KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Legfeljebb hány kézfogásra kerülhetett sor egy 20 tagú társaságban, ha tudjuk, hogy akárhogyan is választunk ki a társaságból 3 embert, azok között biztosan akad kett?, akik nem fogtak kezet?
  (A) 70
  (B) 86
  (C) 92
  (D) 100
  (E) 120

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen M az a személy, aki a legtöbbször fogott kezet a társaságban (vagy legalábbis az, aki egyike a legtöbbet kezet fogó személyeknek), és jelölje M kézfogásainak a számát m. Az az m ember, akivel M kezet fogott, csak a többi 20-m emberrel (köztük M-mel) foghatott kezet, különben lenne olyan hármas, ahol mindenki mindenkivel kezet fogott. Számoljuk most össze a kézfogásokat úgy, hogy mindegyiket mindkét érintett személynél számításba vesszük. Azoknál, akikkel M kezet fogott, összesen legfeljebb m(20-m) kézfogást kaphatunk - m embernél egyenként legfeljebb (20-m)-et. A többieknél legfeljebb m kézfogást számíthatunk, és mivel ?k (20-m)-en vannak, összesen ismét (20-m)m-et kapunk. Ez összesen (20-m)m.2, de így minden kézfogást 2-szer számoltunk, a kézfogások száma tehát legfeljebb (20-m).m. Ez nyilván akkor maximális, ha m=10, és ekkor a társaságban legfeljebb 100 kézfogásra kerülhetett sor.

Ez el is érhet?, ha például 10 n? és 10 férfi volt a társaságban, és minden n? minden férfival kezet fogott. Ekkor jól látható, hogy tetsz?leges 3 személyt kiválasztva közülük lesz két olyan, akik nem fogtak kezet (hiszen azonos nem?ek).


2. feladat. Tíz ember társasjátékot akar játszani, és ehhez a kezd? embert ki akarják sorsolni. A házigazdát megbízzák, hogy tegyen bele egy kalapba néhány piros és néhány fehér golyót. A kalapból ciklikusan, visszatevés nélkül húznak, és aki els?ként pirosat húz, az kezd. Az els? húzó a házigazda. Hogyan töltse meg a kalapot, ha nem nagyon szeretne kezdeni? (A lehet?ségek közül válasszuk ki azt, amely mellett a legkisebb valószín?séggel kezd.)
  (A) 8 fehér, 1 piros
  (B) 8 fehér, 2 piros
  (C) 16 fehér, 1 piros
  (D) 19 fehér, 1 piros
  (E) 20 fehér, 1 piros

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a kalapban n fehér és m piros golyó, továbbá jelöljük p-vel, ill. q-val annak a valószín?ségét, hogy az els?, ill. a második ember húz el?ször pirosat. Könnyen látható, hogy n+m>1 esetén p=\frac{m}{n+m} és q= \frac{n}{n+m} \cdot \frac{m}{n+m-1}, azaz ekkor p-q= \frac{m}{n+m} - \frac{n}{n+m} \cdot \frac{m}{n+m-1} = p \cdot \frac{m-1}{n+m-1}. Ezzel m>0 esetén p\geqq, és egyenl?ség csak m=1 választás mellett lehet. Tehát az eljárás során mindenki legalább akkora valószín?séggel húz pirosat, mint az ?t követ? (ez a m+n=1, m=0 esetben is igaz), és a két valószín?ség csak akkor egyenl?, ha húzás el?tt 0 vagy 1 piros van a kalapban (ha m=0, nyilván p=q=0). Így a házigazda csak annyit tud elérni, hogy ugyanakkora valószín?séggel húzzon pirosat, mint a többiek. Ehhez egyrészt 1 pirosat kell tennie a kalapba, másrészt biztosítania kell, hogy mindenki ugyanannyiszor húzzon. Tehát 10k-1 fehéret kell a piros mellé tennie, ahol k tetsz?leges pozitív egész.

A válaszlehet?ségeket tekintve, csak a 19 fehér, 1 piros kombinációra illik a kapott eredmény.


3. feladat. Egy háromszög oldalai 4,5,8 egységnyi hosszúak. Melyik súlyvonalához van legközelebb a beírt körének középpontja? (Jelölje a háromszög oldalait a=4,b=5,c=8, és az ezekhez az oldalakhoz tartozó súlyvonalakat rendre sa,sb,sc.)
  (A) sa-hoz
  (B) sb-hez
  (C) sc-hez
  (D) sa-hoz és sb-hez
  (E) sa-hoz és sc-hez

Helyes válasz: E

Indoklás: A kérdés eldöntéséhez szükséges három egyez? menet? számítást általában készítjük el?. Legyen az ABC háromszögben a szokásos jelölések mellett c>b, és számítsuk ki az O középpontnak az AA0=sa súlyvonaltól mért da távolságát.

Az A-beli szögfelez? az A0C szakaszon lép ki, ezért O az ACA0 háromszögben van, els? két oldalától \varrho = \frac{2t}{a+b+c} távolságra. Felírjuk az ACA0 háromszög \frac{t}{2} területét az OA,OC,OA0 szakaszokkal való felbontás alapján:

(b+\frac{a}{2}) \frac{\varrho}{2} + \frac{s_a d_a}{2} = \frac{t}{2} = (a+b+c) \frac{\varrho}{4},

amib?l d_a = \varrho \cdot \frac{c-b}{2s_a}.

Ugyanígy, ha a<b, akkor O-nak a súlyvonaltól vett távolsága d_b = \varrho \cdot \frac{c-a}{2s_b}, d_c = \varrho \cdot \frac{b-a}{2s_c}.

A súlyvonal hosszára, az A0-ra való tükrözés útján kapott ABA'C paralelogrammából 4sa2=2b2+2c2-a2=2(a2+b2+c2)-3a2, a másik két súlyvonal esetében pedig levonandónak 3b2-et, ill. 3c2-et veszünk.

A feladat szerint legyen most sorra a=4,b=5,c=8, így 4sa2=162,4sb2=135,4sc2=18. A da,db,dc távolságok helyett könnyebb a négyzeteiket összehasonlítani, másrészt célszer? a közös \varrho2 tényez?t elhagyni, hiszen így a nagyságviszonyok változatlanok maradnak:

 (\frac{d_a}{\varrho})^2 = \frac{(c-b)^2}{4s_a^2} = \frac{9}{162} = \frac{1}{18}, ~~(\frac{d_b}{\varrho})^2 = \frac{16}{135} = \frac{32}{15} \cdot \frac{1}{18} ,~~ (\frac{d_c}{\varrho})^2 = \frac{1}{18} .

Ezek szerint O az sa,sc súlyvonalaktól egyenl? távolságra, sb-t?l pedig távolabb van.


4. feladat. Jelölje k(a) a síkbeli koordinátarendszer azon (x,y) pontjainak a számát, amelyekre 1\leqx\leqa, 1\leqy\leqa, és x,y relatív prím egészek (azaz legnagyobb közös osztójuk 1). Határozzuk meg a következ? összeget: k(\frac{100}{1}) + k(\frac{100}{2}) + k(\frac{100}{3}) + \ldots + k(\frac{100}{99}) + k(\frac{100}{100}).
  (A) 9 800
  (B) 10 000
  (C) 10 640
  (D) 10 800
  (E) 12 200

Helyes válasz: B

Indoklás: A kérdéses összeget általánosan fogjuk meghatározni tetsz?leges pozitív egész n-re, azaz keressük a k(\frac{n}{1}) + \ldots + k(\frac{n}{n}) összeget. Definíció szerint k(\frac{n}{i}) azoknak az (x,y) pontoknak a számát adja meg, amelyekre 1 \leq x \leq \frac{n}{i}, 1 \leq y \leq \frac{n}{i}, és x,y relatív prímek, amit az x'=ix és y'=iy bevezetésével úgy is tekinthetünk, mint azoknak az (x',y') pontoknak a számát, amelyekre 1\leqx'\leqn, 1\leqy'\leqn, és x',y' legnagyobb közös osztója i. Így tehát a k(\frac{n}{1}) + k(\frac{n}{2}) + \ldots + k(\frac{n}{n}) összegben az olyan (x',y') pontokat számláljuk össze, amelyeknek mindkét koordinátája 1 és n közé es? egész szám, mégpedig az (x',y') pontot annál az i-nél, amelyik az x',y' legnagyobb közös osztója.

Másrészt így minden ilyen pontot csak egyszer veszünk számításba, hiszen két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója egyértelm?en meghatározott. Ezeknek a pontoknak a száma n2, ezért k(\frac{n}{1}) + k(\frac{n}{2}) + \ldots + k(\frac{n}{n}) = n^2.


5. feladat. Egy csendes-óceáni törzs nyelve 200 különböz? szóból tev?dik össze. A szavakban csak kétféle bet?, az A és az O fordul el?, és leghosszabb szavuk 8 bet?s. Egyetlen szóból sem kaphatunk másikat úgy, hogy a végér?l néhány bet?t elhagyunk. Legalább hány bet?t tartalmaz a nyelv teljes szójegyzéke?
  (A) 1484
  (B) 1534
  (C) 1544
  (D) 1580
  (E) 1600

Helyes válasz: C

Indoklás: Általánosan viszgáljuk a kérdést k szavas szójegyzékre. Azt mondjuk, hogy egy nyelv prefix, ha megvan a feladatban szerepl? tulajdonsága. Tegyük fel, hogy a törzs nyelvénél kevesebb bet?vel nem állítható össze egy k szavas prefix nyelv teljes szójegyzéke. Egy A-ból és O-ból álló sorozat szabad, ha nem állítható el? úgy, hogy egy - a törzs nyelvében található - szó végér?l néhány bet?t elhagyunk. Jelöljük a legrövidebb szabad sorozat hosszát h-val, a leghosszabb szóét H-val. Mivel a nyelv szavai szabad sorozatok, h\leqH.

Legyen p egy tetsz?leges H bet?s szó, és \overline{p} az a sorozat, amelyet p-b?l úgy kapunk, hogy utolsó bet?je helyére a másik bet?t tesszük. Ha \overline{p} nem lenne szó, p-nek elhagyhatnánk az utolsó bet?jét, és a nyelv prefix maradna. Ez viszont ellentmondana annak a feltevésünknek, hogy kevesebb bet?vel már nem lehet prefix szójegyzéket összeállítani, \overline{p} tehát szó.

Tegyük fel el?ször, hogy h=H. Ekkor minden H elem? sorozat szó, különben az utolsó bet?jét elhagyva is szabad sorozatot kapnánk. Tehát k=2H, és a teljes szójegyzék kH bet?ból áll.

Lássuk be, hogy h<H esetén a különbség csak 1 lehet. Ekkor ugyanis minden h elem? szabad sorozat szó, különben egy tetsz?leges H bet?s szóra kicserélve csökkenthetnénk a bet?k számát a szójegyzékben. Ha viszont p egy h bet?s szó és qA,qO, és q szavakra cserélve a nyelv prefix maradna, és a bet?k száma ismét csökkenne a szójegyzékben, ha H-h>1 volna.

Ha tehát h<H, akkor h értéke csak (H-1) lehet. Jelöljük a h elem? szabad sorozatok számát s-sel. A többi h elem? sorozatból az A és O bet?k hozzáírásával 2-2 H bet?s szót kapunk. Emiatt

k=s+2(2h-s)=2H-s,

és a teljes szójegyzék

hs+H(2h-s)=kH-s

bet?b?l áll.

Összefoglalva, hogy ha 2H a legkisebb 2-hatvány, amelyik nem kisebb k-nál, akkor a nyelv szójegyzéke legalább kH-(2H-k) bet?b?l áll, ami a konkrét feladatban 200.8-(28-200)=1544.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley