KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 1-6 osztály

1. feladat. Áron megkérte Bencét, hogy írjon le egy lapra néhány (nem feltétlenül különböz?) pozitív egész számot. Ezt követ?en azt mondta Bencének: "Tudom, hogy a leírt számok közül biztosan kiválasztható három, amelyek összege 3-mal osztható." Legalább hány számot kellett Bencének a lapra írnia ahhoz, hogy Áronnak biztosan igaza legyen?
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 6-nál több

Helyes válasz: C

Indoklás: Ha Áron csak 4 számot kért volna, Bence még tudott volna 4 olyan számot írni a lapra, amelyekre nem teljesül az állítás, például 1,1,2,2.

5 szám felírása esetén azonban már biztosan teljesül az állítás. Osszuk a leírt számokat három csoportba aszerint, hogy mennyi maradékot adnak 3-mal osztva! A 3-mal oszthatókat színezzük zöldre, a 3-mal osztva 1 maradékot adókat kékre, a 3-mal osztva 2 maradékot adókat pirosra. Ekkor ha valamelyik szín háromszor is el?fordul, e három szám összege biztosan 3-mal osztható (például 3+9+12 vagy 5+8+11). Ha pedig mindhárom szín? szám szerepel a lapon, akkor mindegyikb?l egy-egy számot kiválasztva, ezek összege is mindig 3-mal osztható lesz (például 3+4+5). Vagyis ahhoz, hogy ne teljesüljön az állítás, nem szerepelhet mindhárom szín, és egy szín legfeljebb 2-szer fordulhat el?. Ilyen módon pedig legfeljebb 4 szám választható ki.


2. feladat. Janka egy m?veletsor eredményét kiszámolva 250-et kapott. Kés?bb Marci figyelmeztette, hogy az utolsó m?veletben 5-tel szorzott az 5-tel való osztás helyett, az utolsó el?tti m?veletben pedig a -5 kivonása helyett -5-öt hozzáadott. Mi lett volna a helyes végeredmény?
  (A) 12
  (B) 20
  (C) 45
  (D) 55
  (E) 120

Helyes válasz: A

Indoklás: Gondolkodjunk visszafelé. A 250-et egy 5-tel szorzással kaptuk, így el?tte az 50-nél tartottunk, ezt pedig úgy kaptuk, hogy egy számhoz -5-öt adtunk. Vagyis az utolsó két m?velet el?tti szám az 55 volt. Ebb?l -5-öt kivonva 60-at kapunk, ezt 5-tel osztva pedig 12 a helyes végeredmény.


3. feladat. Egy 33 f?s osztály tanulói közül minden nap 22-en úsznak és 22-en fociznak. Mindenki minden nap részt vesz legalább az egyik edzésen. Azok közül, akik ma fociztak, tegnap 15-en úsztak és 15-en fociztak, és ugyanez a helyzet azoknál is, akik ma úsztak. Hány olyan diák van, aki mindkét nap csak úszott?
  (A) 0
  (B) 2
  (C) 4
  (D) 8
  (E) 14

Helyes válasz: C

Indoklás: Számoljuk össze, hogy a két nap alatt összesen hány gyerek focizott. Ma 22-en fociztak, közülük 15-en tegnap is. De tegnap is 22-en fociztak, így közülük 7-en azok közül kerültek ki, akik ma úsztak. Tehát a két nap alatt összesen 22+7=29 olyan gyerek volt, aki legalább egyszer focizott. Így a maradék 33-29=4 gyerek mindkét nap úszott.


4. feladat. Anna, Bori, Dóri, Kinga és Orsi olyan játékot játszanak, amelyben minden játékos vagy béka, vagy kenguru. A békák állításai mindig hamisak, ezzel szemben a kenguruk mindig igazat mondanak. A következ?ket tudjuk:

(1) Anna azt mondja, hogy Bori kenguru.

(2) Dóri azt mondja, hogy Kinga béka.

(3) Orsi azt mondja, hogy Anna nem béka.

(4) Bori azt mondja, hogy Dóri nem kenguru.

(5) Kinga azt mondja, hogy Anna és Orsi különböz? fajtájú állatok a játékban.

Hányan játszanak békát az öt lány közül?
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: D

Indoklás: Vizsgáljuk el?ször azt az esetet, amikor Anna kenguru. Ekkor (1) miatt Bori is az, tehát (4) alapján Dóri béka, és így (2)-b?l adódóan Kinga kenguru. Tehát az (5) szerint Orsi béka, de ekkor ? nem mondhat igazat, tehát (3)-ból az következne, hogy Anna béka. Ez ellentmondás, tehát ebben az esetben nem kapunk megoldást.

Vagyis Anna biztosan béka. Ekkor (1) miatt Bori is béka, tehát (4) alapján Dóri kenguru, és így (2) alapján Kinga béka. Ekkor az (5) állítás nem igaz, vagyis Orsi is béka, és így a (3) állítás is azt mondja, hogy Anna béka. Tehát csak Dóri kenguru, a többi négy lány békát játszik.


5. feladat. Mátéék osztálytermében 5 különböz? lámpa található, ezek mindegyikéhez külön-külön kapcsoló tartozik. Az osztály kitalálta, hogy minden nap máshogy égjenek a lámpák, azaz ne legyen két olyan nap, amikor pontosan ugyanazok a lámpák vannak felkapcsolva. Osztályf?nökük azt az egy kikötést tette, hogy egyik nap se tanuljanak sötétben, vagyis minden nap égjen legalább egy lámpa. Legfeljebb hány napig tudják megvalósítani terveiket?
  (A) 9
  (B) 15
  (C) 30
  (D) 31
  (E) 32

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha pontosan egy lámpát akarnak égetni, azt 5-féleképpen tehetik meg. Pontosan két lámpára 10 lehet?ségük van, ugyanennyiféle módon égethet? pontosan 3 lámpa is. Pontosan négy lámpát ismét 5-féle módon választhatnak, végül további 1 esetnek számít, ha az összes lámpa fel van kapcsolva. Ez összesen 31 lehet?ség.

Másik megoldás: minden lekapcsolt lámpának feleltessünk meg egy 0-t, minden felkapcsolt lámpának egy 1-est. Ekkor a lámpák állapota leírható egy 5 hosszúságú 0-1 sorozattal. Ezekb?l összesen 2.2.2.2.2=32-féle van, de a 00000 most nem megengedett (ekkor egy lámpa se égne), vagyis összesen 31 jó sorozat van.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley