KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Az a_1, a_2, \ldots, a_7 nemnegatív számok összege 1. Jelölje M az a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5, a4+a5+a6, a5+a6+a7 mennyiségek maximumát. Milyen kicsi lehet M?
  (A) \frac13
  (B) \frac12
  (C) \frac23
  (D) \frac37
  (E) \frac25

Helyes válasz: A

Indoklás: Az öt háromtagú összeg összege nyilván nem lehet nagyobb, mint 5M. Összevonás után ez az összeg az S= 3(a_1 + \ldots + a_7) - a_1 -(a_1+a_2) - (a_6+a_7) - a_7 alakba írható. Mivel számaink nemnegatívak, a kivonandó mennyiségek egyike sem nagyobb, mint M, így S\geq3-4M.

A kapott 5M\geqS\geq3-4M feltételb?l M \geq \frac13, az egyenl?séghez pedig a_1 = a_1 + a_2 = a_6 + a_7 = a_7 = \frac13, azaz a_1 = a_7 = \frac13, a2=a6=0 szükséges. Ha a további három szám közül a3 és a5 értékét 0-nak, a4 értékét pedig ugyancsak \frac13-nak választjuk, akkor e hét szám összege 1, és mind az öt háromtagú összeg, tehát M=\frac13.


2. feladat. Mennyi a

\sqrt{6+\sqrt{6+ \ldots + \sqrt{6}}} + \root3\of{6+\root3\of{6 + \ldots + \root3\of{6}}}

szám egészrésze, ahol mind a négyzetgyök-, mind a köbgyökjelek száma 100?
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelöljük a vizsgált összeg els? tagját A-val, a másodikat pedig B-vel. Nyilván \sqrt6 < A és \root3\of{6} < B. Legyen másrészt A_{100} = \sqrt{6+\sqrt{6+ \ldots + \sqrt{9}}} és B_{100} = \root3\of{6+\root3\of{6 + \ldots + \root3\of{8}}}, ahol az indexek a kifejezésekben szerepl? gyökjelek számára utalnak. Mivel a gyökjel alatti utolsó számokat növeltük, A<A100 és B<B100. A100-hoz hasonlóan értelmezhetjük az A_1 = \sqrt9, A_2 = \sqrt{6+\sqrt{9}}, A_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}, \ldots számokat. Megmutatjuk, hogy mindegyik Ai egyenl? 3-mal. Ai-ben ugyanis az utolsó gyökvonást elvégezve:

A_i = \sqrt{6+\sqrt{6+ \ldots + \sqrt{9}}} = \sqrt{6+\sqrt{6+ \ldots + 3}} = A_{i-1},

tehát A_{100} = A_{99} = \ldots = A_1 = 3.

Hasonlóan azt is beláthatjuk, hogy B100=2. Ezzel \sqrt6 + \root3\of{6} < A+B < 3+2. Mivel \sqrt6 + \root3\of{6} > 4, ezért A+B egészrésze 4.


3. feladat. 11 pozitív szám mindegyike a további 10 négyzetösszegével egyenl?. Mekkora a legkisebb szám reciproka?
  (A) 1
  (B) 4
  (C) 8
  (D) 10
  (E) 100

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a_1, a_2, \ldots, a_{11} a 11 szám, és jelöljük a négyzetösszegüket Q-val. A feltétel szerint ai=Q-ai2, ahol i=1,2,\ldots,11, azaz valamennyi i-re ai+ai2=Q. Az f(x)=x+x2 függvény azonban nemnegatív x-ekre szigorúan monoton, így a_1+a_1^2= \ldots = a_{11}+a_{11}^2 esetén szükségképpen a_1=\ldots =a_{11}. Ezt a közös értéket jelöljük a-val. Ekkor a feltétel szerint a=10a2, ahonnan a=\frac{1}{10}. Így mindegyik szám \frac{1}{10}, azaz a legkisebb is, amelynek reciproka 10.


4. feladat. Legfeljebb hány zárt intervallumot adhatunk meg a számegyenesen úgy, hogy bármelyik három közül legyen két egymást metsz?, viszont bármely négynek a közös része üres legyen?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen a feltételnek megfelel? módon megadott intervallumok jobb végpontjainak legkisebbike J1. Hagyjuk el az intervallumok közül mindazokat - a feltétel szerint legfeljebb hármat -, amelyek J1-et tartalmazzák. A megmaradó intervallumok közül egyik sem tartalmazza J1-et, ezekre ezt az eljárást megismételve a J2 végpontot kapjuk, és ismét legfeljebb 3 intervallumot hagyhatunk el. Tovább intervallum viszont már nem maradhat, hiszen egy ilyennek sem a J1, sem pedig a J2 végpontúval nem lehet közös pontja, e kett?nek pedig egymással szintén nincsen.

Tehát legfeljebb 6 intervallum adható meg ily módon, és ez már lehetséges is. Pl.: {[0;5],[1;4],[2;3],[6;11],[7;10],[8;9]}.


5. feladat. Az ax2+bx+c egész együtthatós polinomnak két különböz?, 0-nál nagyobb, és 1-nél kisebb gyöke van. Milyen kicsi lehet |a|?
  (A) \sqrt{2}
  (B) 1+\sqrt{3}
  (C) 1
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: E

Indoklás: Mivel a polinomnak két gyöke van, ezért a másodfokú tag együtthatója nem lehet 0. Ha a<0, akkor (-1)-gyel szorozva olyan polinomhoz jutunk, amelynek gyökei, illetve együtthatóinak abszolút értéke azonos az eredetiével, ezért feltehet?, hogy a>0. Mivel két különböz? gyöke létezik, ezért a diszkriminánsa pozitív, azaz b2>4ac.

Az x1 és x2 gyökök nagyságára vonatkozó feltételt a gyökök és együtthatók közötti összefüggések felhasználásával írjuk fel. Mindkét gyök akkor és csak akkor pozitív, ha összegük és szorzatuk is pozitív. Mindkét gyök akkor és csak akkor kisebb 1-nél, ha (1-x1) és (1-x2) pozitív számok, azaz összegük és szorzatuk is pozitív. A

(1)   b2>4ac

feltétellel együtt tehát pontosan akkor lesz mindkét gyök 0-nál nagyobb és 1-nél kisebb, ha az x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1x_2=\frac{c}{a}, (1-x_1) + (1-x_2) = 2-(x_1+x_2)=2+\frac{b}{a} és az (1-x_1)(1-x_2) = 1-(x_1+x_2) + x_1x_2 = 1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a} mennyiségek mindegyike pozitív. Ha a>0, akkor az els? két feltételb?l

(2)   b<0,c>0,

a másik kett?b?l pedig

(3)   2a+b>0,

illetve

(4)   a+b+c>0

adódik. Azt a legkisebb pozitív egész a számot keressük, amelyhez vannak olyan b és c egészek, hogy (1),(2),(3),(4) teljesül.

(4)-b?l kapjuk, hogy a+c>-b=|b|. A kapott egyenl?tlenség két oldalán egész számok állnak, tehát még a+c-1\geq|b| is teljesül. Ezt az (1)-b?l kapható |b| > 2\sqrt{ac}-vel összevetve a+c-1 > 2\sqrt{ac} adódik, ahonnan átrendezéssel

(5) ~~~ (\sqrt{a}-\sqrt{c})^2 > 1.

Mivel a gyökök szorzata, x_1 x_2 = \frac{c}{a} kisebb 1-nél, ezért a>c. Így (5)-b?l \sqrt{a}-\sqrt{c}>1, azaz \sqrt{a}>\sqrt{c}+1 \geq 2, tehát a>4.

Ha a=5, akkor könnyen láthatóan c=1 és b=-5. Ezzel az 5x2-5x+1 polinomhoz jutottunk, amely megfelel a feltételeknek, tehát |a| lehetséges legkisebb értéke 5.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley