KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 1-6 osztály

1. feladat. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte teljesen egyforma ábra található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. El?ször Balázs és Dávid nézték meg figyelmesen az ábrákat: Balázs 11, Dávid 15 eltérést talált, de csak 7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek. Közben Laci is elkezdte számolni az eltéréseket, de ? sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mindhárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy a Laci által bejelöltekb?l hatot Balázs is, kilencet Dávid is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták. Hány olyan eltérés volt a két ábra között, amelyet a három fiú közül csak egy vett észre?
  (A) 6
  (B) 9
  (C) 11
  (D) 12
  (E) 13

Helyes válasz: B

Indoklás: Készítsünk halmazábrát a megtalált eltérések számáról:

El?ször a három halmaz metszetébe tudjuk beírni a 4-et, ezt követ?en a két-két fiú által megtalált eltérések számát tölthetjük ki, végül megkapjuk azon eltéréseket, amelyeket csak egyikük vett észre, ezek száma 2+3+4=9.


2. feladat. Adél, Sára és Virág kártyáznak. Minden játékban két gy?ztes és egy vesztes van. Megállapodtak abban, hogy a játék során zsetonokat gy?jtenek, és minden körben a vesztes megduplázza a gy?ztesek el?tt lév? zsetonok számát. Az els? játékban Adél, a másodikban Sára, a harmadikban Virág vesztett. A három kör befejezése után mindegyikük 32 zsetonnal zárta a játékot. Adél és Sára közül kinek és mennyivel volt több zsetonja a játék megkezdése el?tt?
  (A) Adélnak, 24 zsetonnal
  (B) Adélnak, 8 zsetonnal
  (C) ugyanannyi zsetonjuk volt
  (D) Sárának, 12 zsetonnal
  (E) Sárának, 24 zsetonnal

Helyes válasz: A

Indoklás: Gondolkozzunk visszafelé! A három lány zsetonjainak összege mindig 96. Az utolsó játék el?tt Adélnak és Sárának 16 zsetonja volt, Virágnak pedig ebb?l adódóan 64. A második játék el?tt Adélnak 8, Virágnak 32 zsetonja volt, így Sárának 56. Az els? játék el?tt pedig Sárának 28, Virágnak 16 zsetonja volt, így Adél zsetonjainak száma 52. Vagyis a játék kezdetén Adélnak 24-gyel több zsetonja volt, mint Sárának.


3. feladat. Ádám és Olivér egy játékbolt kirakatában lév? Porsche-játékautó árát tanulmányozza.

- Ha mind a 7 havi megtakarított zsebpénzemet a Porschéra fordítanám, még 175 Ft-ot kellene kérnem a szüleimt?l, hogy megvehessem az autót - mondja Ádám.

- Nekem pedig 8 havi zsebpénzem mellé még 400 Ft hiányozna az autóhoz - mondja Olivér.

A felsoroltak közül mennyi lehet a Porsche ára? (Feltételezzük, hogy a fiúk zsebpénze minden hónapban ugyanakkora összeg.)
  (A) 2290 Ft
  (B) 3120 Ft
  (C) 3875 Ft
  (D) 4480 Ft
  (E) 5590 Ft

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha Ádám egy havi zsebpénze a Ft, Oliévéré pedig b Ft, akkor az autó árát N forintnak jelölve teljesül az N=7a+175=8b+400 egyenl?ség. Mivel 175 osztható 7-tel, illetve 400 osztható 8-cal, így N osztható 7-tel és 8-cal is, vagyis 56-tal is. Tehát az autó ára csak 56 Ft egész számú többszöröse lehet. A felsorolt válaszlehet?ségek közül ez csak a 4480 Ft-ra teljesül, tehát ennyibe kerülhet a Porsche. Ez az eset valóban el?fordulhat, amennyiben Ádám zsebpénze 615 Ft, Olivéré 510 Ft havonta.


4. feladat. Az 5.b osztály kapott ajándékba egy cirkuszi belép?t két f? részére. Miközben azon gondolkodtak, hogy kié legyen a belép?, Ákos megszólalt: "Ha az év minden napjára kapnánk egy-egy 2 f?re szóló belép?t, amit az osztályon belül használnánk fel, biztosan lenne két olyan különböz? napja az évnek, amikor ugyanaz a két ember megy el a cirkuszba. Ha viszont eggyel többen járnánk az osztályba, akkor már lehetne találni olyan szétosztást, hogy ez ne teljesüljön." Hány f? az osztálylétszám?
  (A) 24
  (B) 27
  (C) 28
  (D) 30
  (E) nem meghatározható

Helyes válasz: B

Indoklás: Számoljuk ki, hogy ha n f? jár az osztályba, akkor hányféleképpen lehet közülük kett?t kiválasztani, akik cirkuszba mennek. Az els? résztvev? az n osztálytárs bármelyike lehet, mellé másodiknak még n-1 gyerek közül választhatunk. Azonban a kiválasztás sorrendje nem számít (ha például Ákost választjuk el?bb, utána pedig Borit, ez ugyanaz az eset, mintha Borit választottuk volna els?nek, Ákost másodiknak). Így a lehet?ségek száma n f?s osztály esetén \frac{n\cdot(n-1)}2. Tudjuk, hogy ez a szám kisebb 365-nél, viszont ha n+1-en járnának az osztályba, akkor már nem lenne kisebb a lehet?ségek száma. Vagyis az osztálylétszámra teljesül a következ? egyenl?tlenség: \frac{n\cdot(n-1)}2 \leq 365 \leq \frac{(n+1)\cdot n}2. A válaszlehet?ségeket kipróbálva, n=27-re a lehet?ségek száma 351, míg n+1=28-ra 378, vagyis 27-en járnak az osztályba. (Felhasználtuk, hogy minél többen vannak az osztályban, annál több a lehet?ségek száma.)


5. feladat. Alexa matematikaóra közben a terem ablakainak színes függönyeit szemléli. A 6 függöny között ötféle szín fordul el?: pirosból, narancssárgából, citromsárgából és kékb?l egy-egy, zöldb?l két egyforma függöny. A téglalap alakú terem három szomszédos oldalán vannak ablakok, minden oldalra 2-2 függöny jut. Hányféleképpen lehet feltenni a függönyöket, ha csak az az egy megkötés van, hogy a két zöld függöny nem lehet a teremnek ugyanazon az oldalán?
  (A) 120
  (B) 224
  (C) 288
  (D) 300
  (E) 360

Helyes válasz: C

Indoklás: Számoljuk össze el?ször a zöld függönyökre vonatkozó megkötés nélkül a lehet?ségek számát! Ha mind a 6 függöny különböz? lenne, az els? helyre 6, a másodikra 5, és így tovább, a legutolsó helyre 1 függönyb?l választhatnánk, így 6×5×4×3×2×1=720 lehet?ségünk lenne. De mivel a két zöld függöny egyforma, ezért mindent duplán számoltunk (aszerint, hogy a két zöld függöny melyikét választottuk ki hamarabb), vagyis valójában csak 360 lehet?ségünk van. Vonjuk le ezekb?l a rosszakat, vagyis azokat, amelyekben a két zöld függöny egy oldalra esik. Tegyük fel például, hogy a terem nyugati, északi és keleti oldalán vannak az ablakok. Ekkor ha a két zöld függöny a nyugati falra került, akkor a maradék 4 függöny 4×3×2×1=24-féleképpen helyezkedhet el. Hasonlóan 24-24 rossz esetet kapunk akkor is, ha a zöld függönyök az északi, illetve a keleti falra kerülnek. Tehát 72 rossz elhelyezés van, ezt kivonva az összes eset számából, megkapjuk a jó esetek számát, amely 360-72=288.

Másik megoldás: helyezzük fel el?ször a két zöld függönyt. Ehhez a terem 3 falából 2-t kell kiválasztanunk (ezt 3-féleképpen tehetjük meg), majd mindkét falon meg kell határoznunk, hogy a függöny a két lehetséges hely melyikére kerüljön. Ez összesen 3×2×2=12 lehet?ség. Végül a maradék 4 helyre kell a megmaradó 4 szín? függönyt felhelyezni, ezt 4×3×2×1=24-féleképpen tehetjük meg. A lehet?ségek száma tehát 12×24=288.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley