KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Hány darab 9-esre végz?dik az A=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ldots+2009\cdot2009! kifejezés?
  (A) 1
  (B) 9
  (C) 99
  (D) 499
  (E) 501

Helyes válasz: E

Indoklás: Vegyük észre, hogy A+1=1+1!+2\cdot2!+\ldots=2+2\cdot2!+3\cdot3!+\ldots=3!+3\cdot3!+4\cdot4!+\ldots=4!+4\cdot4!+5\cdot5!+\ldots=2010!, vagyis A=2010!-1. Ez pedig annyi 9-esre fog végz?dni, ahány 0-ra a 2010! végz?dik.

Egy szám végén úgy kaphatunk 0-kat, ha a szám prímtényez?s felbontásában szerepelnek 2-esek és 5-ösök. Mivel 2010! prímfelbontásában több 2-es szerepel, mint 5-ös, így elég az 5 kitev?jét meghatározni, ez adja majd a szám végén lév? nullák számát. 1-t?l 2010-ig minden 5. szám osztható 5-tel, minden 25. szám 52=25-tel, minden 125. szám 53=125-tel, illetve minden 625. szám 54=625-tel. Így 2010!-ban összesen \frac{2010}5 + \left[\frac{2010}{25}\right] + \left[\frac{2010}{125}\right] + \left[\frac{2010}{625}\right] = 402+80+16+3=501 darab 5-ös prímtényez? szerepel. Vagyis A=2010!-1 pontosan 501 darab 9-esre fog végz?dni.


2. feladat. Mennyi az \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \ldots}}}} végtelen lánctört értéke?
  (A) \frac{\sqrt{6}-1}{3}
  (B) 0,8
  (C) \frac{\sqrt{5}}{3}
  (D) \frac{\sqrt{5}-1}{2}
  (E) \frac58

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a végtelen lánctört értéke u, és u_0 = \frac11, u_1 = \frac{1}{1+u_0}, u_2 = \frac{1}{1+u_1}, \ldots , u_n = \frac{1}{1+u_{n-1}}, \ldots közelít? törtek. Könnyen belátható, hogy n értéke minél nagyobb, annál pontosabban közelíti a valódi u-t un, továbbá un-1 és un ugyanahhoz az értékhez lesznek egyre közelebb, ha n értékét egyre nagyobbnak választjuk. Ez egybevetve az u_n = \frac{1}{1+u_{n-1}} összefüggéssel u = \frac{1}{1+u}, azaz u2+u-1=0. Ennek egyetlen pozitív gyöke \frac{\sqrt{5}-1}{2}.


3. feladat. Az \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ellipszishez a P(c,b) pontból érint?ket húzunk. Adjuk meg azon háromszög területét, amelynek csúcsai a P pont és az érintési pontok!
  (A) \frac{bc^3}{b^2 + c^2}
  (B) \frac{ac^3}{a^2 + b^2}
  (C) \frac{ab^3}{b^2 + c^2}
  (D) \frac{bc^3}{a^2 + c^2}
  (E) \frac{ac^3}{b^2 + c^2}

Helyes válasz: D

Indoklás: Az ellipszis (p,q) pontjában húzott érint? egyenlete

\frac{p x}{a^2} + \frac{q y}{b^2} = 1.

Ezen érint? keresztül megy a P(c,b) ponton, ha

\frac{p c}{a^2} + \frac{q b}{b^2} = 1 ~~~~~ (*)

Ez a (*) egyenes érinti az ellipszist a (p,q) pontban, ha még

\frac{p^2}{a^2} + \frac{q^2}{b^2} = 1 ~~~~~ (**)

Eszerint a (c,b) pontból húzott érint? és az ellipszis közös pontjainak koordinátái kielégítik a (*),(**) egyenleteket. Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert a (p,q) párra nézve: q = \frac{b}{a^2} (a^2 - cp), ezt behelyettesítve (**)-ba \frac{p^2}{a^2} + \frac{b^2}{a^4 b^2} (a^2 - cp)^2 = 1. Rendezve kapjuk, hogy

(a2+c2)p2-2a2cp=0,

és ennek gyökei p_1 = 0, p_2 = \frac{2a^2 c}{a^2 + c^2}, így q_1 = b, q_2 = \frac{b(a^2 - c^2)}{a^2 + c^2}.

Tehát a P(c,b) pontból az ellipszishez húzott érint? egyik érintési pontja nem meglep? módon a (0,b) pont, a másik pedig a ( \frac{2a^2 c}{a^2 + c^2}; \frac{b(a^2 - c^2)}{a^2 + c^2} ).

Ezzel megkaptuk a háromszög csúcsainak koordinátáit. Amire szükségünk van ez alapján, a háromszög területe. Ezt többféle módon kiszámíthatjuk, most egy középiskolában kevésbé ismert, de egyszer? módszert ismertetünk: egy (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) koordinátákkal leírt háromszög területe T = \frac12 |( x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + x_3 y_1 - x_1 y_3 )|. Ez a mi esetünkben a \frac{bc^3}{a^2 + c^2} eredményre vezet.


4. feladat. Hány 0\leqx,y\leq2\pi megoldása van a 2-cos2x+2-sin2x=sin y+cos y egyenletnek?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 4
  (E) más válasz

Helyes válasz: D

Indoklás: Megmutatjuk, hogy bármely valós x,y-ra 2^{-\cos^2 x} + 2^{-\sin^2 x} \geq \sqrt2 \geq \sin y+\cos y.

Mivel 2-cos2x>0 és 2-sin2x>0, ezért a számtani és mértani közép közötti egyenl?tlenséget, valamint a sin2x+cos2x=1 összefüggést felhasználva kapjuk, hogy \frac{2^{-\cos^2 x} + 2^{-\sin^2 x}}2 \geq \sqrt{2^{-\cos^2 x-\sin^2 x}}=\sqrt {\frac12}, amelyb?l a bizonyítandó egyenl?tlenség els? fele már következik.

Továbbá a számtani és a négyzetes közép közötti egyenl?tlenség alapján \frac{\sin y+\cos y}2\leq \frac{|\sin y|+|\cos y|}2\leq \sqrt{\frac{\sin^2 y+\cos^2 y}2}=\sqrt{\frac12}, amelyb?l az egyenl?tlenség második fele is következik.

Tehát az eredeti egyenlet csak akkor teljesülhet, ha 2^{-\cos^2 x} + 2^{-\sin^2 x} =\sqrt2, azaz a számtani-mértani becslésben egyenl?ség áll, vagyis a két tag egyenl?. Ekkor 2-cos2x=2-sin2x, azaz sin2x=cos2x, vagyis x=\frac{\pi}4+k\cdot\frac{\pi}2, ahol k\in\mathcal{Z}.

Továbbá \sqrt2 = \sin y+\cos y csak akkor teljesül egyenl?séggel (a számtani-négyzetes becslés alapján), ha 0<sin y=cos y, azaz y=\frac{\pi}4+l\cdot2\pi, ahol l\in\mathcal{Z}.

Tehát a vizsgált intervallumon a következ? négy (x,y) számpár megoldása az egyenletnek: \left(\frac{\pi}4,\frac{\pi}4\right), ~~ \left(\frac{3\pi}4,\frac{\pi}4\right), ~~ \left(\frac{5\pi}4,\frac{\pi}4\right), ~~ \left(\frac{7\pi}4,\frac{\pi}4\right).


5. feladat. Az a_1, a_2, a_3, \ldots sorozatnak els? két tagja legyen a1=2 és a2=3, továbbá legyen az n-edig tag a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n-2}}, ha n\geq3. n\to\infty esetén mely értékhez tart an?
  (A) 9^{\frac13}
  (B) 18^{\frac13}
  (C) 2\sqrt{3}
  (D) \sqrt2 \cdot 6^{\frac13}
  (E) \sqrt{6}

Helyes válasz: B

Indoklás: Definíció szerint

a_3^2 = a_2 a_1, a_4^2 = a_3 a_2, a_5^2 = a_4 a_3, \ldots a_{n-1}^2 = a_{n-2} a_{n-3}, a_n^2 = a_{n-1} a_{n-2}.

Ebb?l kis átalakítással kapjuk, hogy an-1an2=a1a22, azaz a_n^2 = \frac{a_1 a_2^2}{a_{n-1}}. Ezt a relációt alkalmazzuk n\geq4 egészek esetében:

a42=a1a22a3-1=a1a22(a1a2)-1/2

a52=a1a22a4-1=a1a22.(a1a22)-1/2.(a1a2)1/4,     a5=(a1a22)1/2.(a1a22)-1/4.(a1a2)1/8

a62=a1a22a5-1=a1a22.(a1a22)-1/2.(a1a22)1/4.(a1a2)-1/8=(a1a22)1-1/2+1/4.(a1a2)-1/8

\ldots

a_n^2 = (a_1 a_2^2)^{1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \ldots + \frac{(-1)^{n-4}}{2^{n-4}}} (a_1 a_2)^{\frac{(-1)^{n-3}}{2^{n-3}}} =

a_1^{\frac{2 + (-\frac12)^{n-3}}{3}} \cdot a_2^{\frac{4 - (-\frac12)^{n-3}}{3}}.

n\to\infty esetén a1 kitev?je \frac23 lesz, az a2 kitev?je pedig \frac43. Így an határértéke (a_1 a_2^2)^{\frac13} = 18^{\frac13}.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley