KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Egy szabályos nyolcszög másod-, ill. harmadszomszédos csúcsait összeköt? átlói egy-egy konvex nyolcszöget határoznak meg. Mennyi ezek területének aránya?


  (A) \approx1.68:1
  (B) \approx2.40:1
  (C) \approx2.47:1
  (D) \approx3.41:1
  (E) \approx3.67:1

Helyes válasz: D

Indoklás: Az átlók által meghatározott két nyolcszög is szabályos, mert az eredeti nyolcszög középpontja körüli 45°, 90°, \ldots, 315°-os forgatások a kis nyolcszögeket is önmagukba viszik át. Ezért a két nyolcszög területének aránya egy-egy oldaluk négyzetének arányával egyezik meg, elegend? tehát ezek hosszát meghatároznunk.

Legyen az eredeti nyolcszög egységnyi oldalú. A szabályos nyolcszög tulajdonságaiból következ?en HBD\angle=90° és HD||AC, tehát az LBK háromszög egyenl? szárú és derékszög?. Ezért ha LK=a, akkor BL = \frac{a\sqrt2}{2}. Továbbá BAC\angle=ABH\angle, hiszen a szabályos nyolcszög köré írt körben ugyanolyan hosszú húrokhoz tartozó kerületi szögek. Így a BAL háromszög egyenl? szárú: AL = BL = \frac{a\sqrt2}{2}. Ha M a KL szakasz felez?pontja, akkor BM = ML = \frac{a}{2}. A BMA háromszög derékszög?, ezért a Pythagoras-tétel szerint BM2+MA2=AB2, vagyis (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2} + \frac{a\sqrt2}{2})^2 = 1. Ebb?l kifejezhetjük a szomszédos csúcsokat összeköt? átlók által meghatározott nyolcszög oldalát: a = \sqrt{2-\sqrt2}.

Jelöljük a harmadszomszédos csúcsokat összeköt? átlók által meghatározott nyolcszög oldalát b-vel. A szabályos nyolcszög tulajdonságaiból következik, hogy az egybevágó PQR és STU háromszögek egyenl? szárúak és derékszög?ek, ezért PQ = ST = \frac{b\sqrt2}{2}. A BCTP négyszög pedig téglalap, amiért PT=BC=1. Így 1 = PT = PQ + QS + ST = \frac{b\sqrt2}{2} + b + \frac{b\sqrt2}{2}, azaz b=\sqrt2 - 1.

Tehát a nyolcszögek területének aránya a^2 : b^2 = (2-\sqrt2) : (\sqrt2 - 1)^2 = (2+\sqrt2) : 1 \approx 3.41 : 1.


2. feladat. Az ABC háromszög A csúcsából húzott magassága harmonikus közepe annak a két szakasznak, amelyekre a magasság a BC oldalt bontja. Mennyi tan \beta+tan \gamma? (\beta,\gamma a háromszög B, ill. C csúcshoz tartozó szögei)
  (A) \sqrt{2}
  (B) \frac32
  (C) 2
  (D) \sqrt{3} + 1
  (E) 2\sqrt{2}

Helyes válasz: C

Indoklás: A feladat feltételei szerint az A csúcsból húzott magasság hossza \frac{2pq}{p+q}, ahol p és q az a két szakasz, amelyekre a magasság a BC oldalt bontja. A feltételb?l az is következik, hogy \beta és \gamma hegyesszögek, ezért \tan \beta + \tan \gamma = \frac{\frac{2pq}{p+q}}{p} + \frac{\frac{2pq}{p+q}}{q} = 2.


3. feladat. Az egész számokon értelmeztünk egy, a továbbiakban *-gal jelölt m?veletet, amelyre teljesülnek:

(a) x*0=x minden x egészre

(b) 0*y=-y minden y egészre

(c) [(x+1)*y]+[x*(y+1)]=3(x*y)-xy+2y minden x,y egészre

Határozzuk meg a 20*11 m?velet eredményét!
  (A) 229
  (B) 385
  (C) 390
  (D) 462
  (E) 2011

Helyes válasz: A

Indoklás: Az y szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy ha y\geq0, akkor

x*y=x(y+1)-y.              (1)

Az (a) feltétel szerint (1) tetsz?leges x mellett teljesül, ha y=0. Legyen most y\geq0 és tegyük fel, hogy (1) minden x-re teljesül. A (c) feltételb?l

x*(y+1)=3(x*y)-xy+2y-[(x+1)*y].

A jobb oldal értéke az indukciós feltevés szerint 3[x(y+1)-y]-xy+2y-[(x+1)(y+1)-y], ahonnan rendezés után xy+2x-(y+1)=x(y+2)-(y+1) adódik, ami éppen x*(y+1)-nek az (1) állítás szerinti alakja. Ezzel az indukciós bizonyítást befejeztük.

Ezek után már könnyen adódik 20*11=20.12-11=229.


4. feladat. Hány olyan 1-nél nagyobb természetes szám létezik, amelyet bármely nála kisebb pozitív egész számmal osztva véges tizedestörtet (vagy egész számot) kapunk eredményül?
  (A) 3
  (B) 6
  (C) 10
  (D) 14
  (E) végtelen sok

Helyes válasz: A

Indoklás: Egy tört tizedestört alakja pontosan akkor véges, ha egyszer?sített alakjában a nevez? prímtényez?s felbontásában csak a 2 és az 5 szerepel. Ha n egy megfelel? pozitív egész, akkor mivel n és n-1 relatív prímek, ezért n-1=2u.5v. Az n és az n-2 számok legnagyobb közös osztója 1 vagy 2 lévén, n-2=2p.5q. Azonban n-1 és n-2 is relatív prímek, tehát (n paritásától függ?en) vagy n-1=2u és n-2=5q, vagy pedig n-1=5v és n-2=2p.

Ha n\leq5, akkor a fentiekb?l n=3, vagy n=2 adódik, és mindkett? megoldása a feladatnak. Ha n>5, akkor n-1, ill. n-2 valódi hatványai 5-nek, így n-3 biztosan nem osztható 5-tel, másfel?l n és n-3 egyaránt oszthatók 3-mal, emiatt csak n-3=3.2a lehetséges.

A második esetben (ha n páros) n-3 páratlan, így 2a=1, azaz n-3=3, tehát n=6, ami valóban megoldás.

Ha n páratlan, akkor n-1=2u és n-3=3.2a miatt 2(2u-1-1)=2u-2=3.2a, tehát a=1, azaz n=9. Ekkor azonban \frac97 tizedestört alakja nem véges. (Valójában ez az egyetlen kivétel.) Ezzel a keresett számok 2,3,6.


5. feladat. Egy urnában 101 golyó van, közülük pontosan 3 piros. A golyókat visszatevés nélkül egyesével kihúzzuk. Hányadik helyen a legvalószín?bb a második piros golyó kihúzása?
  (A) 33
  (B) 50
  (C) 51
  (D) 66
  (E) 67

Helyes válasz: C

Indoklás: A piros golyókat összesen \binom{101}{3}-féleképpen húzhatjuk ki az urnából, hiszen a 101 hosszú kihúzási sorozatból 3 tagot ennyiféleképpen vehetünk pirosnak. Ezen esetek persze egyforma valószín?séggel következhetnek be. Ha a második piros golyót a k-adik helyen húzzuk ki (1<k<101), akkor az el?tte kihúzott k-1, és az utána kihúzott 101-k golyó között egy-egy piros van. Ez azt jelenti, hogy az els? és a harmadik piros golyó helye (k-1)(101-k)-féleképpen adódik, éppen ennyi esetben kerülhet tehát második golyó a k-adik helyre.

Ezzel a kérdéses valószín?ség ott lesz a legnagyobb, ahol a (k-1)(101-k) szorzat felveszi a maximumát. Átalakítva

(k-1)(101-k)=-k2+102k-101=-(k-51)2+2500.

Innen már jól látható, hogy ez k=51 esetén lesz maximális. Tehát a második golyót legvalószín?bben az 51-edik helyen húzhatjuk ki.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley