KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 7-8 osztály

1. feladat. Melyik az a legnagyobb pozitív egész szám, amellyel biztosan osztható öt egymást követ? pozitív egész szám szorzata?
  (A) 10
  (B) 12
  (C) 30
  (D) 120
  (E) 240

Helyes válasz: D

Indoklás: Vizsgáljuk meg a szorzat prímtényez?it! Az öt szám között legalább két páros van, amelyek egyike 4-gyel is biztosan osztható, ez így három 2-es prímtényez?t jelent a szorzatban. Az öt számból legalább egy osztható 3-mal, egy pedig 5-tel. Az 5-nél nagyobb prímtényez?kr?l már nem állíthatunk biztosat, el?fordulhat, hogy ezek közül egy sem szerepel a szorzatban.

A legnagyobb osztó tehát 23.3.5=120. Ennél nagyobb valóban nem lehet az osztó, hiszen például 1.2.3.4.5=120-nak nyilván nincsen önmagánál nagyobb osztója.


2. feladat. Egy sakkversenyen csak húszan indultak, így a rendez?k úgy döntöttek, hogy mindenki játszik mindenkivel. Hány mérk?zés volt összesen ezen a versenyen?
  (A) 145
  (B) 152
  (C) 176
  (D) 184
  (E) 190

Helyes válasz: E

Indoklás: Számoljuk össze a játszámákat! Az 1. játékos a többi 19 versenyz? mindegyikével játszott. A 2. játékosnak egy meccsét már számoltuk (amelyet az 1. ellen játszott), így már csak a többi 18 elleni mérk?zést kell vennünk. Hasonlóképpen a 3. játékosnak 17, a 4. játékosnak 16, ..., a 19. játékosnak 1 mérk?zését kell még megszámolnunk. Így az összes játszma száma 19+18+\ldots+1, amit kézzel is kiszámolhatunk, de alkalmazhatjuk rá a Gauss-féle összegzési módszert is, így a végeredmény \frac{(19+1)\cdot19}2=190.

Az eredményt másképp is megkaphatjuk: egy tetsz?leges mérk?zés els? résztvev?jét 20, a másodikat 19-féleképpen választhatjuk ki (hiszen önmagával senki sem játszik). Így azonban minden mérk?zést kétszer számoltunk (például az 1-5. közötti meccset 5-1. formában is), tehát az eddigi lehet?ségeket feleznünk kell, így a végeredmény \frac{20\cdot19}2=190.


3. feladat. Egy vonat 36 km/óra állandó sebességgel haladt. Ez a vonat egy egyenes pályán A városból B városba érve 9 percet késett. Ha a vonat 27 km/óra sebességgel haladt volna ugyanezen az úton, akkor 39 percet késett volna. Milyen távol van egymástól a két város?
  (A) 9 km
  (B) 18 km
  (C) 27 km
  (D) 54 km
  (E) 72 km

Helyes válasz: D

Indoklás: A második esetben a vonat óránként 9 km-rel kevesebbet tenne meg, mint az els? esetben, és így 30 perccel több id?re lenne szüksége a táv teljesítéséhez. Jelölje a két város távolságát (kilométerben mérve) s, az els? esetben szükséges id?t pedig (órában mérve) t, ekkor az s=v.t összefüggés alapján felírhatjuk a következ?t: s=36.t=27.(t+0,5).

A 36.t=27.(t+0,5) egyenletet megoldva t=1,5 adódik, amib?l s=54 kilométer a két város távolsága.


4. feladat. Írjuk fel egymás után folytonosan a négyzetszámokat 1-t?l 100-ig (14916...100), majd húzzunk ki a kapott számból 8 számjegyet úgy, hogy a megmaradt szám a lehet? legnagyobb legyen. Mennyi a kihúzott számok összege?
  (A) 20
  (B) 26
  (C) 27
  (D) 30
  (E) 31

Helyes válasz: B

Indoklás: Az eredeti szám 149162536496481100, ami 18-jegy?, így a 8 számjegy kihúzása után kapott szám biztosan 10-jegy? lesz. Arra kell törekednünk, hogy a 10-jegy? szám elején minél nagyobb számjegyek álljanak. A legels? számjegy úgy lehet 9-es, ha a szám elejér?l az 1-et és a 4-et kihúzzuk. Ekkor a 9162536496481100 számból kell még 6 jegyet kihúznunk. A 9-es utáni legnagyobb számjegy a 6-os lehet, ha a köztük lév? 1-est töröljük. Ekkor a 962536496481100 számot kapjuk, ebb?l még 5 jegyet törölhetünk. Ha a 2, 5, 3, 6, 4 jegyeket húzzuk ki, még egy 9-est el?re tudunk hozni, így érjük el a lehetséges legnagyobb végeredményt, a 9696481100-at. A kihúzott számok összege tehát 1+4+1+2+5+3+6+4=26.


5. feladat. Sík talajon egy 25 méter magas kilátóból a vízszintes irányhoz képest 30°-os szögben fölfelé nézve 150 méterre látszik egy TV-torony teteje. Milyen magas a torony, ha annak alja a kilátó aljával egy magasságban van?
  (A) 85 m
  (B) 90 m
  (C) 100 m
  (D) 125 m
  (E) 150 m

Helyes válasz: C

Indoklás: Készítsünk ábrát! Jelölje a kilátó alapját A, csúcsát K, a torony alapját B, csúcsát T. Húzzunk párhuzamosat K-n keresztül AB-vel, ennek és BT-nek metszéspontját jelölje L.

Ekkor a KLT derékszög? háromszögben KT=150 méter, továbbá K-nál 30°-os szög van, így a vele szemközti befogó fele olyan hosszú, mint az átfogó. Vagyis TL=75 méter, valamint LB=KA=25 méter, így a TV-torony 100 méter magas.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley