KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 1-6 osztály

1. feladat. Máté leírta az összes olyan háromjegy? számot, amelyben valamelyik számjegy a másik kett? összegével egyenl?. Hány különböz? számot írt le Máté?
  (A) 108
  (B) 114
  (C) 126
  (D) 138
  (E) 156

Helyes válasz: C

Indoklás: Ha szerepel a 0 a számban, akkor a másik két jegy egyforma. Ez a másik jegy 9-féle lehet (1-t?l 9-ig), a 0 pedig állhat az egyes és a tízes helyiértéken is. Ez tehát 18 szám: 101, 110, 202, 220, \ldots, 909, 990.

Ha nem szerepel a 0 a számban, akkor csoportosítsuk az eseteket aszerint, hogy van-e ismétl?d? számjegy a számban. Ha van ismétl?dés, akkor a következ? számhármasok fordulhatnak el?: (2,1,1),(4,2,2),(6,3,3),(8,4,4). Ezek mindegyikét 3-féleképpen tudjuk sorbarakni (pl. 112, 121, 211), ez tehát 4.3=12 szám. Ha nincs ismétl?dés, akkor a következ? számhármasok megfelel?k: (3,2,1),(4,3,1),(5,4,1),(5,3,2),(6,5,1),(6,4,2),(7,6,1),(7,5,2),(7,4,3),(8,7,1),(8,6,2),(8,5,3),(9,8,1),(9,7,2),(9,6,3),(9,5,4). Ezek mindegyikét 6-féleképpen tudjuk sorbarakni (pl. 123, 132, 213, 231, 312, 321), ez tehát 16.6=96 szám.

Így összesen 18+12+96=126 számot írt le Máté.


2. feladat. Kinga a következ? számsorozatot írta fel: 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,\ldots. (A 2-eseket tartalmazó blokkokat 1-esek választják el egymástól, és minden blokkban eggyel több 2-es van, mint az el?z?ben.) Sára megkérdezte t?le, mennyi a sorozat els? 1234 tagjának összege. Mi a helyes válasz?
  (A) 2410
  (B) 2418
  (C) 2419
  (D) 2420
  (E) 2421

Helyes válasz: C

Indoklás: A sorozatban 1-es áll az 1. helyen, a 3. helyen (1+2=3), a 6. helyen (1+2+3=6), a 10. helyen (1+2+3+4=10), és így tovább, többek között az 1+2+3+\ldots+49=1225. helyen és az 1+2+3+\ldots+50=1275. helyen. Ez azt jelenti, hogy az els? 1234 tag között 49 darab 1-es fordul el?, a többi 2-es. Az összeget úgy kapjuk meg egyszer?en, ha el?ször minden tagot 2-esnek számolunk, majd levonunk annyit, ahány 1-es van köztük. A végeredmény tehát 2.1234-49=2419.


3. feladat. Marci és Áron a következ?t játsszák: Marci leír egy pozitív egész számot, Áron pedig leírja a szám páros számjegyeinek összegét. (Ha például Marci száma 5681, akkor Áron száma 6+8=14. Ha Marci száma 2010, akkor Ároné 2+0+0=2.) Mennyi lesz az Áron által leírt számok összege, ha Marci az 1,2,3,\ldots,100 számokat írta le?
  (A) 240
  (B) 286
  (C) 360
  (D) 400
  (E) 818

Helyes válasz: D

Indoklás: Számoljuk meg, melyik páros számjegy hányszor fordul el? az els? 100 pozitív egész számban. A 0-kat felesleges megszámolnunk. 2-esb?l 10+10=20 darab szerepel, ugyanis tízszer áll 2-es a tízes helyiértéken (20,21,22,\ldots,29), valamint tízszer áll 2-es az egyes helyiértéken (2,12,22,\ldots,92). Hasonlóképpen a 4, 6 és 8 számjegyek mindegyike is 20-szor fordul el? a vizsgált számok között. Így az Áron által leírt számok összege 20.(2+4+6+8)=400.


4. feladat. Bori meghúzta egy konvex hétszög minden átlóját, és azt tapasztalta, hogy a hétszög belsejének egyik pontján sem halad át közülük kett?nél több. Hány olyan háromszög keletkezett így az ábrán, amelynek egyik csúcsa sem esik egybe a hétszög valamelyik csúcsával?
  (A) 0
  (B) 7
  (C) 10
  (D) 14
  (E) más válasz

Helyes válasz: B

Indoklás: Ha létrejön egy ilyen háromszög, annak három oldalegyenese három átlót határoz meg. Ez a három átló biztosan 6 különböz? csúcshoz tartozik, hiszen ha lenne két közös végpontú átló, akkor a háromszög valamelyik csúcsa egybeesne a hétszög megfelel? csúcsával. Ahhoz, hogy az átlók mindhárom metszéspontja a hétszög belsejében legyen, szükséges, hogy a 6 megfelel? csúcs közül a "szemköztiek" legyenek összekötve, mint például az alábbi ábrán:

A hétszög 7 csúcsa közül 6-ot hétféleképpen választhatunk ki (mindig egy csúcsot kell kihagynunk), és minden ilyen kiválasztás egy-egy háromszöget eredményez. Így összesen 7 keresett háromszög létezik (err?l egy gondosan megrajzolt ábrán is meggy?z?dhetünk).


5. feladat. Egy 8 résztvev?s sakkverseny végeredményében nem volt holtverseny. A második helyezett annyi pontot szerzett, mint az utolsó négy összesen. (A gy?zelemért 1, a vereségért 0, a döntetlenért 0,5-0,5 pont jár.) Mi volt a 3. és a 7. helyezett közötti mérk?zés eredménye?
  (A) biztosan a 3. helyezett gy?zött
  (B) biztosan a 7. helyezett gy?zött
  (C) biztosan döntetlent játszottak
  (D) bármelyikük gy?zhetett
  (E) a feladat nem megoldható

Helyes válasz: A

Indoklás: Mivel 8 résztvev? volt, így az els? helyezett legfeljebb 7 pontot szerezhetett. Ha az els? megverte a másodikat, akkor annak legfeljebb 6 pontja lehetett. Ha döntetlent játszottak, akkor az els?nek legfeljebb 6,5 pontja lehetett, és mivel nem volt holtverseny, a másodiknak legfeljebb 6. Végül ha a második megverte az els?t, akkor az els?nek legfeljebb 6, a másodiknak legfeljebb 5,5 pontja lehetett. Tehát biztosan kijelenthetjük, hogy a második helyezett legfeljebb 6 pontot szerzett.

Tudjuk, hogy a második helyezett pontszáma megegyezik az utolsó négy helyezett pontjainak összegével. ?k négyen egymás között 6 mérk?zést játszottak, így összesen legalább 6 pontot szereztek. Ebb?l és az el?z? gondolatmenetb?l látszik, hogy a 2. helyezett 6 pontot ért el, és az utolsó négy helyezett is ennyit szerzett összesen. Ez viszont azt jelenti, hogy az els? négy helyezett mindegyike legy?zte az utolsó négy helyezett mindegyikét, vagyis a 3. és a 7. helyezett közötti mérk?zést az el?bbinek kellett megnyernie.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley