KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy úttör? rajnak egy 255,3 m-es kötéllel olyan ötszöget kell körülhatárolnia, melyet egyik átlója egy téglalapra és egy egyenl? szárú derékszög? háromszögre vág szét, és amelynek a területe a lehet? legnagyobb. Mekkora legyen az átló?
  (A) \frac{255,3}{1+\sqrt{2}}
  (B) \frac{255,3}{1+\sqrt{3}}
  (C) \frac{255,3 \cdot \sqrt{2}}{4}
  (D) \frac{255,3}{1+2\sqrt{2}}
  (E) \frac{255,3 \cdot (1+\sqrt{2})}{4}

Helyes válasz: D

Indoklás: Legyen a szóban forgó átló hossza x (ez egyben az ötszög egyik oldalának hossza), a téglalap másik oldala z, így az egyenl? szárú derékszög? háromszög befogója \frac{x}{\sqrt2}. Az ötszög kerülete 2z + x + 2\frac{x}{\sqrt2} = 255,3 = k. Ebb?l z=
\frac{k-(1+\sqrt2)x}{2} és az ötszög területe T= xz +
\frac{x^2}{4} = \frac14 [2kx - (1+2\sqrt2)x^2] =
\frac{-1-2\sqrt2}{4} x^2 + \frac{k}{2} x. Tehát azt az x értéket keressük, amire T maximális, ekkor pedig x=
\frac{255,3}{1+2\sqrt2}.


2. feladat. Egy üzemben négy dolgozó között egy kerek százasokban megállapított összeget osztanak ki jutalom gyanánt. Közlik velük, hogy választhatnak két elv szerinti felosztás között. Az els? elv szerint az összeget havi fizetéseik arányában osztanák fel, a második elv szerint az eddig munkában eltöltött éveik arányában. Mindegyik dolgozó a részére kedvez?bb elvre szavazott, így a szavazás nem hozott döntést. Végül megegyeztek, hogy mindenki a két elv szerinti jutalmának átlagát kapja, 10 Forintra kerekítve. Így a legfiatalabb 980 Forintot kapott. Mennyit kaptak a többiek összesen, ha egymás után 14, 17, 21, illet?leg 31 éve dolgoznak, és a mostani fizetésük sorra 1500 Ft, 1600 Ft, 1800 Ft, 2300 Ft?
  (A) 4020
  (B) 4120
  (C) 4220
  (D) 4320
  (E) 4420

Helyes válasz: C

Indoklás: Ha a jutalom összegét a fizetések arányában osztanák szét, akkor az egyes dolgozók rendre az összeg \frac{15}{72}, \frac{16}{72}, \frac{18}{72}, \frac{23}{72} részét kapnák, a munkában eltöltött évek száma arányában történ? felosztás esetén pedig rendre \frac{14}{83}, \frac{17}{83}, \frac{21}{83}, ill. \frac{31}{83} részét. A kétféle hányadrészek átlaga rendre \frac12 \left( \frac{15}{72} + \frac{14}{83} \right)=
\frac{2253}{11952}, \frac{2552}{11952}, \frac{3006}{11952}, \frac{4141}{11952}, ezekb?l a megállapodás szerint kifizetett jutalmakat úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk az átlagokat a szétosztandó x összeggel és a szorzatokat 10 Forintra kerekítjük.

A legfiatalabb jutalmazott részére a mondott szorzás útján 975 és 985 Ft közötti értéknek kellett adódnia, mert a közölt kerekítési elv szerint ezekb?l az értékekb?l adódik 980 Ft. Eszerint 975 \leq \frac{2253}{11952} x \leq 985 (az egyenl?séget mindkét helyen megengedjük, mert 980-ban a tízesek száma páros). Ezt x együtthatójának reciprokával szorozva 5172 \frac{684}{2253}
\leq x \leq 5225 \frac{795}{2253} (ugyanis a használt szorzó pozitív).

Az x-re nyert korlátok között egyetlen kerek százas van, így x=5200 Ft. Ennyit kaptak tehát összesen, amib?l a legfiatalabb jutalmát, 980 Forintot levonva kapjuk, hogy az id?sebb 3 dolgozó összesen 4220 Forintot kapott.


3. feladat. Egy nemzetközi bizottság 5 tagból, 5 állam 1-1 képvisel?jéb?l áll. Azokat az iratokat, amelyeken a bizottság dolgozik, páncélszekrényben ?rzik. Hány zárjának kell lennie a szekrénynek, hogy az iratokhoz csak akkor lehessen hozzáférni, ha a bizottságnak legalább három, tetszés szerinti tagja együtt van?
  (A) 8
  (B) 10
  (C) 15
  (D) 16
  (E) 18

Helyes válasz: B

Indoklás: Mivel legalább három ember kell a szekrény kinyitásához, ezért bárhogyan is választunk ki két személyt a bizottság tagjai közül, biztosan lesz olyan kulcs, ami nincs náluk. Ha pedig lenne olyan kulcs, ami három tagnak nincs meg, akkor ?k együtt nem tudnák kinyitni a szekrényt. Ezek szerint minden egyes kulcs pontosan 2 embernek hiányzik az ötb?l és két tetsz?leges különböz? párhoz két különböz? olyan kulcs tartozik, ami náluk nincs. Tehát legalább annyi zár van, ahányféleképpen 5 bizottsági tagból 2-t kiválaszthatunk, azaz \binom{5}{2} = 10. Ennyi zárral meg is valósítható a megfelel? kulcs kiosztás, pl. ha az 1., 2., ..., 10. zárhoz rendre az 1 és 2., 1. és 3., 1. és 4., 1. és 5., 2. és 3., 2. és 4., 2. és 5., 3. és 4., 3. és 5., 4. és 5. embernek nincs kulcsa.


4. feladat. Egy sakkversenyen 8 játékos vett részt, mindegyikük minden versenytársával egyszer játszott. Minden versenyz? más-más számú pontot szerzett. Aki a második díjat kapta, annyi pontot szerzett, mint az utolsó négy helyezett együttvéve. Mi volt a III. és a VII. helyezett mérk?zésének eredménye? (A nyertes mindig 1 pontot, a vesztes 0-t kap, döntetlen esetén pedig 0,5-0,5 pont jár.)
  (A) döntetlen
  (B) a III. nyert
  (C) a VII. nyert
  (D) csak annyit tudunk, hogy nem döntetlen
  (E) ezen adatok alapján semmit nem mondhatunk

Helyes válasz: B

Indoklás: Mindegyik játékos 7 mérk?zést játszott, így az I. helyezettnek legfeljebb 7 pontja lehet, a II.-nak pedig legfeljebb 6. Ha ugyanis a II.-nak 6,5 pontja lenne, vagyis a lehet?ségéhez képest csupán 0,5 pont lenne a vesztesége, akkor az I.-vel való játszmában is szerzett volna legalább 0,5 pontot, így pedig az I. helyezett sem érhette volna el a 7 pontot; egyenl? lenne a pontszámuk - a feladat feltételeivel ellentétben.

Másrészt a II. helyezettnek legalább 6 pontja volt, ugyanis ugyanannyi volt, mint az V.-VIII. helyezetteknek együttvéve, az utóbbiak pontszáma közt pedig mindenesetre szerepel az egymás között lejátszott 6 mérk?zés utáni 6 pont. Eszerint a II. helyezett pontszáma és az V.-VIII. helyezettek együttes pontszáma pontosan 6, így az utóbbiak az I.-IV. helyezett?l egyetlen pontot sem szereztek. Tehát a kérdéses mérk?zést a III. helyezett nyerte meg.


5. feladat. Egy játékboltban 6-féle plüssállatot árulnak, melyek mindegyikéb?l van b?ven a raktárban. Ezekb?l szeretnénk venni 10 darabot. Kérdés, hogy ezt hányféleképpen tehetjük meg? (Az állatokat nyilván csak fajtájuk alapján különböztetjük meg.)
  (A) 720
  (B) 2406
  (C) 3003
  (D) 5005
  (E) 1000000

Helyes válasz: C

Indoklás: Minden lehetséges vásárlás jellemezhet? egy 0-1 sorozattal a következ?képpen: felírunk annyi 1-est, ahány darabot vettünk az els?féle állatkából, majd egy 0-t, utána annyi 1-est, amennyit a második fajtából vettünk és így tovább. Ha valamelyikb?l egyet se vittünk haza, akkor ott két 0 áll egymás mellett a sorozatban. Ezek szerint minden egyes vásárlásnak megfeleltettünk egy sorozatot, és minden sorozathoz egyetlen vásárlás tartozik. Innent?l tehát az a kérdés, hogy hány olyan 0-1 sorozat van, melyben 5 db 0 és 10 db 1-es van. Ez pedig pont \binom{15}{10} = 3003.

Megjegyzés: Ez pont n elem k-adosztályú ismétléses kombinációját jelenti, tehát amikor n elemb?l kiválasztunk k darabot úgy, hogy a sorrend nem számít, de az elemek többször is szerepelhetnek: \binom{n+k-1}{k}=\binom{15}{10}.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley