KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Informatika feladatok, 11-12 osztály

1. feladat. Az alábbiak közül melyik TeX-parancs végeredménye lesz lényegesen eltér? a másik négyét?l?
  (A) $\frac{a}{\frac{b}{c}}$
  (B) $\frac{\frac{ab}c}$
  (C) $\frac{\frac{a}b}{c}$
  (D) $\frac{\frac{a}{b}}c$
  (E) $\frac{a}{\frac{b}c}$

Helyes válasz: B

Indoklás: Az A, C, D, E válaszok mindegyike az a/b/c emeletes törtet jeleníti meg (ezt egy TeX-fordító segítségével is ellen?rizhetjük), a B válasz pedig szintaktikailag is hibás, ugyanis a küls? tört nevez?je nincs megadva.


2. feladat. Egy Wordben írt - dönt?en egyszer? folyó szöveget tartalmazó - dokumentum egészét kijelöltük, majd a Ctrl-5 billenty?kombinációt alkalmaztuk, így a szöveg pont 15 A4-es oldalt tölt be. Hány oldalas lesz (A4-es papírméretben, ugyanakkora margókkal számolva) a dokumentum, ha a teljes szöveg kijelölése után a Ctrl-2 billenty?kombinációt alkalmazzuk?
  (A) 5
  (B) 6
  (C) 10
  (D) 20
  (E) 30

Helyes válasz: D

Indoklás: A Ctrl-5 billenty?parancs a másfeles sorköz gyorsbillenty?je, míg a Ctrl-2 a dupla sorközé. Így ha másfelesr?l duplára állítjuk a sorközt, az anyag terjedelme \frac2{1,5}-szeresére n?, vagyis 20 oldalas lesz.


3. feladat. Az alábbiak közül melyik intervallumban helyezkedik el az x5-5x3+2=0 egyenlet valós gyökeinek legnagyobbika?
  (A) [0,8 ; 1,2]
  (B) [1,2 ; 2]
  (C) [2 ; 2,4]
  (D) [2,4 ; 2,8]
  (E) [2,8 ; 3,4]

Helyes válasz: C

Indoklás: Az egyenletnek három valós és két komplex gyöke van. A gyökök meghatározásához használjunk valamilyen numerikus programot, például Derive-ot vagy Maple-t.

A következ? Maple-parancs az összes gyököt felsorolja:

> evalf(solve(x^5-5*x^3+2=0,x));

A kapott végeredményb?l leolvasható, hogy a legnagyobb valós gyök közelít? értéke x5\approx2,193.


4. feladat. Folytonos függvények adott intervallumon vett integrálját (a görbe és az x tengely közötti terület el?jeles nagyságát) kiszámíthatjuk úgy, hogy az intervallumot n egyenl? részre osztjuk, majd az integrált alulról és felülr?l közelítjük az intervallumokon felvett minimális és maximális függvényérték-magasságú téglalapok területösszegével. Ha n-et növeljük, az alsó és fels? közelít?összegek egyre inkább megközelítik egymást, így viszonylag pontos értéket kapunk az integrálra.

Speciálisan, ha a függvény monoton növ?, akkor az intervallumokon felvett minimum, illetve maximum értéke megegyezik az intervallum bal, illetve jobb végpontjában felvett függvényértékkel. Az alábbi példában az f(x)=x2 függvény integrálját közelítjük az [a,b]=\left[\frac12,2\right] intervallumon, n=3 részre történ? felosztással:

Az 1. ábrán látható sötétített területet akarjuk közelíteni. Az alsó közelít?összeg a 2. ábrán látható három sötétített téglalap területösszege: s_f=\frac12\cdot\left[f\left(\frac12\right)+f(1)+f\left(\frac32\right)\right] = \frac12\cdot\left(\frac14+1+\frac94\right) = \frac74. A fels? közelít?összeg pedig a 3. ábrán látható három sötétített téglalap területösszege: S_f=\frac12\cdot\left[f(1)+f\left(\frac32\right)+f(2)\right] = \frac12\cdot\left(1+\frac94+4\right) = \frac{29}8. Az adott közelítés pontossága |S_f-s_f|=\frac{15}8.

Feladatunkban az f(x)=x3 függvény integrálját szeretnénk közelíteni a [0,3] intervallumon. Legalább mekkora n-et kell választanunk a felosztás elemszámának, hogy a közelítés pontossága (a fels? és alsó közelít? összeg különbsége) 1-nél kisebb legyen?
  (A) 10
  (B) 25
  (C) 47
  (D) 82
  (E) 97

Helyes válasz: D

Indoklás: A mellékelt Excel-táblázatban n értékét változtatva figyelemmel kísérhetjük a pontosság változását, amely n=82-nél megy el?ször 1 alá.

Megjegyzés: a hosszú számítás lényegesen leegyszer?síthet?, ha észrevesszük, hogy a fels? közelít? téglalapokat eggyel jobbra eltolva pont alsó közelít? téglalapokat kapunk, így a keresett |Sf-sf| érték egyszer?bb alakjában éppen az utolsó fels? és az els? alsó közelít? téglalap területének különbsége.


5. feladat. Egy országban 12 nagyváros található, amelyek közül bizonyosak között egyirányú repül?járatok közlekednek. A mellékelt szövegfájl tartalmazza a járatok adatait: minden sor egy járatot ír le, a sorban szerepl? els? szám a kiindulási város, a második az érkezési város sorszáma. (Például az els? sorban szerepl? 1 4 azt jelenti, hogy az 1. városból a 4. városba közlekedik repül?járat - ez azonban nem jelenti azt, hogy a 4. városból is utazhatnánk az 1.-be.)

Egy biztosítási ügynök az 1. városból kiindulva, repül?vel utazva szeretné körbejárni a 12 várost úgy, hogy minden várost pontosan egyszer érintsen, majd a legvégén visszaérjen az 1. városba. Útja során melyik sorszámú várost érinti ötödikként (ha az 1. várost tekintjük útvonala els? állomásának)?
  (A) nem létezik a feltételeknek megfelel? útvonal
  (B) 4.
  (C) 7.
  (D) 11.
  (E) nem egyértelm?, mert többféle útvonal is lehetséges

Helyes válasz: D

Indoklás: Nem túl hatékony, de viszonylag könnyen programozható algoritmus, ha vesszük a városok összes lehetséges (12!-féle) sorrendjét, majd mindegyikre megnézzük, hogy az adott sorrendben bejárhatók-e a városok (létezik-e bármely két egymás után következ? város között repül?út az adott irányban). S?t, mivel az 1. városból indulunk, a lehet?ségek száma "csak" 11! lesz. A mellékelt Pascal-program az összes permutációt ellen?rzi legfeljebb néhány percen belül. A programot futtatva egyetlen helyes sorrendet kapunk, ez a következ?: 1,9,7,3,11,12,6,5,8,2,4,10,1. Így tehát az ötödikként érintett város a 11. sorszámú lesz.

Megjegyzés: a feladat gráfelméleti megfogalmazásban Hamilton-kör keresését kéri egy 12 pontú irányított gráfban (ahol a csúcsok a városok, az élek pedig a repül?utak). Egy általános gráfban Hamilton-kör keresésére nem ismert "gyors" algoritmus, azaz olyan, amelynek futási ideje nagyságrendileg a pontok számának valamilyen pozitív egész kitev?j? hatványával felülr?l becsülhet? lenne.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley