KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Gondoltam egy számra, ami 7-tel osztva 6 maradékot, 4-gyel osztva pedig 1 maradékot ad. Hány lesz a maradék 28-cal osztva?
  (A) 1
  (B) 6
  (C) 9
  (D) 13
  (E) 15

Helyes válasz: D

Indoklás: A keresett maradék legyen k, így a gondolt szám 28z+k alakú (k és z egészek), valamint 0\leqk\leq27.

Ha ezt elosztjuk 7-tel, akkor - mivel 28z 0 maradékot ad 7-tel osztva - k 7-tel való osztási maradékát kapjuk, ami a feltételek szerint 6. Ugyanígy megnézzük 28z+k osztási maradékát 4-gyel, ami pontosan k 4-gyel való osztási maradékával egyenl?. Összefoglalva k egy 0 és 27 közötti pozitív egész, ami 7-tel osztva 6-ot, 4-gyel osztva pedig 1-et ad maradékul. Az el?bbi miatt a 6,13,20,27, az utóbbi miatt pedig az 1,5,9,13,17,21,25 közül kerül ki a keresett k. A két halmaznak pedig egyedül a 13 a közös eleme, ami megegyezik a gondolt szám 28-cal való osztási maradékával.


2. feladat. Ha 21 darab, egymást követ? páratlan szám összege 1029, akkor mennyi közülük a legnagyobb?
  (A) 53
  (B) 57
  (C) 59
  (D) 63
  (E) 69

Helyes válasz: E

Indoklás: Jelölje a legkisebb számot 2k+1 (k egész szám), a legnagyobbat pedig 2k+41. Ez jó, hiszen 21 szám lévén az els?höz 20.2-t kell hozzáadni, hogy az utolsót kapjuk. A középs? szám ekkor 2k+21. Tehát a következ? egyenl?séget ismerjük:

(2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + \ldots + (2k+19)+(2k+21)+(2k+23) \ldots + (2k+37)
+ (2k+39) + (2k+41) = 1029.

Ezt átcsoportosítva (az els?t az utolsóval, a másodikat az utolsó el?ttivel, a 10.-et a 12.-kel adva össze) kapjuk, hogy:

[(2k+1) + (2k+41)]+[(2k+3) + (2k+39)]+[(2k+5) +(2k+37)]+\ldots+ [(2k+19) + (2k+23)]+ (2k+21)=1029,

[4k+42]+[4k+42]+[4k+42]+\ldots+ [4k+42]+ (2k+21)=1029,

10.[4k+42]+(2k+21)=1029.

42k+441=1029,

amib?l k=14.

Így a legnagyobb szám 2k+41=2.14+41=69.


3. feladat. Hányféleképpen ülhet le a moziban egymás mellé 4 lány és 5 fiú, ha lány lány mellett, illetve fiú fiú mellett nem foglalhat helyet?
  (A) 2440
  (B) 2880
  (C) 3720
  (D) 3760
  (E) 362880

Helyes válasz: B

Indoklás: Mivel fiú csak lány mellé ülhet és viszont, így a 9 hely közül az els?re fiú, a másodikra lány, a harmadikra megint fiú kerül és így tovább. Azaz FLFLFLFLF lesz az ülésrend. A fiúk persze egymáshoz képest akármilyen sorrendben ülhetnek: az els? helyre 5-féleképpen választhatunk valakit, a harmadikra már csak 4-féleképpen stb., azaz a lehetséges sorrendjük 5.4.3.2.1=120. Ugyanígy a lányoknál 4.3.2.1=24 lehet?ség adott. Ezen kívül a fiú ülésrendek bármelyike el?fordulhat a lányok ülésrendjének minden verziójánál, azaz a számokat össze kell szoroznunk, így 120.24=2880 lehet?séget kapunk.


4. feladat. Van két kockánk és egy gömbünk. Az egyik kocka és a gömb együttes tömege háromszorosa a másik kockáénak, illetve ezen utóbbi kocka és a gömb együttes tömege négyszerese az el?z? kocka tömegének. Mennyi a két kocka tömegének összege, ha a gömb 11 kilogrammot nyom?
  (A) 8
  (B) 9
  (C) 10
  (D) 11
  (E) nem lehet meghatározni

Helyes válasz: B

Indoklás: Jelölje az els? kocka tömegét k, a másodikét l, a gömbét pedig g. A feladat alapján tudjuk, hogy k+g=3l és l+g=4k, ahol g-r?l ismert, hogy 11. Most vonjuk ki a második egyenletb?l az els?t, így kapjuk, hogy: l-k=4k-3l, azaz rendezve 4l=5k. Ezek szerint l = \frac54 k. Ezzel behelyettesíthetünk az egyik egyenletbe, mondjuk az els?be, így:

k+g=3l

k+11=3 \cdot
\frac54 k

11 = \frac{15}{4} k - k

11=\frac{11}{4} k,

amib?l k=4-et kapjuk, az l=5 pedig értelemszer?en adódik. Tehát a két kocka együttes tömege 5+4=9 kilogramm.


5. feladat. Az ábrán látható három téglalapot úgy helyeztük el egymáson, hogy fedésben legyenek, méghozzá a következ?képpen: A és B 5, A és C 6, B és C pedig 6 egységnégyzetnyi területen fedik egymást. Ezen kívül A 13, B 14, C pedig 15 egységnégyzet terület?, valamint a síkon összesen 27 egységnégyzetnyi területet fednek le. Mekkora területen fedi egymást mindhárom téglalap? (Figyelem, az ábra nem arányos!)


  (A) 1
  (B) 1,5
  (C) 2
  (D) 3
  (E) 3,5

Helyes válasz: C

Indoklás: A különböz? téglalapok és metszeteik által fedett részek területét jelöljük a szokásos módon, azaz pl. A\capB az A és B által együttesen fedett rész, és a keresett terület A\capB\capC. Legyen A\capB\capC=x, ekkor A\capB\C=5-x, A\capC\B=6-x és B\capC\A=6-x. Legyenek A', B' és C' rendre az A, B és C más téglalap által nem fedett részei (azaz ahol nincs semmilyen közös fedés). Tehát A'=A-(A\capB\C)-(A\capC\B)-(A\capB\capC)=13-(5-x)-(6-x)-x=2+x, ugyanígy számolható B'=3+x és C'=3+x is. Így a teljes lefedett rész =27=A'+B'+C'+(A\capB\C)+(A\capC\B)+(B\capC\A)+(A\capB\capC)=(2+x)+(3+x)+(3+x)+(5-x)+(6-x)+(6-x)+x=25+x, azaz 27=25+x, amib?l x=2.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley