KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után, majd a dobott számokat egymás mellé írva egy háromjegy? számot kapunk. Hány olyan háromjegy? szám áll el? ilyen módon, amelyik 9-cel osztható?
  (A) 18
  (B) 25
  (C) 26
  (D) 32
  (E) 36

Helyes válasz: C

Indoklás: Mivel a dobott számok összege legfeljebb 6+6+6=18 lehet, így a vizsgált háromjegy? számok számjegyösszege a 9-cel való oszthatósághoz csak 9 és 18 lehet. A 18-at egyféleképpen kaphatjuk meg (666). Számoljuk össze, hányféleképpen tudjuk a 9-et három 1 és 6 közötti szám összegeként el?állítani:

9=3+3+3, ilyen számból 1 van.

9=2+2+5=4+4+1, ilyen számokból 3-3 van.

9=1+2+6=1+3+5=2+3+4, ilyen számokból 6-6-6 van.

Ez összesen 26 megfelel? szám.


2. feladat. Egy téglalap alakú halastóban megtiltották a halászatot három egybevágó, a téglalap oldalával párhuzamos oldalú négyzet alakú területen. A halastó oldalai 1000 és 1500 méteresek, a négyzetek oldala 500 méter hosszú. A három négyzet középpontja egy 400 méter oldalhosszúságú szabályos háromszöget alkot, ennek a háromszögnek egyik oldala párhuzamos a téglalap hosszabbik oldalával. Tudjuk még, hogy a három négyzet egyike sem lóg ki a halastóból. Körülbelül hány négyzetméteres területen szabad halászni?
  (A) 750000
  (B) 800000
  (C) 843215
  (D) 850000
  (E) 876795

Helyes válasz: E

Indoklás: Készítsünk ábrát! A három négyzet legyen ABCD, EFGH és JKLM, középpontjaik pedig rendre N, O és P.

El?ször meghatározzuk az AFGD téglalap területét. Az N pont az AD oldaltól 250 méterre van, az O pont az FG oldaltól szintén 250 méterre, továbbá az NO szakasz hossza 400 méter, így AF=900 m. Továbbá AD=500 m, vagyis az AFGD téglalap területe 900×500=450000 m2.

Most meghatározzuk az LMQR téglalap területét. A P középpont a JK oldalegyenest?l 250 méterre van, az ON oldalegyenes a DG oldalegyenest?l szintén 250 méterre, továbbá az NOP szabályos háromszög magassága (a P pont és az NO oldal távolsága) 200\times \sqrt3, azaz körülbelül 346,41 méter, innen a QJ szakasz hossza megközelít?leg 250+250-346,41=153,59 méter. Vagyis QM hossza szintén körülbelül 346,41 méter, így az LMQR téglalap területe megközelít?leg 500×346,41=173205 m2.

Mivel a teljes tó területe 1500000 m2, így ebb?l kivonva a fenti két téglalap területét, megkapjuk, hogy körülbelül 876795 négyzetméteren szabad halászni.


3. feladat. Legfeljebb hányat választhatunk ki az 1,2,3,\ldots,100 számok közül úgy, hogy semelyik kiválasztott szám háromszorosa ne legyen kiválasztott?
  (A) 33
  (B) 66
  (C) 67
  (D) 70
  (E) 76

Helyes válasz: E

Indoklás: Írjuk le az els? száz pozitív egész számot úgy, hogy egy sorban akkor kerüljön egymás mellé két szám, ha az utóbbi háromszorosa az el?bbinek:

1,3,9,27,81

2,6,18,54

4,12,36

5,15,45

7,21,63

8,24,72

10,30,90

11,33,99

\ldots

Nyilvánvalón ha két szám egy soron belül szomszédos, akkor legfeljebb az egyiküket választhatjuk ki, továbbá ha csak erre a feltételre figyelünk, biztosan nem fogjuk semelyik kiválasztott szám háromszorosát is kiválasztani. Így az els? sorból legfeljebb 3, a következ? 7 sorból legfeljebb 2-2 számot választhatunk ki (például a 11 sorából a 11-et és a 99-et). Ez idáig 17 kiválasztott szám.

Ha folytatjuk az eljárást, a következ? sorokban már csak 2-2 szám fog állni, ezek közül nyilván csak az egyiket választhatjuk. Ha például a sor elején álló számokat választjuk, ezek a következ?k lesznek: 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32. Ez újabb 14 kiválasztott szám.

Hátra vannak még azok a számok, amelyek egyedül szerepelnek egy sorban. Ilyen 34-t?l kezdve 100-ig az összes 3-mal nem osztható szám. Ezeket mind kiválaszthatjuk, számuk 45.

Vagyis összesen legfeljebb 17+14+45=76 számot választhatunk ki a feltételeknek megfelel?en.


4. feladat. Két padon 6-6 gyerek ül. Valamennyien különböz? életkorúak (az életkorok egész számok), és az egyik padon ül? gyerekek életkorának összege és szorzata is megegyezik a másik padon ül?k életkorának összegével és szorzatával. A legid?sebb gyerek 16 éves. Hány éves a vele egy padon ül? második legfiatalabb gyerek?
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 5
  (E) 6

Helyes válasz: B

Indoklás: Az 1 és 16 közötti egész számok közül kell 12-t kiválasztanunk, amelyek két 6-os csoportra oszthatók úgy, hogy mindkét csoportban ugyanannyi legyen a számok összege (jelöljük ezt S-sel), illetve szorzata (jelöljük ezt P-vel). Határozzuk meg el?ször, melyik lehet ez a 12 szám! A 12 szám összege 2S, vagyis biztosan páros. A 12 szám szorzata pedig P2, azaz négyzetszám.

Ha 1-t?l 16-ig összeszorozzuk a számokat, a szorzat prímfelbontása 215×36×53×72×11×13. Ebb?l csak úgy kaphatunk P2-et, ha minden prím kitev?je páros lesz. Így a 11-et és a 13-at biztosan el kell hagynunk, továbbá el kell hagynunk még két olyan számot, amelyekben együttesen páratlan sok 2-es és 5-ös, illetve páros sok 3-as és 7-es prímtényez? van. P2-ben 7 kitev?je biztosan 2, hiszen egyébként csak 0 lehetne, de ekkor a 7-et és a 14-et elhagyva az 5-ösök kitev?je továbbra is páratlan maradna.

Mivel 1-t?l 16-ig a számok összege páros, így 2S eléréséhez az elhagyott négy szám összegének párosnak kell lennie, tehát a 11-en és a 13-on kívül elhagyott másik két szám azonos paritású, így biztosan páros, hiszen 2-es prímtényez?t is el kell hagynunk. Tudjuk, hogy 5-ös prímtényez?t is el kell hagynunk, ebb?l már következik, hogy az egyik elhagyandó szám a 10. E három szám (a 10, a 11 és a 13) elhagyása után a szorzat négyzetszám, tehát a negyedik elhagyott számnak is (páros) négyzetszámnak kell lennie, így az csak a 4 vagy a 16 lehetne, de mivel a legid?sebb gyerek 16 éves, ezért a 16-ot nem hagyhatjuk el. Tehát a 4 a negyedik elhagyott szám.

Ekkor S=49 és P=60480=26×33×5×7. Vagyis az 1,2,3,5,6,7,8,9,12,14,15,16 számok közül kell 6-ot kiválasztanunk, amelyek összege 49, szorzata 60480. Innent?l kézi próbálkozással dolgozhatunk, az egyetlen helyes megoldás a következ? két csoport lesz: {2,3,6,7,15,16} és {1,5,8,9,12,14}. Tehát a legid?sebb gyerekkel egy padon ül? második legfiatalabb gyerek 3 éves.


5. feladat. Hányféleképp választható ki 10 lány és 5 fiú közül egy olyan (nem üres) csoport, amelyben kétszer annyi fiú van, mint lány?
  (A) 100
  (B) 225
  (C) 250
  (D) 325
  (E) 400

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha 2 fiú és 1 lány kerül a csoportba, akkor a 2 fiút \frac{5\times4}2=10-féleképpen, az 1 lányt 10-féleképpen választhatjuk ki, és mivel bármelyik két fiúhoz bármelyik lányt választhatjuk, ez összesen 10×10=100 lehet?ség.

Ha 4 fiú és 2 lány kerül a csoportba, akkor a 4 fiút 5-féleképpen választhatjuk (hiszen 5-féleképp jelölhetjük ki azt az egy fiút, aki kimarad), a 2 lányt pedig \frac{10\times9}2=45-féleképpen, ez összesen 5×45=225 lehet?ség.

Tehát összesen 325-féleképpen választható ki a keresett csoport.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley