k-1-p)<0. Ezek szerint ez a kitöltés teljesíti a feladat feltételeit, azaz arra jutottunk, hogy tetsz?leges (n,k) számpár megfelel?, amelyben k nem osztója n-nek. A konkrét n=100 esetén 100-3.3=91-féle lehet k.


3. feladat. Az alábbiak közül mennyi lehet azon n szám számjegyeinek összege, amelyre az 1 \cdot
2 \cdot \ldots \cdot n = n! szorzat 2008 darab 0-ra végz?dik?
  (A) 14
  (B) 16
  (C) 19
  (D) 22
  (E) 25

Helyes válasz: C

Indoklás: Egy szám pontosan akkor végz?dik N=2008 db nullára, ha törzstényez?s felbontásában a 2 és az 5 kitev?je közül a kisebbik N. Mivel az egész számok között a párosak gyakoribbak, mint az 5-tel oszthatóak, ezért várhatóan csak olyan megoldás létezik, amelyben az 5 kitev?je a kisebb. Az n! törzstényez?s alakjában jelölje K(n) az 5 kitev?jét. Olyan n-et keresünk, amelyre K(n)=N. Nyilvánvaló, hogy m>n-re K(m)\geqK(n), hiszen m! osztható n!-sal. Mivel az els? N öttel osztható szám között öt magasabb hatványai is szerepelnek, az N kitev? eléréséhez nincs szükség az els? N 5-tel osztható számra, azaz n<5N.

Jelöljük az n-nél nem nagyobb (pozitív egész), 5-tel osztható, de 25-tel nem osztható számok számát a(n)-nel. Hasonlóan az n-nél nagyobb, 25-tel osztható, de 125-tel nem osztható számok számát b(n)-nel, a pontosan 125-tel oszthatókét c(n)-nel, a 625-tel oszthatókét d(n)-nel, a pontosan 3125-tel oszhatókét pedig e(n)-nel. Mivel n<5N<5.3125, ezért az 5 hatodik hatványával osztható szám már nem fordulhat el? az els? n szám között. Általában is, az 5k-val osztható, de 5k+1-gyel nem osztható számok n!-ban k-val növelik, emiatt

K(n)=a(n)+2b(n)+3c(n)+4d(n)+5e(n)=A(n)+B(n)+C(n)+D(n)+E(n),

ahol A(n),B(n),C(n),D(n),E(n) az n-nél nem nagyobb, legalább 5-tel, 25-tel, 125-tel, 625-tel, 3125-tel osztható számok számát jelöli, azaz

A(n)=a(n)+b(n)+c(n)+d(n)+e(n)

B(n)=b(n)+c(n)+d(n)+e(n)

C(n)=c(n)+d(n)+e(n)

D(n)=d(n)+e(n)

E(n)=e(n).

Ha n=5N, akkor A(n)=N=2008 (esetünkben), B(n)=401, C(n)=80, D(n)=16, E(n)=3. Tehát K(n)=2008+500=N+500.

Ha ezzel az 500-zal csökkentjük N-et, az várhatóan sok lesz, hiszen közben nemcsak A(n), hanem B(n),C(n),D(n),E(n) is csökken. Valóban,

K(5.1508)=1508+301+60+12+2=1883=N-125.

Ezt a 125-öt adjuk most 1508-hoz:

K(5.1633)=1633+326+65+13+2=2039=N+31,

hasonlóan tovább számolva

K(5.1602)=1602+320+64+12+2=2000=N-8

K(5.1610)=1610+322+64+12+2=2010=N+2

K(5.1608)=1608+321+64+12+2=2007=2008-1

K(5.1609)=1609+321+64+12+2=2008

Tehát n=8045 mellett K(n)=N, és nyilván ugyancsak N az értéke K(n)-nek n=8046,8047,8048,8049 esetén is. Emellett n! törzstényez?s felbontásában a 2 kitev?je nagyobb az 5 kitev?jénél, azaz nagyobb N-nél. Azt is láttuk, hogy n<8045 mellett K(n)<N, n\geq8050 mellett pedig K(n)>N, tehát csak a felsorolt öt szám lehet a tényez?k száma, ha a szorzat 2008 darab nullára végz?dik.

Ezek közül egyedül 8047 számjegyeinek összege, 19 szerepel a válaszlehet?ségek között.


4. feladat. Legyen az a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_{2009} nemnegatív számok összege 1, továbbá 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 \ldots + 2009
\cdot a_{2009} = b, és 1^2 a_1
+ 2^2 a_2 + 3^2 a_3 + \ldots + 2009^2 a_{2009} = c. Ha c=b2, akkor az alábbiak közül mennyi lehet b értéke?
  (A) 1
  (B) 1,5
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 2009

Helyes válasz: A

Indoklás: A feltételek alapján

0=c \cdot 1 - b^2 = ( \sum
\limits_{i=1}^{2009} i^2 a_i )( \sum \limits_{i=1}^{2009} a_i ) - (
\sum \limits_{i=1}^{2009} i a_i )^2,

ahonnan a m?veletek elvégzése után kapjuk, hogy

0 = \sum \limits_{i=1}^{2009 - 1} \sum
\limits_{j=i+1}^{2009} (i^2 -2ij + j^2) a_i a_j.

A jobb oldalon nemnegatív értékek állnak a szummában, így ezek összege csak akkor lehet 0, ha minden tag külön-külön 0. Ez pedig azt jelenti, hogy minden 1\leqi<j\leq2009 párra aiaj=0, vagyis az a_1,
a_2 , \ldots , a_{2009} számok közül legalább 2008 db nullával egyenl?. A 2009. érték a_1 + \ldots + a_{2009} = 1 alapján 1, ami a csökken? sorrendben való felsorolás miatt csak a1 lehet. Ekkor b=1.1=1.

Megj.: Érdemes belegondolni a feladat valószín?ségelméleti vonatkozásába.


5. feladat. Oldjuk meg a következ? egyenletrendszert a [-\pi,\pi] intervallumon:

cos x+cos y=cos (x+y)

sin x+sin y=sin (x+y).

Mennyi lesz |x-y|?
  (A) \frac{\pi}{3}
  (B) \frac{2\pi}{3}
  (C) \frac{4\pi}{3}
  (D) \frac{3\pi}{2}
  (E) \frac{\pi}{2}

Helyes válasz: B

Indoklás: Vezessük be az u = \frac{x+y}{2}, v= \frac{x-y}{2} jelöléseket. Ezekkel x=u+v, y=u-v, és az egyenletrendszer a következ?képpen alakul:

(1)   2cos ucos v=2cos2u-1

(2)   2sin ucos v=2sin ucos u

(1) alapján cos u\neqcos v, hiszen 2cos2u\neq2cos2u-1, így (2) pontosan akkor teljesül, ha sin u=0, azaz u=k\pi valamely k egész számmal. Ekkor cos u=(-1)k, és (1)-b?l \cos v =
\frac{(-1)^k}{2}, azaz v = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi + 2l\pi, ahol l egész szám. Az (1) és (2) egyenleteket pontosan ezek az u,v számok elégítik ki, így az eredeti egyenletrendszer megoldásai

x =
u + v = \pm \frac{\pi}{3} + 2(k+l)\pi, ~~~ y = u - v = \mp
\frac{\pi}{3} + 2l\pi

k,l tetsz?leges egészekre. A feladat kikötése szerint x és y a [-\pi,\pi] intervallumon van, ezért a megoldás x=\pm \frac{\pi}{3} és y= \mp \frac{\pi}{3}. Innen pedig |x-y| = \frac{2\pi}{3}.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley