KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Mennyi maradékot kapunk, ha \frac{10(10^{2010}-1)}{81} - \frac{2010}{9}-et elosztjuk maradékosan 11-gyel?
  (A) 1
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: C

Indoklás: El?ször megvizsgáljuk, hogy a szám egyáltalán egész-e, mindezt általánosan 2010 helyett minden n természetes számra. Ezért vezessük be a T=\frac{10(10^{n}-1)}{81} - \frac{n}{9} jelölést.

Az A^n - B^n = (A-B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + \ldots + B^{n-1}) összefüggés alapján T a következ? alakra hozható:

T = \frac{10(10^{n-1}+ 10^{n-2} + \ldots + 1)}{9} - \frac{n}{9} = \frac{10^n-1}{9} + \frac{10^{n-1}-1}{9} + \ldots + \frac{10-1}{9}.

Ebb?l rögtön látszik, hogy T valóban egész szám, hiszen a számlálók mindegyike osztható (10-1)-gyel. Ha j páros szám, akkor 10j-1 osztható (10+1)-gyel is, emiatt \frac{10^j-1}{9} is osztható 11-gyel. Ha pedig j páratlan, akkor a \frac{10^j-1}{9} számot 11-gyel osztva 1-et kapunk maradékul, hiszen \frac{10^j-1}{9} = 10 \cdot \frac{10^{j-1}-1}{9} + 1, ahol az els? szám osztható 11-gyel. Eszerint ha a fenti összeg minden tagját 11-gyel osztjuk, annyiszor kapunk 1 maradékot, ahány páratlan szám van n-ig, a többi maradék pedig 0. Az n-nél nem nagyobb páratlan egészek száma egyenl? \frac{n+1}{2} egész részével, \left[\frac{n+1}{2}\right]-szel, tehát a T:11 osztás maradéka egyenl? az \left[\frac{n+1}{2}\right]:11 osztási maradékával. Ez az n=2010 esetben pedig 4.


2. feladat. Nevezzük kissé szerencsétlennek azokat a természetes számokat, amelyeknek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege osztható 13-mal. Mennyi a szomszédos kissé szerencsétlen számok közti különbség maximuma?
  (A) 36
  (B) 46
  (C) 61
  (D) 79
  (E) tetsz?legesen nagy lehet

Helyes válasz: D

Indoklás: Ha n_1, n_2, \ldots , n_r olyan természetes számok, hogy számjegyeik összegei között el?fordul 13 egymás után következ? természetes szám, s így legalább az egyik osztható 13-mal, akkor az n_1, n_2, \ldots, n_r számok között van kissé szerencsétlen szám. Így bármely k nemnegatív egész számra a [100(k+1),100(k+1)+39],[100k+60,100k+99] és a [100k+20,100k+59] zárt intervallumok mindegyikében van legalább egy kissé szerencsétlen szám. Ezek alapján el?ször megmutatjuk, hogy ha n és m (n<m) szomszédos kissé szerencsétlen számok, akkor m-n\leq79.

Két eset lehetséges: van olyan k nemnegatív egész szám, hogy

a) n<100(k+1)\leqm, ekkor a fentiek szerint n\geq100k+60 és m\leq100(k+1)+39, tehát valóban m-n\leq79;

b) 100k\leqn<m\leq100k+99, ekkor ha m-n>79 lenne, akkor a [100k+20,100k+59] intervallumban nem lenne kissé szerencsétlen szám, ami ellentmond a fentieknek.

Könnyen látható, hogy az n=9 999 999 960, m=n+79 szomszédos kissé szerencsétlen számok, tehát a különbség maximuma valóban 79.


3. feladat. Vettük egy pozitív racionális szám néhány különböz?, egész kitev?s hatványát. Legfeljebb mekkora lehetett ez a racionális szám, ha ezeket a hatványokat két csoportba tudjuk osztani úgy, hogy az egy-egy csoportban lév? számok összege egyenl? legyen?
  (A) 1
  (B) \frac32
  (C) \frac85
  (D) 3
  (E) \frac72

Helyes válasz: A

Indoklás: Írjuk ezt az a racionális számot \frac{p}{q} alakba, ahol p,q legnagyobb közös osztója 1, és tudjuk, hogy (\frac{p}{q})^{\alpha_1} + \ldots + (\frac{p}{q})^{\alpha_k} = (\frac{p}{q})^{\beta_1} + \ldots + (\frac{p}{q})^{\beta_l}, ahol a kitev?k különböz? egészek. Szorozzuk ezt végig a \frac{q^\gamma}{p^\delta} számmal, ahol \gamma és \delta az \{ \alpha_1 , \ldots , \alpha_k , \beta_1 , \ldots , \beta_l \} számok legnagyobbikát, ill. legkisebbikét jelöli. Ekkor mindkét oldalon prqs alakú számok jelennek meg, ahol r és s nemnegatívak, és pontosan egy tagban fordul el? r=0, és egy tagban s=0. Ez azt jelenti, hogy egy kivételével minden tag osztható p-vel, és egy másik kivételével minden tag osztható q-val. A (p,q)=1 megkötésb?l következ?en csak p=q=1 lehetséges, azaz a=1.


4. feladat. Egy játékkockával addig dobunk, amíg 6-os nem jön ki. Mi a valószín?sége annak, hogy közben nem dobunk 5-öst?
  (A) \frac14
  (B) \frac12
  (C) \frac15
  (D) \frac23
  (E) \frac56

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje Ak, ill. Bk azokat az eseményeket, amikor a k-adik dobásra jön ki el?ször 6-os, ill. a k-adik dobásig nem dobunk 5-öst. Az az esemény, hogy az els? hatos dobásig nem jön ötös, pontosan akkor következik be, ha az A_1 B_1 \cup A_2 B_2 \cup \ldots \cup A_n B_n \cup \ldots esemény bekövetkezik. (Megj.: események uniójának bekövetkezése alatt azt értjük, hogy valamelyik közülük bekövetkezik.) Ezért a p = P(A_1 B_1 \cup A_2 B_2 \cup \ldots) valószín?séget keressük. Tudjuk, hogy i\neqj-re egyszerre AiBi és AjBj nem következhet be, ezért az unió valószín?sége a valószín?ségek összege lesz. Ezzel

p = P(A_1 B_1) + P(A_2 B_2) + \ldots

Most számítsuk ki AkBk bekövetkezésének valószín?ségét: az els? k-1 dobásban csak az 1,2,3,4 szerepelhet, a k-adik pedig csak a 6-os lehet, azaz a jó esetek száma 4k-1.1, a összes esetek száma pedig 6k. Tehát P(A_k B_k) = (\frac46)^{k-1} \cdot \frac16.

Azt kaptuk, hogy

p = (\frac16) + (\frac16) \cdot (\frac46) + (\frac16) \cdot (\frac46)^2 + (\frac16) \cdot (\frac46)^3 + \ldots + (\frac16) \cdot (\frac46)^k + \ldots,

ami \frac16-szor egy mértani sor (végtelenben vett) összege, amir?l ismerjük, hogy \frac{1}{1-q}, tehát

p= \frac16 \cdot \frac{1}{1- \frac46} = \frac12.


5. feladat. Egy 8×8-as négyzetrács minden mez?jén van egy gomb, amely világítani is tud. Ha egy gombot megnyomunk, akkor ez, valamint a vele egy sorban vagy oszlopban lév? összes további gomb állapotot változtat (tehát amelyik nem égett, az kigyullad, amelyik pedig égett, az elalszik). Kezdetben egyik gomb sem ég. Legalább hány gombnyomásra van szükség ahhoz, hogy mind a 64 gomb égjen?
  (A) 8
  (B) 16
  (C) 20
  (D) 21 és 63 közötti
  (E) 64

Helyes válasz: E

Indoklás: Nyilván egy gombot nem érdemes a folyamat során kétszer megnyomnunk, hiszen ez ugyanazt eredményezi, mintha egyszer se nyomtuk volna meg a gombot. A megnyomott gombok mez?ire képzeletben tegyünk egy-egy X-et. Ekkor egy tetsz?leges gomb pontosan akkor fog égni a végállapotban, ha sorában és oszlopában együttesen páratlan számú X áll. Ha mind a 64 mez?re teszünk egy-egy X-et, az teljesíti ezt a feltételt, így jó megoldást eredményez. Megmutatjuk, hogy kevesebb X-szel nem valósítható meg az eredmény.

Vegyünk egy tetsz?leges gombnyomás-sorozatot (és a hozzá tartozó X-eket), amelynek végeredményeként minden gomb ég. Ezt követ?en minden sor végére, illetve minden oszlop aljára írjunk 0-t, ha az adott sorban/oszlopban páros számú X áll, és 1-et, ha páratlan számú.

Tekintsünk egy olyan mez?t, amely sorának végén és oszlopának alján is 1-es áll. Ebben a mez?ben kötelez? X-nek szerepelnie, ugyanis ha nem lenne benne X, az azt jelentené, hogy oszlopában és sorában is páratlan számú X áll, ami összesen páros számú X, így ez a gomb nem égne. Hasonlóan kapjuk, hogy minden olyan mez?ben is X-nek kell állnia, amely sorának végén és oszlopának alján is 0 áll. Továbbá ha a sor végén és az oszlop alján álló számok közül az egyik 1, a másik 0, akkor a mez?ben nem állhat X, hiszen így rajta kívül páros+páratlan=páratlan darab X állna a sorában és az oszlopában együttesen, így összesen páros számú X vonatkozna erre a mez?re, tehát végeredményként nem éghetne.

Azt kaptuk tehát, hogy pontosan azokat a gombokat nyomtuk meg, amelyek 1-es sor és 1-es oszlop metszetében, illetve 0-s sor és 0-s oszlop metszetében állnak. Rendezzük most át gondolatban a sorokat úgy, hogy az els? néhány sor az legyen, amelyek végén 1-es áll. Ugyanígy az oszlopokat is cseréljük meg úgy, hogy az els? néhány oszlop alján szerepeljen 1-es, a többi alján 0. Ekkor ha a darab 1-es sor és b darab 1-es oszlop van, akkor pontosan a bal fels? a×b-s téglalapban és a jobb alsó (8-a)×(8-b)-s téglalapban vannak az X-ek. Mivel legalább egy mez?ben szerepel X, így a és b egyike sem 0.

Tekintsük el?ször azt az esetet, amikor a és b is páros. Ekkor (ha a és b valamelyike 8-nál kisebb) a bal alsó sarokban lév? gomb nem éghet, hiszen ?t nem nyomtuk meg, viszont sorában és oszlopában is páros sok gombot nyomtunk meg. Ugyanez a probléma abban az esetben is, ha a és b mindegyike páratlan.

Vegyük most azt az esetet, amikor a páros és b páratlan. Ekkor a bal fels? sarokban lév? gomb nem éghet, hiszen ?t megnyomtuk, viszont oszlopában páros, sorában páratlan gombot nyomtunk meg, ez összesen (a bal fels? mez?t csak egyszer számolva) páros számú gombnyomás.

Azt kaptuk tehát, hogy a fenti esetek egyike sem lehetséges, így csak egy esetben érhettük el, hogy minden gomb égjen: ha a=b=8, vagyis minden gombot megnyomtunk.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley