KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 1-6 osztály

1. feladat. Kinga leírta a füzetébe azokat a háromjegy? pozitív egész számokat, amelyekben a számjegyek összege páratlan, és a nála 1-gyel nagyobb szám számjegyeinek összege is páratlan. Összesen hány különböz? számot írt le?
  (A) 20
  (B) 21
  (C) 40
  (D) 41
  (E) 80

Helyes válasz: D

Indoklás: Keressük azokat a háromjegy? x számokat, amelyeknél x és x+1 számjegyösszege is páratlan. Ha x nem 9-re végz?dik, akkor x+1 jegyösszege 1-gyel nagyobb, mint x-é, így nem lehet mindkett? páratlan. Ha x 9-re végz?dik, akkor három lehet?séget kell vizsgálnunk aszerint, hogy 1, 2 vagy 3 darab 9-es áll a szám végén. Ha 3 darab, akkor x=999 megfelel? lesz, ez tehát 1 jó megoldás. Ha x 2 darab 9-esre végz?dik, akkor a százasok helyén páratlan számnak kell állnia, így viszont x+1-ben páros szám áll itt, tehát x+1 számjegyösszege páros lesz, ez nem jöhet szóba. Ha pedig 1 darab 9-esre végz?dik x, akkor a százas és a tízes helyiértéken álló számjegyek összegének párosnak kell lennie. Ha a tízesek száma páratlan, akkor a százasoké is, így x+1-ben a százasok száma páratlan, a tízeseké páros lesz, ez tehát jó megoldás. Ezek a számok a következ?k: 119,139,159,179,319,339,\ldots, darabszámuk 5×4=20. Ha pedig a tízesek száma páros, a százasoké is páros, így hasonlóan jó megoldást kapunk, mégpedig a következ? számokat: 209,229,249,269,289,409,429,\ldots, darabszámuk 4×5=20. Összesen tehát 41 szám felel meg a feltételeknek.

(Megjegyzés: a fentinél rövidebben kapjuk a megoldást, ha észrevesszük, hogy amennyiben az x szám k db 9-esre végz?dik, akkor x+1 számjegyösszege 9k-1-gyel kisebb x jegyösszegénél, ebb?l adódóan k értéke csak páratlan lehet.)


2. feladat. Olivér egy mérleggel kísérletezett, és a következ?ket állapította meg: 5 kis kocka olyan nehéz, mint 7 henger; 9 henger olyan nehéz, mint 3 nagy kocka; és 6 golyó olyan nehéz, mint 2 nagy kocka. Ezen kívül 4 golyó tömege megegyezik 100 gramm cukoréval. Hány gramm a tömege egy kis kockának?
  (A) 30
  (B) 35
  (C) 40
  (D) 45
  (E) 50

Helyes válasz: B

Indoklás: Ha 4 golyó tömege 100 gramm, akkor 1 golyó tömege 25 gramm. A 6 golyó tömege 150 gramm, ez egyenl? 2 nagy kocka tömegével, vagyis 1 nagy kocka tömege 75 gramm. A 9 henger tömege egyenl? 3 nagy kocka tömegével, azaz 225 grammal, így 1 henger tömege 25 gramm. A 7 henger tömege pedig 175 gramm, amely megegyezik 5 kis kocka tömegével, tehát 1 kis kocka tömege 35 gramm.


3. feladat. Máté egy szabályos háromszöget és egy szabályos hatszöget rajzolt a füzetébe, amelyeknek ugyanakkora a kerülete. A háromszög területe 2 egység. Hány egység a hatszög területe?
  (A) 2
  (B) 3
  (C) 3,5
  (D) 4
  (E) más válasz

Helyes válasz: B

Indoklás: Bontsuk fel mindkét alakzatot szabályos háromszögekre az ábrának megfelel?en!

Ha a szabályos háromszöget a oldalú kisebb szabályos háromszögekre bontottuk, akkor kerülete 6a. Ugyanekkora a hatszög kerülete is, tehát az ábra alapján a hatszöget is a oldalú szabályos háromszögekre bontottuk. Mivel a nagy háromszög területe 2 egység, amely 4 kis szabályos háromszög területével egyenl?, ezért egy kis szabályos háromszög területe 0,5 egység, így a hatszög területe 3 egység.


4. feladat. Adél elosztotta 6-tal az 1\times7\times13\times19\times\ldots\times1999\times2005\times2011 szorzatot. Mennyit kapott maradékul?
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: A

Indoklás: Vizsgáljunk el?ször rövidebb szorzatokat! Az 1 6-tal osztva 1 maradékot ad, hasonlóképpen az 1×7=7 is. A szorzatban szerepl? tényez?k mind 1 maradékot adnak 6-tal osztva, megmutatjuk, hogy ekkor a szorzatuk is 1 maradékot fog adni. Tekintsük például a 7×13 szorzást. Ez felírható (6+1)×(12+1) alakban. Ha felbontjuk a zárójeleket, a keletkez? négy szorzat közül három osztható lesz 6-tal (6×12, 6×1, 1×6), így a maradék 1×1=1 lesz. Ha a 7 és a 13 helyett nagyobb, 6-tal osztva szintén 1 maradékot adó számokat szorzunk össze, hasonlóképpen szintén 1 lesz a maradék, így a teljes szorzat maradéka is 1.


5. feladat. Attila leírta közvetlenül egymás után a természetes számokat 1-t?l 100-ig. Az így létrejött számsor összeolvasásával kapott 123456789101112\ldots99100 számból kihúzott 10 számjegyet úgy, hogy a megmaradó számjegyek összeolvasásával kapott szám a lehet? legnagyobb legyen. Mennyi az így kapott szám jegyeinek összege?
  (A) 788
  (B) 789
  (C) 863
  (D) 864
  (E) 875

Helyes válasz: D

Indoklás: El?ször határozzuk meg az eredeti szám jegyösszegét. A leírt számokban az egyes helyiértéken 1-t?l 9-ig minden végz?dés 10-szer fordul el?, ezek összege 10×45=450. A tízes helyiértéken 1-t?l 9-ig minden számjegy szintén 10-szer fordul el?, ezen kívül még a 100-ban a százas helyiértéken leírunk egy 1-est. Tehát a számjegyösszeg 450+450+1=901.

Azt szeretnénk, hogy a kihúzás után minél nagyobb számot kapjunk, így a szám elején a lehet? legnagyobb számjegynek kell állnia, ami a 9-es. Tehát a szám elejér?l az 12345678 részt biztosan ki kell húznunk. Ezen kívül még további két számjegyet húzhatunk ki a 10111213\ldots kezdet? számból, ekkor pedig úgy kaphatjuk a legnagyobb eredményt, ha a 0-t, valamint az utána következ? három 1-es egyikét húzzuk ki, hiszen ebben az esetben a megmaradó szám kezdete 111213\ldots, minden más esetben ennél kisebb számot kapnánk. A kihúzott számjegyek összege tehát 1+2+3+4+5+6+7+8+0+1=37, így a kapott szám számjegyösszege 901-37=864.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley