KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Határozzuk meg az egymástól különböz? A,B számjegyeket úgy, hogy teljesüljön a következ? szorzás: A \cdot \overline{AB} = \overline{BAA} (tízes számrendszerben). Hány megoldás lehetséges?
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: B

Indoklás: A tízes számrendszerben \overline{AB} = 10A + B és \overline{BAA} = 100B + 10A + A. Feladatunk szerint A(10A+B)=100B+11A, vagyis

A(B-1)=10(10B+A-A2).

Itt A jobb oldal osztható 10-zel, tehát A(B-1) is 10-zel osztható. Mivel A és B-1 kisebb 10-nél, ez csak úgy lehet, ha az egyik tényez? 0, vagy ha a tényez?k egyike 2-vel osztható, a másik tényez? pedig 5-tel egyenl?. A nem lehet 0, hiszen \overline{AB} valódi kétjegy? szám, ha pedig B-1=0, akkor a fentiek alapján A2-A=A(A-1)=10 lenne, ami nem ad megoldást, hiszen a 10 nem állítható el? két szomszédos egész szorzataként.

Ha A=5, akkor B-re \frac{39}{19}-et kapunk, ami nem jó megoldás, hiszen nem egész. Ha B-1=5, akkor A^2 = 60 + \frac{A}{2} adódik. Legegyszer?bben ennek úgy kapjuk megoldását, hogy a jobb oldal nyilván 60 és 65 között van, továbbá négyzetszám. Ezt pedig csak a 64 teljesíti, azaz A=8. Ehhez B=6-ot kapunk, azaz a 8.86=688 feladat ezzel a számjegypárral teljesül, és ez az egyetlen megoldás.


2. feladat. Írjunk a bet?k helyére olyan számjegyeket (különböz? bet?k helyére különböz? számjegyeket), hogy az alábbi összeadás helyes legyen. Hány különböz? megoldás lehetséges?


  (A) 2
  (B) 3
  (C) 4
  (D) 5
  (E) 7

Helyes válasz: B

Indoklás: Az utolsó oszlopból nyilvánvalóan Y=0, és innen nem viszünk át leíratlan maradékot. Y föllép az ezres érték? oszlopban is, és mivel az ott leírt L különbözik G-t?l, azért oda maradék megy át a százas oszlopból, mégpedig 1, mert az OLC szám is, EGY is kisebb 1000-nél, tehát összegük kisebb 2000-nél. Ezért egyrészt az ezresben L=G+1, mert innen nem lehet maradékátvitel a tízezres oszlopba, hiszen nem lehet G=9 és L=0=Y, másrészt a százasban az összeg 10+E, így O=9, és ide is jött át maradék. Továbbá N, amennyivel a tízesbeli összeg nagyobb 10-nél, páratlan, hiszen L és G ellentétes paritásúak, éspedig L\leq8, G\leq7 miatt N\leq5.

Maradék megy át még - amint a százezres oszlop mutatja - a tízezres oszlopból is, N+E=10+I, és a százezres oszlopban K=M+1. Az el?bbiben I\geq1 és N\leq5 miatt E\geq6, és fordítva, E\leq8 miatt N\geq3, tehát N értéke csak 5 vagy 3 lehet.

N=5 feltevéséb?l a tízes és a tízezres oszlop alapján egyértelm?en L=8,G=7,E=6,I=1 adódik, és a szomszédos M,K-ra, valamint C-re három jegy marad: 2,3,4. Ezekb?l vagy M=2,K=3, és akkor C=4, vagy M=3,K=4, és akkor C=2.

N=3 feltevése hasonló menettel L=7-re és G=6-ra, másrészt E=8-ra és I=1-re vezet. A maradó 2,4,5 jegyekb?l a K=M+1 követelménynek csak M=4,K=5 felel meg, és így C=2. Mindezek szerint a feladatnak a következ? 3 megoldása van:


3. feladat. Két ugyanakkora él? kocka minden egyes lapjára úgy akarunk rajzolni egy-egy számjegyet, hogy a kockákat alkalmasan forgatva, majd egymás mellé téve, a hónap bármelyik napjának sorszámát leolvashassuk róluk. Egységesség kedvéért az egyjegy?eket is két jeggyel, el?l álló 0-val. Hányféleképpen lehet megválasztani az egyik-egyik kockára rajzolandó számjegyeket? (Az egy kockára megválasztott hat számjegy egymáshoz képest elfoglalt helyzetét a számlálásnál nem vesszük figyelembe.)
  (A) 6
  (B) 8
  (C) 10
  (D) 12
  (E) 14

Helyes válasz: C

Indoklás: Az 1,2,\ldots , 31 számokat kell tudnunk kirakni. A 0,1 és 2 számjegyeket mind a két kockára föl kell írnunk, mert ezeket - mint elöl álló jegyet - még 7, t?lük különböz? jeggyel kell összekapcsolnunk, azok pedig nem férnek föl egy kockára. Így a kockákon már csak 3-3 lap üres, együttvéve 6 lap, holott a további számjegyfajták száma még 7.

Mégis megoldható a feladat, észrevéve, hogy egy 6-os jegyet 180°-kal elforgatva 9-est kapunk (és persze nincs szükség sem 69, sem 96 kirakására).

Ezek szerint már csak az a kérdés, hogy hányféleképpen lehet kettéosztani a 3,4,5,6,7,8 számjegyeket a 3-3 üres lapra. Az els? kockára választhatunk 3 számjegyet \binom63 = 20-féleképpen, de ekkor minden esetet 2-szer számoltunk (az els? és második kockát kicserélve). Tehát 10 eset lehetséges.


4. feladat. Egy felfelé haladó mozgólépcs?n felfelé futva 1 perc alatt érünk végig, lefelé futva 3 perc alatt. (Feltételezzük, hogy felfelé és lefelé is ugyanakkora sebességgel futunk.) Hány perc alatt érünk fel a mozgólépcs?n, ha állunk rajta?
  (A) 1
  (B) 1,5
  (C) 2
  (D) 2,5
  (E) 3

Helyes válasz: E

Indoklás: Feltételezhetjük, hogy a mozgólépcs? hossza egységnyi. Legyen a mozgólépcs? sebessége vl, a futás sebessége vf. Ekkor (az id?t percben, a távolságot egységben mérve) a t=\frac{s}v összefüggés alapján \frac1{v_f+v_l}=1 és \frac1{v_f-v_l}=3. Ebb?l vf+vl=1 és v_f-v_l=\frac13, így v_f=\frac23 és v_l=\frac13. Tehát a lépcs?n állva \frac1{v_l}=3 perc alatt érünk fel.


5. feladat. Egy kezdetben üres sakktábla mez?ire babszemeket rakunk. Bármelyik üres mez?re tehetünk egy babszemet. Ha azonban egy babszem lerakásakor az adott mez?vel oldalszomszédos mez?k valamelyikén volt már babszem, akkor az ilyenek közül egyet le kell venni. Legfeljebb hány babszemet rakhatunk fel a sakktáblára?
  (A) 32
  (B) 50
  (C) 61
  (D) 62
  (E) 63

Helyes válasz: D

Indoklás: Számozzuk a sakktábla sorait felülr?l lefelé A-tól H-ig, az oszlopokat pedig balról jobbra 1-t?l 8-ig. Egy nem túl gyors, de könnyen leírható módszert mutatunk a sakktábla feltöltésére. Mindig az A1 mez?re fogunk egy új babszemet helyezni, amelyet aztán "eljuttatunk" a megfelel? helyre. Például az A sorban úgy tudunk "mozgatni" egy babszemet, hogy el?ször A1-re teszünk egyet, majd A2-re teszünk és A1-r?l leveszünk, aztán A3-ra teszünk és A2-r?l leveszünk stb. Ilyen m?veletekkel bárhová el tudunk juttatni egy babszemet úgy, hogy közben az esetleges korábban felrakott babszemekhez nem kell hozzányúlnunk.

Ezzel a m?velettel el?ször töltsük fel a H sort (jobbról balra), majd a felette lév? G sort, és így tovább. A módszer egészen addig m?ködik, amíg az utolsó el?tti (B) sor is meg nem telik. Ezután viszont, ha A1-re teszünk, akkor a B1-et le kell venni. Így A1 és B1 kivételével az egész táblát fel tudjuk tölteni, azaz 62 babszemet tudunk elhelyezni.

62-nél több babszem nem helyezhet? el, ugyanis a sakktáblán minden mez? legalább két másikkal élszomszédos, így a 63. babszem lerakásakor az adott mez?nek biztos lesz már foglalt szomszédja, ahonnan le kell venni egy babszemet, azaz ekkor a táblán lév? babszemek száma már nem növelhet?.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley