KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Adott a síkban két egymást érint?, egységnyi sugarú kör, k és k1. Egyik közös érint?jük az e egyenes. Ezután rendre megrajzoljuk a k_2, k_3, \ldots, k_{10} köröket úgy, hogy mindegyik érintse k-t, e-t és az eggyel kisebb sorszámú kört. Mekkora a k10 kör sugara?
  (A) 0,005
  (B) 0,01
  (C) 0,012
  (D) 0,015
  (E) 0,016

Helyes válasz: B

Indoklás: Legyen k és k1 középpontja O,O1, e-vel való, valamint közös érintési pontjuk E,E1,T1. Nyilván a k2 kör az EE1 szakasszal és az ET1, E1T1 negyedkörívekkel határolt síkrészben helyezkedik el, k-t és k1-et kívülr?l érinti, és O2 középpontja az E1E szakasz felez?mer?legesén van. k2 sugarát r2-vel, k-n, ill. e-n való érintési pontját T2, ill. E2-vel T2, ill. E2-vel, és O2-nek OE-n való vetületét O'2-vel jelölve az OO2O'2 derékszög? háromszögb?l

(OO2)2=(O2O'2)2+(OO'2)2=(E2E)2+(OE-O'2E)2,

azaz

(1+r2)2=1+(1-r2)2,

így r_2 = \frac14.

Most tekintsük a körsorozat további tagjait, a ki kör sugarát jelölje ri. Két egymás utáni, ki és ki+1 tagot tekintve, érintkezési pontjuk k-val, ill. e-vel Ti,Ti+1,Ei,Ei+1, középpontjuk Oi,Oi+1, és ennek vetülete OE-re O'i, ill. O'i+1. Végül Oi+1 vetülete OiEi-re O''i+1 (a lenti ábrán az i=2 eset látható). Ekkor az OOiO'i, OOi+1O'i+1, OiOi+1O''i+1 derékszög? háromszögb?l

E E_i = O'_i O_i = \sqrt{(O O_i)^2 - (OE - O'_i E)^2} = \sqrt{(1+r_i)^2 - (1-r_i)^2} = 2\sqrt{r_i},

ugyanígy E E_{i+1} = 2\sqrt{r_{i+1}}. Tehát

E_{i+1} E_i = O_{i+1} O''_{i+1} = \sqrt{(O_i O_{i+1})^2 - (O_i O''_{i+1})^2} = \sqrt{(r_i + r_{i+1})^2 - (r_i - r_{i+1})^2} = 2\sqrt{r_i r_{i+1}}.

Ezekkel EEi=EEi+1+Ei+1Ei-b?l 2\sqrt{r_i} = 2\sqrt{r_{i+1}} + 2\sqrt{r_i r_{i+1}}, amit a jobb oldal második tagjával osztva

(*) ~~~ \frac{1}{\sqrt{r_{i+1}}} = \frac{1}{\sqrt{r_{i}}} + 1.

Innen r_2 = \frac14-del r_3 = \frac19, és ebb?l r_4 = \frac{1}{16}. Az így adódott (**) ~~~ r_i = \frac{1}{i^2} sejtés teljes indukcióval könnyen igazolható, ha ugyanis (**) érvényes, akkor (*)-ból \frac{1}{\sqrt{r_{i+1}}} = i+1, tehát r_{i+1} = \frac{1}{(i+1)^2}. Ezzel r_{10} = \frac{1}{10^2}.


2. feladat. Egy derékszög? háromszög oldalainak mér?számai kétjegy? egész számok. Az átfogó mér?száma ugyanazon számjegyekkel írható le, mint az egyik befogóé, csak fordított sorrendben. Mennyi az oldalak mér?számainak összege?
  (A) 98
  (B) 106
  (C) 132
  (D) 154
  (E) 168

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen az átfogó mér?száma \overline{de} = 10d + e, így az egyik befogóé \overline{ed} = 10e + d, ahol d,e 0-tól és egymástól különböz? számjegyek, és d>e. A másik befogószám legyen b, ahol 10\leqb<100. A Pythagoras-tételt alkalmazva

(10d+e)2+b2=(10d+e)2

b2=99(d2-e2)=32.11(d-e)(d+e).

Mivel a jobb oldal osztható 11-gyel, b2 is osztható vele, amib?l nyilvánvalóan 112-nel is osztható, négyzetszám lévén. Ezért (d-e)(d+e) is osztható 11-gyel. (d-e) legalább 1 és legfeljebb 8, ezért csak (d+e) lehet osztható vele. Másrészt d+e legalább 3 és legfeljebb 17, és e két határ között csak a 11 megfelel?, tehát d+e=11. Innen

b2=32.112.(d-e),

amib?l d-e is négyzetszám, méghozzá páratlan, hiszen egész számok összege és különbsége párosságra nézve megegyez?. Ezzel csak a d-e=12 lehetséges, így az el?z?ek alapján d=6,e=5, másrészt b=3.11. Tehát az oldalak mér?számai 33,56,65, összegük pedig 154.


3. feladat. Hány olyan természetes szám létezik, amelynek négyzete és köbe leírásához együttvéve 10 számjegy szükséges?
  (A) 39
  (B) 44
  (C) 49
  (D) 53
  (E) 58

Helyes válasz: D

Indoklás: Nagyobb természetes számnak a négyzete és köbe is nagyobb, és két különböz? természetes szám közül a nagyobb leírásához legalább annyi számjegyre van szükség, mint a kisebb leírásához.

A legnagyobb egyjegy? szám négyzetében és köbében együttvéve csak 5 jegy lép fel: 92=81,93=729, ezért a kérdéses számok legalább kétjegy?ek. Viszont a legkisebb háromjegy? szám esetében 12 jegyet használunk fel: 1002=10000,1003=1000000. Tehát a kérdéses számok mind kétjegy?ek.

Minden n kétjegy? szám négyzetében a számjegyek száma a=3 vagy 4, és a változás akkor következik be, ha n2 átlépi a legkisebb négyjegy? számot, az 1000-et, ami könnyen láthatóan 32-nél következik be, hiszen 312 még háromjegy?, míg 322 már négyjegy?.

A kétjegy? számok köbében a jegyek száma b=4,5, vagy 6, mert 103=1000 és 993=970299. Itt akkor áll be változás, ha n3 átlépi a 10 000-et, ill. 100 000-et. Kiszámíthatjuk, hogy az ötjegy? köbök n=22-nél, a hatjegy?ek pedig n=47-nél kezd?dnek.

Az a és b számok összegéb?l csak úgy kapunk 10-et, ha a=4 és b=6, azaz ha n\geq32 és n\geq47. Tehát 47 a legkisebb, és 99 a legnagyobb megfelel? szám, ami 99-46=53 db.


4. feladat. Egy természetes szám hatodik hatványának számjegyei nagyság szerint rendezve a következ?k:

0,2,3,4,4,7,8,8,9.

Mennyi ezen szám négyzetének a számjegyösszege?
  (A) 10
  (B) 13
  (C) 18
  (D) 22
  (E) 23

Helyes válasz: C

Indoklás: Ha létezik a feltételnek megfelel? x szám, akkor az kétjegy?, mert a hétjegy? 106 számnál nagyobb, de a 13-jegy? 1006-nál kisebb a hatodik hatványa. Sz?kebb korlátokat adnak x6-ra az adott számjegyekkel írható legkisebb és legnagyobb számok, melyek szerint

203 447 889\leqx6\leq988 744 320.

A fels? korlátot kissé növelve x6<109, x2<103, azaz x < \sqrt{1000} < 32. Az alsó korlát nagyobb 206-nál, viszont kisebb, mint 256=6253. Tovább 246=((3.8)3)2=(27.512)2=138242<140002 már kisebb, mint az alsó korlát. Így a keresett szám 24 és 32 közé esik.

Vegyük észre, hogy az x6-ra adott számjegyek összege osztható 3-mal, vagyis x6 osztható 3-mal, ami persze csak úgy lehet, ha x osztható 3-mal. Ezen megállapítás alapján x értéke csak 27 vagy 30 lehet. Ez utóbbi viszont kizárható, ugyanis 30 hatodik hatványa 6 db 0-ra végz?dik. Tehát x=27 (x6=387 420 489). Ezzel 272=729, amelynek a számjegyösszege 18.


5. feladat. 10 különböz? szín? golyót elhelyezünk 10 urnába úgy, hogy az összes 1010 elhelyezés egyenl?en valószín?. (Azaz el?fordulhat, hogy néhány urnába nem kerül semmi.) Mennyi annak a valószín?sége, hogy pontosan egy urna marad üresen?
  (A) \approx0,016
  (B) \approx0,025
  (C) \approx0,033
  (D) \approx0,064
  (E) \approx0,085

Helyes válasz: A

Indoklás: Nézzük meg, hányféleképpen helyezhetjük el a golyókat pontosan egy urna üresen hagyásával. Válasszunk ki a 10-b?l két golyót, melyeket egy urnába fogunk tenni, ezt \binom{10}{2}-féleképpen tehetjük meg. Ezután 10-féleképpen kiválasztjuk az üres urnát, végül a maradék n-1 urnába (n-1)!-féleképpen helyezhetjük el a golyókat (mindegyikbe egyet téve, kivéve a dupla golyót). Ezzel a jó esetek száma osztva az összessel

\frac{\binom{10}{2} \cdot 10 \cdot 9!}{10^{10}} \approx 0,016.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley