KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Határozzuk meg a következ? egyenlet megoldásainak összegét, ahol [x] az x egészrészét - azaz a nála nem nagyobb legnagyobb egész számot - jelöli:

[x] - \sqrt{\frac{[x]}{x-0.5}} - \frac{6}{x-0.5} = 0.

 
  (A) 2
  (B) 2.4
  (C) 2.5
  (D) 3
  (E) 3.2

Helyes válasz: A

Indoklás: Mivel x\neq0.5, ezért beszorozhatjuk az egyenletet (x-0.5)-tel, ezzel 0-ra rendezve kapjuk, hogy

[x] (x-0.5) - (x-0.5) \cdot \sqrt{\frac{[x]}{x-0.5}} - 6 = 0.

A következ? két esetet különböztetjük meg:

1. eset: x-0.5>0. Ekkor x-0.5 = \sqrt{(x-0.5)^2}, és így [x](x-0.5) - \sqrt{[x](x-0.5)} - 6 = 0. Ez a \sqrt{[x](x-0.5)} kifejezésre nézve másodfokú egyenlet, amelynek gyökei 3 és -2. A négyzetgyökös kifejezés értéke nem lehet negatív, tehát \sqrt{[x](x-0.5)} = 3, amib?l [x](x-0.5)=9. Az [x](x-0.5) monoton növ? kifejezés, így az egyenelt megoldását a [3,4] intervallumon érdemes keresni. Könnyen adódik, hogy x=3.5 lesz a keresett gyök.

2. eset: x-0.5<0. Ekkor x-0.5 = -\sqrt{(x-0.5)^2}, így a következ? egyenelthez jutunk:

[x] (x-0.5) + \sqrt{[x] (x-0.5)} - 6 = 0.

Az els? esethez hasonlóan megoldva, most \sqrt{[x](x-0.5)} = 2, és ebb?l az [x](x-0.5)=4 egyenlet adódik. Most a megoldás -2 és -1 közé esik, ahol [x]=-2, ezzel a megoldás x=-1.5. Ez valóban kielégíti az egyenletet.

Ezzel a két megoldás összege 3.5-1.5=2.


2. feladat. Hány különböz? pozitív prímszám adható meg úgy, hogy közülük bármely hármat véve az összegük is prímszám?
  (A) 3
  (B) 4
  (C) 5
  (D) 6
  (E) 7

Helyes válasz: B

Indoklás: Osztályozzuk a prímeket 3-mal való osztási maradékuk szerint. Egy-egy osztályból legfeljebb két prímszámot vehetünk ki, hiszen ha három prímszám hárommal osztva ugyanannyi maradékot ad, akkor az összegük osztható 3-mal, és persze nagyobb, mint 3. Ha mindegyik osztályból vennénk egyet, akkor ezek összege szintén osztható lenne 3-mal, és ez az összeg megintcsak nagyobb lenne 3-nál, azaz nem prím. Az el?z?ek szerint legfeljebb 4 számról lehet szó. A következ? példa igazolja, hogy ennyivel meg is valósítható a feladat: 7,11,13,23.


3. feladat. András 4 egyforma játékautót ad barátainak karácsonyra: Bencének, Csabának, Dénesnek és Elemérnek. Bencének kevesebb a pénze, ezért ? úgy oldja meg az ajándékozást, hogy vesz 3 db bélyegsorozatot, és ezeken kívül még a kapott autót is továbbadja. Csaba 2 csokoládét vesz, és szintén továbbadja a kapott ajándékokat (amiket Andrástól és Bencét?l kapott). Dénes már csak egy dominókészletet vásárol. Végül Elemér nem vesz már ajándékot, hanem szétosztja a kapott ajándékokat. Egyik fiú sem ad a másiknak olyan ajándékot, amilyet t?le kapott. Legfeljebb hány fiúhoz kerülhet vissza egyszerre az általa vásárolt ajándék? (A fenti sorrendben történt az ajándékozás, azaz el?ször András adta át mindenkinek, majd Bence, \ldots, végül pedig Elemér.)
  (A) 0
  (B) 1
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 4

Helyes válasz: B

Indoklás: Megmutatjuk, hogy nem fordulhatott el? az, hogy egyszerre két fiú is visszakapta az általa vásárolt ajándékot. Ezzel együtt látni fogjuk, hogy egyetlen fiú visszakaphat általa vásárolt ajándékot. El?ször is tudhatjuk, hogy András nem kapott vissza autót, mert mindenkinek ezt ajándékozott. Elemér nem is vett ajándékot, ezért nincs is mit visszakapnia. Dénes az általa vásárolt dominót nem kaphatja vissza, mert az ? ajándékozása után már csak Elemért?l kap ajándékot, de az nem lehet dominó. Így ha volna két fiú, aki visszakapja az ajándékait, az csak Bence és Csaba lehetne.

Csaba az ? ajándékozása után Dénest?l és Elemért?l kap ajándékot. Ezért az egyetlen lehet?ség, hogy visszajusson hozzá a csokoládé, ha azt Dénesnek adja, aki továbbadja Elemérnek, és Elemér Csabának.

Bence a bélyegsorát Dénest?l nem kaphatja vissza, mert ahhoz el?ször Csabának kéne adnia, de Csaba csokoládét ad Dénesnek. Tehát Bence a bélyegeket csak Elemért?l kaphatná vissza, akihez Csabán keresztül juthat, ugyanis Dénest?l csokoládét kapott. Bence Elemért?l bélyeget csak akkor kaphat, ha nem azt adott neki, vagyis az autót ajándékozta Elemérnek. Elemér tehát két autót is kapott. Egyet Andrástól, egyet Bencét?l. Ezt már csak Andrásnak és Dénesnek adhatná, de nem illik Andrásnak adnia, és ezért nem lehet, hogy egyszerre két fiú is visszakapja az általa vásárolt ajándékokat.

Ezzel beláttuk, hogy legfeljebb 1 fiú kaphatja vissza.


4. feladat. Az alábbiak közül milyen alapú számrendszerben lehet egyenl? egy háromjegy? szám a jegyek fordított sorrendbe írásával keletkez? szám kétszeresével?
  (A) 4
  (B) 6
  (C) 8
  (D) 9
  (E) 10

Helyes válasz: C

Indoklás: Jelölje a g alapú számrendszerbeli szám számjegyeit a,b,c. Feltételünk szerint

ag2+bg+c=2cg2+2bg+2a,

ahol az a>c>0 egyenl?tlenségnek nyilván teljesülnie kell. A következ? alakra rendezzük az egyenletet:

(a-2c)g2=bg+(2a-c).

Az a>c egyenl?tlenségb?l következik, hogy 2a-c>0. Mivel b számjegy, ezért 0\leqb\leqg-1, tehát az egyenlet jobb oldalán pozitív szám áll. A jobb oldal legnagyobb értéke b\leqg-1 és 2a-c<2g miatt kisebb, mint g2+g. Mivel az egyenl?ség csak úgy állhat fenn, ha a bal oldal is pozitív, és ennek legkisebb értéke g2, ezért (a-2c)g2=bg+(2a-c)=g2. Ebb?l következik, hogy a-2c=1,b=g-1,2a-c=g. Megoldva az egyenletrendszert a-ra és c-re, azt kapjuk, hogy a = \frac{2g-1}{3} és c = \frac{g-2}{3}.

A c csak úgy lehet pozitív egész szám, ha g=3k+2 alakú, ahol k pozitív egész. Ebben az esetben a=2k+1, b=3k+1 és c=k, azaz a,b,c mindegyike egész. Tehát pontosan azon számrendszerek lesznek megfelel?ek, melyek alapszáma 3-mal osztva 2 maradékot ad. (Kettes számrendszerben csak akkor kapunk megoldást, ha megengedjük, hogy a fordított szám els? jegye 0 legyen: 110=2.011.)


5. feladat. Hányféleképpen vehetünk ki 8-at a táblázat 16 bet?je közül úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból kett? hiányozzon?

A B C D
E F G H
I J K L
M N O P

  (A) 68
  (B) 71
  (C) 75
  (D) 82
  (E) 90

Helyes válasz: E

Indoklás: Színezzük be azokat a mez?ket feketére, amelyeken az adott bet?t kiválasztottuk. Kezdve az A bet?t tartalmazó mez?vel, eldönthetjük, hogy az beszínezzük-e vagy sem, azaz van 2 választásunk. Tegyük fel, hogy beszíneztük. Ezután az els? sor és els? oszlop bet?i közül egymástól függetlenül választunk egy-egy mez?t, melyet beszínezünk. Tegyük most fel, hogy mindkét esetben az els? lehet?séget választjuk mindkét esetben, azaz E-t és B-t színezzük. Ezután ha az F-et színezzük be, abból már következik a többi színezés. Ha F-et üresen hagyjuk, akkor a második sorból és második oszlopból még egyet-egyet szabadon választhatunk, és ezután az összes többi egyértelm?en következik. Tehát a lehet?ségek száma 2.3.3.(1+2.2)=90.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley