KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Hány olyan háromjegy? szám van, amelyben a számjegyek összege 15, és a szám osztható 15-tel?
  (A) 8
  (B) 9
  (C) 10
  (D) 13
  (E) 14

Helyes válasz: D

Indoklás: Egy szám pontosan akkor osztható 15-tel, ha osztható 5-tel és 3-mal. A keresett szám így csak 0-ra vagy 5-re végz?dhet, a 3-mal oszthatóság pedig automatikusan teljesül a számjegyösszeg miatt. A 0-ra végz?d? számok közül megfelel?k a következ?k: 690, 780, 870, 960. Az 5-re végz?d? számok közül pedig a következ?k: 195, 285, 375, 465, 555, 645, 735, 825, 915. Ez összesen 13 megoldás.


2. feladat. Hány olyan tovább nem egyszer?síthet? törtszám van, amely nagyobb \frac{23}{113}-nál, kisebb \frac{28}{113}-nál, és nevez?je 20-nál kisebb?
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: C

Indoklás: Legyen a keresett tört \frac{a}b. Ekkor a \frac{23}{113}<\frac{a}b<\frac{28}{113} összefüggést közös nevez?re hozva 23b<113a<28b, ahol a és b pozitív egészek. Mivel b<20, így a\leq4, tehát a értéke csak 1, 2, 3 vagy 4 lehet.

Ha a=1, akkor 23b<113<28b, ezek alapján 4,03<\frac{113}{28}<b<\frac{113}{23}<4,92, de ez semmilyen egész b-re nem teljesül.

Ha a=2, akkor 23b<226<28b, ebb?l 8,07<b<9,83, amely b=9-re teljesül, tehát a \frac29 jó megoldás.

Ha a=3, akkor 23b<339<28b, ebb?l 12,1<b<14,8, amely b=13-ra és b=14-re teljesül, tehát a \frac3{13} és a \frac3{14} jó megoldások.

Ha a=4, akkor 23b<452<28b, ebb?l 16,1<b<19,7, amely b=17,18,19-re teljesül, tehát a \frac4{17} és a \frac4{19} jó megoldások, a \frac4{18} viszont tovább egyszer?síthet? \frac29-re, amelyet korábban már figyelembe vettünk.

Így összesen 5 jó megoldást kaptunk.


3. feladat. A Kovács házaspárhoz négy házaspár jött vendégségbe. A bemutatkozások után a házigazda Kovács úr megállapította, hogy rajta kívül a többi kilenc jelenlév? mindegyike más-más számú személlyel ismerkedett össze. Hány ember mutatkozott be Kovácsnénak?
  (A) 2
  (B) 4
  (C) 6
  (D) 8
  (E) nem meghatározható

Helyes válasz: B

Indoklás: Mivel saját magát és a házastársát mindenki ismerte, ezért mindenki legfeljebb 8 embernek mutatkozhatott be. Így ha kilencen mind különböz? számú ismeretséget kötöttek, ez csak úgy lehetséges, ha ?k rendre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 és 8 ismer?sre tettek szert. (Természetesen Kovács úr új ismer?seinek száma is ezen értékek közül került ki.)

A 8 ismeretséget köt? ember mind a négy másik házaspár mindkét tagjával megismerkedett (így az említett 8 személynek legalább egy új ismer?se lett), tehát a 8 ismeretséget köt? házastársa csak a 0 ismeretséget köt? lehetett. Hasonlóan, lépésr?l lépésre belátható, hogy a 7 és 1, a 6 és 2, valamint az 5 és 3 ismeretséget köt? emberek is házastársak. Ez alapján Kovácsné 4 új ismer?sre tett szert.


4. feladat. Összeszoroztuk a 2010 összes (pozitív) osztóját. Hány nullára végz?dik a kapott szorzat?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

Helyes válasz: E

Indoklás: Tudjuk, hogy 2010=2.3.5.67, így osztóinak száma 24=16. Az osztók párokba rendezhet?k (pl. 1.2010, 2.1005 stb.), így a 16 osztó szorzata 20108=2018.108. Tehát a szorzat 8 nullára végz?dik.


5. feladat. Hány olyan ötjegy? szám van, amely csupán az 1, 2 és 3 számjegyeket tartalmazza, de ezek mindegyikét legalább egyszer?
  (A) 144
  (B) 150
  (C) 156
  (D) 270
  (E) 340

Helyes válasz: B

Indoklás: Számoljuk össze el?ször azokat az ötjegy? számokat, amelyek csak 1, 2 és 3 számjegyet tartalmazhatnak (de nem szükségképpen mindhármat). Minden helyiértékre 3 lehet?ségb?l választhatunk, így összesen 3×3×3×3×3=35=243 ilyen szám van. Ebb?l le kell vonnunk a rosszakat, vagyis azokat, amelyek nem tartalmazzák mindhárom számjegyet.

Rossz egyrészt az a 3 db szám, amely csak egyféle számjegyb?l áll (11111, 22222, 33333). Rosszak másrészt azok a számok, amelyek pontosan kétféle számjegyet tartalmaznak az 1, 2, 3 közül. Például a csak 1-est és 2-est (de mindkett?b?l legalább egyet) tartalmazó számok száma 25-2, ugyanis e két számjegyb?l 25 különböz? szám képezhet?, de ezek közül az 11111 és a 22222 nem jó. Hasonló a helyzet, ha a csak 1-est és 3-ast, vagy a csak 2-est és 3-ast tartalmazó számokat számoljuk meg. Ebben az esetben tehát 3×(25-2) rossz számot kapunk.

A megfelel? számok száma tehát 35-3-3×(25-2)=150.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley