KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Állítsunk össze öt kétjegy? számot a 0,1,...,9 számjegyekb?l (mindegyiket egyszer fölhasználva), hogy a kapott számok szorzata a lehet? legnagyobb legyen. Mivel egyenl? az így kapott öt kétjegy? szám összege?
  (A) 384
  (B) 360
  (C) 270
  (D) 234
  (E) 135

Helyes válasz: b

Indoklás: Ahhoz, hogy az öt összeállított szám szorzata a lehet? legnagyobb legyen, mindenképpen az kell, hogy mindegyik számban a tízes helyiérték? jegy nagyobb legyen az egyes helyiérték? jegynél. Ha ez nem így lenne, a számot ,,megfordítva'', a számok szorzata biztosan n?ne.

Így a tíz számjegy közül a legnagyobb, a 9-es biztosan tízes helyiérték?, a legkisebb, a 0 pedig egyes helyiérték?. Megmutatjuk, hogy ennek a két számjegynek egy számban kell szerepelnie. Ugyanis ha a 9 az a számjeggyel, a 0 pedig a b számjeggyel szerepelne együtt, akkor e két szám szorzata kisebb lenne, mintha a 0-t és az a számjegyet felcserélnénk:

(10.9+a)(10.b+0)=900b+10ab<900b+10.a.9=(10.9+0)(10b+a),

hiszen b<9. Így az egyik kétjegy? szám feltétlenül a 90.

Hasonlóképpen a következ? legnagyobb, illetve legkisebb számjegynek, a 8-nak és az 1-nek megint egy számban kell szerepelnie, mivel ha azok a c, illetve d számjegyekkel együtt szerepelnének, akkor az 1-et és c-t felcserélve a szorzat megint csak n?ne:

(10.8+c)(10.d+1)=810d+80+c+10(c-1)d<810d+80+c+10(c-1).8=

(10.8+1)(10.d+c).

Ugyanígy kapjuk azt, hogy a 7 és 2, a 6 és 3, valamint az 5 és 4 számjegyek egy számban fognak szerepelni. Így a keresett öt kétjegy? szám: 90, 81, 72, 63 és 54, összegük pedig 360.


2. feladat. Egy tompaszög? ABC háromszögnek a tompaszög C csúcsából induló súlyvonala a szög BC szárával derékszöget zár be. A szokásos jelöléseket véve milyen összefüggés áll fönn a három oldal között?
  (A) a2+b2=c2
  (B) a^2+\frac{1}{3}b^2=c^2
  (C) 3a2+b2=c2
  (D) 5a2+b2=c2
  (E) a^2+\frac{b^2}{5}=c^2

Helyes válasz: c

Indoklás: Jelöljük az AB oldal felez?pontját F-fel, és tükrözzük erre a pontra a háromszöget.

Az ACF és az ACC' derékszög? háromszögekre felírjuk a Pitagorasz-tételt: a^2+\overline{CF}^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2, illetve a^2+(2\overline{CF})^2=b^2. Az els? egyenlet négyszeresét kivonva a másodikból: 3a2=c2-b2.


3. feladat. Egy nap Mari néni vett egy tyúkot a piacon. Miután a tyúk tojt két tojást, a tyúkot megették vacsorára. Mindkét tojásból tyúk vagy kakas kelt ki. Minden kakast megettek, a tyúkokat viszont csak akkor, ha tojtak két tojást. Ez így ment addig, míg egyszer csak kakasok maradtak, és ezeket is megették. Melyik mondat igaz az alábbiak közül?
  (A) Ugyanannyi kakast és tyúkot ettek meg.
  (B) Eggyel több kakast ettek meg, mint tyúkot.
  (C) Eggyel kevesebb kakast ettek meg, mint tyúkot.
  (D) Kett?vel több tyúkot ettek meg, mint kakast.
  (E) Kett?vel több kakast ettek meg, mint tyúkot.

Helyes válasz: b

Indoklás: Rajzoljuk le az els? tyúktól kiindulva a tyúkok és kakasok lehetséges "családfáját"!

Látható, hogy a három legegyszer?bb esetben eggyel több a kakas, mint a tyúk. Ha ennél terebélyesebb családfa alakul ki, akkor az is felépíthet? szintenként a bemutatott három elem fölhasználásával: az egyik kakast tyúkra cseréljük, és beillesztjük a három bemutatott családfarészlet egyikét.

A három legegyszer?bb esetben a kakasok száma eggyel nagyobb a tyúkok számánál. Ugyanakkor minden lépésnél, amikor egy tyúkot kakasra cserélünk, és a három alapeset egyiket tesszük a helyére a tyúkok és kakasok száma ugyanannyival n?. Tehát a tyúkok száma eggyel mindig kevesebb marad.


4. feladat. Oldjuk meg az xyz+xy+xz+yz+x+y+z=2006 egyenletet a pozitív egész x, y, z számhármasok halmazán! Mivel egyenl? az x+y+z összeg?
  (A) 231
  (B) 229
  (C) 226
  (D) 221
  (E) 220

Helyes válasz: c

Indoklás: Az egyenlet mindkét oldalához 1-et adva, a bal oldal szorzattá alakítható:

xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1=x(yz+y+z+1)+(yz+y+z+1)=(x+1)(yz+y+z+1)=(x+1)(y+1)(z+1).

Így az eredeti egyenlettel ekvivalens a következ?:

(x+1)(y+1)(z+1)=2007.

Az x, y és z értéke a feladat szerint pozitív egész, azaz x+1, y+1 és z+1 egynél nagyobb természetes számok. Értéküket tehát úgy kaphatjuk meg, hogy 2007-et három, egynél nagyobb természetes szám szorzatára bontjuk. Mivel 2007 törzstényez?s felbontása 3.3.223, azért x, y, z értéke valamilyen sorrendben 2, 2 és 222. Ezek összege 226.


5. feladat. Egy konvex négyszög területe 32 cm2, egyik átlója és a két egymással szemközti oldala hosszúságának összege 16 cm. Milyen hosszú a négyszög másik átlója?
  (A) 4\sqrt2
  (B) 5\sqrt2
  (C) 6\sqrt2
  (D) 7\sqrt2
  (E) 8\sqrt2

Helyes válasz: e

Indoklás: Egy konvex négyszögben az egyik átlóból és két szemközti oldalból mindig egy töröttvonal állítható össze. Jelöljük a szóban forgó adatokból összeállítható töröttvonal csúcsait rendre A-val, B-vel, C-vel és D-vel. Mivel AD a négyszög másik átlója, az ABCD töröttvonal úgy áll, hogy az AD és BC szakaszok metszik egymást. Jelöljük még az ABBCCD szakaszok hosszát rendre xyz-vel, akkor x+y+z=16, és az ABCBCD háromszögek területének összege 32. Ez utóbbi legfeljebb (xy+yz)/2=y(x+z)/2, ami az y és (x+z) számok számtani és mértani közepe közti egyenl?tlenség miatt legfeljebb \frac{1}{2}\left(\frac{16}{2}\right)^2, és ez épp 32. Emiatt y=x+z=8, és az ABCBCD háromszögek derékszög?ek. Tehát AD^2=y^2-(x+z)^2=2\cdot{8}^2,~AD=8\sqrt{2} az egyetlen lehetséges érték a másik átló hosszára.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley