KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Hány olyan p prímszám létezik, amelyre p3+p2+11p+2 is prím?
  (A) 1
  (B) 3
  (C) 8
  (D) 9
  (E) végtelen sok

Helyes válasz: A

Indoklás: A 3 kivételével minden prímszám x+1 vagy x+2 alakú, ahol x 3-mal osztható szám. Így három esetet különböztetünk meg:

1) p=3 esetén p3+p2+11p+2=71 prímszám

2) A p=x+1 esetben p3+p2+11p+2=(x+1)3+(x+1)2+11(x+1)+2=x3+4x2+16x+15. Mivel x osztható 3-mal, ezért x3+4x2+16x is, és 15 szintén. Másrészt x>0 miatt értéke legalább 15, így nem lehet éppen 3, és egy 3-nál nagyobb, 3-mal osztható szám nem lehet prím.

3) Ha p=x+2, és x osztható 3-mal, akkor p3+p2+11p+2=(x+2)3+(x+2)2+11(x+2)+2=x3+7x2+27x+36. Az el?z?höz teljesen hasonló meggondolással ez sem lehet prím.

Így a feladat egyetlen megoldása p=3.


2. feladat. Hány téglalap látható az ábrán? (A szomszédos párhuzamosok között csak kétféle távolság fordul el?, melyek aránya 1:2.)


  (A) 174 724
  (B) 216 225
  (C) 270 400
  (D) 923 521
  (E) 984 064

Helyes válasz: B

Indoklás: Az ábrán 31 vízszintes és 31 függ?leges egyenes látható, és nyilván ezek közül kerülnek ki a téglalap oldalai. Az els? vízszintes egyenest 31-féleképpen választhatjuk ki, a másodikat a többi 30 közül 30-féleképpen. Így azonban minden lehetséges választást kétszer állítottunk el?: egyszer, amikor a kett? közül az alsót választottuk el?ször, és másodszor, amikor a fels?t. Egy téglalap vízszintes oldalait tehát \frac{30\cdot 31}{2} = 465-féleképpen választhatjuk ki az ábra egyenesei közül. Ugyanígy 465-féleképpen választhatjuk meg hozzájuk a függ?leges vonalakat, így az összes téglalapok száma 4652=216225.


3. feladat. Hány olyan n pozitív egész szám létezik, amelyre 1! + 2! + \ldots + n! értéke négyzetszám? (n! az els? n pozitív egész szám szorzatát jelöli)
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 8
  (D) 9
  (E) végtelen sok

Helyes válasz: B

Indoklás: A feladat megoldásához elég tekintenünk a kérdéses összeg utolsó számjegyét. Ha n\geq5, akkor n! 0-ra végz?dik, vagyis 10-zel osztható, hiszen törzstényez?ként szerepel benne a 2 és 5. Tehát ha n\geq4, akkor az 1! + 2! + \ldots + n! összeg ugyanarra a számjegyre végz?dik, amire az 1!+2!+3!+4!=33, azaz 3-ra. De olyan négyzetszám nincs, aminek utolsó jegye 3, hiszen egy szám utolsó jegyének négyzete nem végz?dhet 3-asra. Így az 1! + 2! + \ldots + n! összeg n\geq4 esetén nem lehet teljes négyzet.

Ezután megvizsgálva a maradék n=1,2,3 eseteket arra jutunk, hogy csak az n=1, ill. n=3 esetben kapunk teljes négyzetet, azaz két ilyen n létezik.


4. feladat. Egy 8×8 mez?b?l álló sakktáblát úgy vágunk szét p darab téglalapra, hogy egyetlen mez?t sem vágunk ketté. Mindegyik ilyen szétvágásnak ki kell elégítenie a következ? feltételeket:

1) Mindegy egyes téglalapnak ugyanannyi fehér mez?t kell tartalmaznia, mint feketét.

2) Ha ai jelöli az i-edik téglalapban lév? fehér mez?k számát, akkor fenn kell állnia az a_1 < a_2 < \ldots < a_p egyenl?tlenségsorozatnak.

Keressük meg p-nek azt a legnagyobb értékét, amelyre létezik ilyen szétvágás.
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: E

Indoklás: Mivel a sakktáblán 32 fehér mez? van, ezért a_1 + \ldots + a_p = 32. Innen következik, hogy p legfeljebb 7 lehet, hiszen a 2) feltétel szerint p\geq8 esetén a_1 + a_2 + \ldots + a_p \geq 1 + 2 + \ldots + 8 = 36 > 32 lenne.

Meg kell vizsgálnunk, hogy p=7 lehetséges-e. Több-kevesebb próbálkozás után találunk a feladat feltételeinek megfelel? szétvágást, amelyre példát az ábrán mutatunk be.


5. feladat. Egységnyi oldalú kiskockákból építettünk egy 2010×1474×825-ös téglatestet. Hány kiskockába metsz bele az így kapott test egyik testátlója? (Metszés alatt azt értjük, ha a testátlónak egynél több közös pontja van az adott kiskockával.)
  (A) 4150
  (B) 4217
  (C) 4306
  (D) 4307
  (E) 4309

Helyes válasz: A

Indoklás: Helyezzük el úgy a téglatestet a térben, hogy a 2010 hosszú oldala az x tengely, az 1474 hosszú oldala az y tengely, a 825 hosszú oldala pedig a z tengely irányában álljon. Tekintsük a kiskockák lapjai által meghatározott síkokat. Ilyen síkokból egy testátló az x irányban 2009-et, az y irányban 1473-at, a z irányban 824-et metsz. Általában minden egyes metsz? sík után új kiskockát metsz a testátló, így a "bal alsó" 1 kiskockát is beleszámítva 1+2009+1473+824=4307 elmetszett kiskocka adódna.

Ez a válasz azonban még nem jó, hiszen elképzelhet?, hogy a testátló bels? csúcsokon vagy éleken is áthalad. Mivel a (2010,1474,825) számhármas legnagyobb közös osztója 1, ezért a testátló bels? csúcson nem halad át. Viszont a három számból kett?-kett?nek van 1-nél nagyobb közös osztója, ilyen esetekben a testátló egy bels? élen halad át, azaz egyszerre metsz két mer?leges síkot, így a fenti számításban felsorolt kiskockák száma 1-gyel csökken ilyen esetben.

Mivel (2010,1474)=134, ezért 133 olyan függ?leges (z irányú) bels? él van, amelyet elmetsz a testátló. (Ha a testátlót levetítenénk az x-y síkra, az itteni 2010×1474-es téglalap átlója 133 bels? rácsponton menne át.) Hasonlóképpen (2010,825)=15, ez 14 élet jelent, míg (1474,825)=11, ez újabb 10 élet jelent. Mivel a három élhossz együttesen relatív prím, ezért a fenti három esetben egyik élt sem számoltuk többször.

Tehát 4307-(133+14+10)=4150 kiskockán halad át a testátló.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley