KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. A kör kerületének egy pontjából kiinduló két húrral három egyenl? terület? részre akarjuk osztani a kört. Határozzuk meg közelít?leg a két húr közti szöget!
  (A) \approx29°87'
  (B) \approx29°98'
  (C) \approx30°17'
  (D) \approx30°44'
  (E) \approx31°02'

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a k kör középpontja O, sugara 1, a keresett húrok AB és AC, a köztük lév? szög x. A két húr egyenl?, mert a széls? körszeletrészek csak így lehetnek egyenl?k, ugyanis a húr növekedésével a levágott (kisebb) körszelet területe n?. Eszerint elég x-et úgy meghatároznunk, hogy az OBAC deltoid és az OBC körcikk területének összege egyenl? legyen a k kör területének harmadrészével.

Az OAB háromszög OA-ra mer?leges magassága sin x, mert BOC\angle=2x, a körcikk területe pedig x, így az (1) ~~~ x + \sin x = \frac{\pi}{3} egyenlet megoldását keressük. (Itt használtuk a szinusz-tételt, továbbá a sin (\pi-x)=sin x azonosságot.) Könnyen adódik, hogy x > \frac{\pi}{6}, és csak kevéssel haladja meg e korlátot, mert x = \frac{\pi}{6} esetén a körcikk \frac16-od része a k területének, a deltoid területe pedig a körcikkbe írt OBDC deltoidéval egyenl?, így a középs? rész csak a BD, DC húrokon kívüli szeletekkel kevesebb, mint k harmada.

Valóban, x=31° esetén sin x=0,515, (1) bal oldala 1,0561, vagyis már 0,0089-del több a jobb oldalnál. Mivel x=30° esetén még a bal oldal kisebb \frac{\pi}{6} - 0,5 \approx 0,0236-del, az 1°-ra es? növekedés 0,0325. E kis közben sin x növekedését lineárisnak véve újabb közelít? értéknek 30 + \frac{0,0236}{0,0325} = 30,75°-ot vehetünk, azaz x=30°43,8'-et.

Megj.: matematikai programmal számolva minimális az eltérés, x értéke közelít?leg 0,536267 radián, ami a fentihez képest 0,25' eltérést jelent, de szögpercre kerekítve pontosan a megoldásban szerepl? érték.


2. feladat. Egy egységnyi oldalú négyzet egyik csúcsát az e egyenes elválasztja a többi három csúcstól. A négyzetben szemben fekv? két csúcspár e-t?l mért távolságaiból képezett szorzatok egyenl?k. Mekkora a négyzet középpontjának e-t?l mért távolsága?
  (A) \approx0,3
  (B) 0,5
  (C) \frac23
  (D) \approx0,45
  (E) \frac34

Helyes válasz: B

Indoklás: Legyen a kérdéses négyzet ABCD, a többiekt?l elválasztott csúcs A, a csúcsok és az O középpont e-t?l mért távolsága rendre a,b,c,d,x. A feladat szerint ac=bd. Bármilyen megszorítás nélkül feltehetjük, hogy b\leqd. Így e a DB átlónak B-n túli meghosszabbítását metszi, b=d esetén pedig párhuzamos vele. Húzzuk meg O-n át az e-vel párhuzamos e' egyenest, és legyen ezen a csúcsok vetülete rendre A',B',C',D'. b<d esetén B az e'-nek azon a partján van, mint A, az OAA', OBB', OCC', ODD' derékszög? háromszögek egybevágók, mert átfogójuk \frac{1}{\sqrt2} és hegyesszögeik egyenl?k. Legyenek a befogóik m és n, ahol m>n. Ezekkel

a+x=AA'=CC'=c-x=m,

x-b=BB'=DD'=d-x=n,

így

a=m-xc=m+xb=x-nd=x+n.

Ezeket a feltevésbe helyettesítve

m^2 - x^2 = x^2 - n^2, ~~ x^2 = \frac12 (m^2 + n^2) = \frac14, ~~ x=\frac12.

Ha pedig b=d, akkor e' azonos a BD egyenessel, tehát x=b=d, a+x = c-x = \frac{1}{\sqrt2}, innen a=\frac{1}{\sqrt2} - x, c = \frac{1}{\sqrt2} + x, és a feltevésb?l ismét x= \frac12.


3. feladat. Legyenek az A,B,C,D valós számok olyanok, hogy

\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1} = \frac{1}{(x+1)^2(x^2+x+1)}

fennálljon minden (-1)-t?l különböz? x valós számra. Határozzuk meg az A,B,C,D számok szorzatát!
  (A) 1
  (B) -2
  (C) 12
  (D) 24
  (E) 9

Helyes válasz: A

Indoklás: Ha létezik a kívánt számnégyes, akkor a nevez?k legkisebb közös többszörösével beszorozva az

A(x+1)(x2+x+1)+B(x2+x+1)+(Cx+D)(x+1)2=1

azonosság is teljesül, ami x hatványai szerint rendezve

(A+C)x3+(2A+B+2C+D)x2+(2A+B+C+2D)x+(A+B+D)=1.

Ennek alapján az

(2)    A + C = 0
(3)    2A + B + 2C + D = 0
(4)    2A + B + C + 2D = 0
(5)    A + B + D = 1

Vonjuk ki (3)-ból egyrészt (2) kétszeresét, másrészt (4)-et, ezzel

(6)   B+D=0,

és

(7)   C-D=0.

(5) és (6) alapján A=1, így (2)-b?l C=-1, (7)-b?l D=-1, végül pedig (6)-ból B=1. Eszerint a kívánt számnégyes létezik, és ezek szorzata 1.


4. feladat. Egy n napig tartó (n>1) sportversenyen összesen m darab érmet osztottak ki. Els? nap 1 érem és a megmaradó érmek \frac17-ed része került kiosztásra, a másodikon 2 érem és a még fennmaradók \frac17-ed része és így tovább. Végül az utolsó napon kiosztották a még visszamaradt, pontosan n darab érmet. Mennyi a kiosztott érmek számának számjegyösszege?
  (A) 7
  (B) 9
  (C) 12
  (D) 13
  (E) 15

Helyes válasz: B

Indoklás: Az utolsó napra maradt n éremb?l kiszámíthatjuk, hogy mennyi maradt az el?z?re, abból az el?z? nap kiadott érmek számát, és így haladva végül a versenyen kiadott összes érmek számát. Általában, ha a k-adik nap reggelén mk érem volt, és a nap folyamán dk érmet adtak ki, akkor d_k = k + \frac{m_k - k}{7} és

(1) ~~~ m_{k+1} = m_k - d_k = m_k - k - \frac17 (m_k - k) = \frac67 (m_k - k).

Tehát m_k = k + \frac76 m_{k+1}. (Mostantól az egyszer?ség kedvéért jelölje q a \frac76 törtet.) Így kapjuk sorban haladva, hogy

m_n = n, ~~ m_{n-1} = (n-1) + q n, ~~ m_{n-2} = (n-2) + q (n-1) + q^2 n, ~~ \ldots

Végül az összes (az els? reggel még ki nem osztott) érmek száma m=m_1 = 1 + 2 q + 3 q^2 + \ldots + n q^{n-1}. Ezt az összeget egyszer?bb alakra hozhatjuk úgy, hogy mindig eggyel kevesebb tagú mértani sorokra bontjuk, ezeket egyenként összegezzük, majd az egészet összeadva kapjuk a teljes összeget. Így a következ?t kapjuk:

m = \frac{1}{q-1} \cdot (nq^n - (1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1})) = \frac{1}{q-1} (nq^n - \frac{q^n - 1}{q-1}) = \frac{nq^{n+1} - (n+1)q^n + 1}{(q-1)^2} =

= \frac{n \cdot 7^{n+1} - (n+1) \cdot 7^n \cdot 6 + 6^{n+1}}{6^{n-1}} = \frac{7^n (n-6)}{6^{n-1}} + 6^2

Mivel m pozitív egész szám, ezért 6 és 7 relatív prímsége miatt \frac{n-6}{6^{n-1}} egész. Itt a számláló kisebb a nevez?nél (n-1>0), és triviális becsléssel 6^{n-1}-1 = (6-1) (6^{n-2} + 6^{n-3} + \ldots + 6 + 1) \geq 5 \cdot (n-1). (Innen persze 6n-1\geq1+5(n-1)>n-1.) Másrészt n legalább 6, hiszen 6-szorosa az n-1-edik napon az n-1 érem kiosztása után maradt érmek hetedének (ami szintén egész kell, hogy legyen). Az \frac{n-6}{6^{n-1}} szám tehát egész, 1-nél kisebb és nemnegatív, ezért 0. Ezzel n=6, és az érmek száma 36, így a számjegyösszeg 9.


5. feladat. Az A,B,C,D pontok egy szabályos sokszög egymás utáni csúcsai, és fennáll \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}. Hány oldalú a sokszög?
  (A) 7
  (B) 8
  (C) 9
  (D) 11
  (E) 12

Helyes válasz: A

Indoklás: Az egyenl?séget átalakítva (2)   AB:AC=AD:(AC+AD). Mérjük rá az AD átlót AC-nek a C-n túli meghosszabbítására, s legyen a végpont V. Ekkor AV=AC+CV=AC+AD, a (2) aránypár utolsó tagja. Mivel másrészt BAC\angle=DAC\angle, ezért (2) miatt ABC és ADV hasonló háromszögek. Ám az els?ben BC=AC, emiatt a másodikban DV=DA=CV, tehát CDV is egyenl? szárú háromszög, továbbá CVD\angle=CAD\angle.

Eszerint V-nek a CD egyenesre való U tükörképe rajta van a kérdéses S sokszög köré írt k körön, és S-nek az ABCD\ldots körüljárást folytatva utolsó csúcsa, hiszen a tükrözés miatt a CVDU négyszög rombusz. UD a k-nak AC-vel párhuzamos húrja, tehát AU=CD, mint párhuzamos húrok közti ívekhez tartozó húrok. Továbbá DU=CV=DA, tehát az AU sokszögoldal f felez? mer?legese átmegy D-n és k középpontján. Így az ABCD töröttvonalat f-re tükrözve az A csúcs U-ba megy át, D helyén marad, a B,C csúcsok pedig S hiányzó csúcsaiba mennek át. El?állítottuk tehát S összes csúcsát, 7 csúcsot kaptunk, S oldalainak száma tehát csak 7 lehet. A fentiek alapján pedig az is világos, hogy a szabályos 7-szög eleget tesz a feladat feltételének.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley