KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy munkát a C és D csoport együtt végzett el. Hány nap alatt készültek el, ha tudjuk, hogy a C csoport egyedül 8 nappal kés?bb fejezte volna be a munkát, D-nek pedig 3-szor több id?re lett volna szüksége, hogy elkészüljön?
  (A) 10
  (B) 12
  (C) 13
  (D) 16
  (E) 17

Helyes válasz: d

Indoklás: Ha a C csoport 1 nap alatt c mennyiség? munkát végez el, a D csoport pedig d mennyiség?t; és x nap alatt készültek el a munkával, akkor felírható a következ? összefüggés:

x(c+d)=(x+8)c=3xd.

Az x(c+d)=3xd egyenl?ségb?l 3d=c+d, vagyis 2d=c. Ezt felhasználva az (x+8)c=3xd egyenletb?l x=16 adódik.


2. feladat. Ha a tízes alapú számrendszerben az 1331 szám mindegyik szomszédos jegypárja közé ugyanannyi 0 jegyet írunk, köbszámot kapunk. Mely más alapszámú számrendszerekben érvényes ez az állítás?
  (A) nincs más ilyen számrendszer
  (B) csak ahol az alap felírható 2p5q alakban (p,q\geq1)
  (C) csak ahol az alap felírható pq alakban, ahol p és q különböz? prímek
  (D) minden, legalább 4 alapú számrendszerben
  (E) minden számrendszerben

Helyes válasz: d

Indoklás: Az x alapú számrendszerben

1\,\underbrace{00\ldots0}_k\,3\,\underbrace{00\ldots0}_k\,3\,\underbrace{00\ldots0}_k\,1
=x^{3k+3}+3\cdot x^{2k+2}+3\cdot x^{k+1}+1=(x^{k+1}+1)^3.

Tehát mindig köbszámot kapunk. Mivel a számjegyek között szerepel a 0, az 1 és a 3, ezért az alap legalább 4.


3. feladat. Adott az ABCD konvex négyszög. Mi azon P pontok mértani helye a négyszög belsejében, amelyekre az PBCD és PBAD (esetleg elfajuló) négyszögek területe egyenl??
  (A) nincs ilyen pont
  (B) az átlók metszéspontja
  (C) egy körív
  (D) egy szakasz
  (E) két szakasz

Helyes válasz: d

Indoklás: Húzzuk be a BD átlót, és hasonlítsuk össze az ABD és a CDB háromszög területét.

Ha egyenl? a területük, akkor a megfelel? P pontok a BD átló pontjai (ekkor elfajuló négyszögeket kapunk).

Ha nem egyenl?, hanem mondjuk az ABD háromszög területe nagyobb, akkor legyen a terület különbsége t: tABD-tCBD=t. Húzzunk párhuzamost BD-vel úgy, hogy ha a P pont rajta van ezen a párhuzamoson, akkor t/2=tPBD teljesüljön. (A párhuzamos távolsága BD-t?l t/BD.) Ekkor ugyanis tPBAD=tABD-t/2 és tPBCD=tBCD+t/2, és így tPBAD-tPBCD=tABD-tCBD-t=t-t=0, a két négyszög területe egyenl?.

A P pontok mértani helye a párhuzamos ABCD négyszögbe es? szakasza.


4. feladat. Egy vállalat 180 tonna teher elszállítására gépkocsikat igényelt, amelyeket egyenl?en terhelve egy fordulóban végezheti el a szállítást. A kocsik közül azonban a szállítás napján hármat más, sürg?sebb munkára rendeltek ki. Emiatt a megmaradt kocsik mindegyikére a tervezettnél 2 tonnával több terhet raktak fel, és így a szállítást mégis egy fordulóban végrehajtották. Hány kocsit igényelt a vállalat?
  (A) 12
  (B) 16
  (C) 18
  (D) 20
  (E) nem egész szám az eredmény, nem lehetséges

Helyes válasz: c

Indoklás: Az igényelt gépkocsik számát x-szel jelölve az eredeti terv szerint minden kocsi 180/x tonna terhet szállított volna. A módosítás miatt a terhelés 180/(x-3) lett, ez 2 tonnával nagyobb a tervezettnél, tehát

\frac{180}{x-3}=\frac{180}{x}+2.

A feladatnak csak úgy van életszer? értelme, ha x>3. A törteket eltávolítva rendezés után

2x2-6x-540=0.

Az igényelt gépkocsik száma a pozitív gyök:

x=\frac{6+\sqrt{6^2+4\cdot2\cdot540}}{4}=18.


5. feladat. Az ABCD téglalap alapú gúla E csúcsa az A csúcs fölött van. AB=4 cm. Mekkora a BC él, ha BCE\sphericalangle=60^\circ és ADE\sphericalangle=45^\circ?
  (A) 4\sqrt3 cm
  (B) \sqrt8 cm
  (C) \sqrt3 cm
  (D) 4 cm
  (E) 8 cm

Helyes válasz: b

Indoklás: Az EA egyenes mer?leges az ABCD lapra, tehát annak minden egyenesére, így BC-re is. A BC egyenes így mer?leges AE-re, másrészt mer?leges AB-re is, az ABE lap két nem párhuzamos egyenesére, tehát mer?leges az ABE lapra; ennélfogva BC derékszöget zár be BE-vel.

Az egyenl? hosszú BC és AD él hosszát x-szel jelölve az ADE egyenl? szárú derékszög? háromszögb?l AE=x, másrészt a C-nél 60o-os hegyes szöget tartalmazó BCE derékszög? háromszögb?l BE = BC\sqrt{3} = x\sqrt{3}. Így az ABE derékszög? háromszögb?l

x^2 + 16 = 3x^2,\quad x = \sqrt{8} \approx 2{,}83~{\rm cm}.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley