KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A korábban kitűzött feladatok és megoldásuk

  Hírek, hirdetések    Játekszabályok    Az aktuális feladatok    Eredmények    A korábbi feladatok    Regisztráció  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
MatematikaFizikaInformatika
2011. május 23. - 2011. június 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. április 18. - 2011. május 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. március 16. - 2011. április 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. február 7. - 2011. március 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2011. január 3. - 2011. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. november 29. - 2010. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. október 25. - 2010. november 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. május 31. - 2010. július 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. április 26. - 2010. május 27. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. március 22. - 2010. április 22. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. február 15. - 2010. március 18. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2010. január 11. - 2010. február 11. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. november 30. - 2009. december 31. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. október 19. - 2009. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. június 8. - 2009. július 9. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. április 27. - 2009. május 28. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. március 25. - 2009. április 25. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. február 16. - 2009. március 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2009. január 7. - 2009. február 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. december 1. - 2009. január 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. október 20. - 2008. november 19. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. május 21. - 2008. június 21. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. április 14. - 2008. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. március 10. - 2008. április 10. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. február 4. - 2008. március 5. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2008. január 3. - 2008. február 1. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. november 16. - 2007. december 16. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. október 15. - 2007. november 13. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. május 17. - 2007. június 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. április 16. - 2007. május 15. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. március 8. - 2007. április 6. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. február 6. - 2007. március 8. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2007. január 4. - 2007. február 3. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. november 30. - 2006. december 30. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
2006. október 24. - 2006. november 23. 1-6. osztályosok
7-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok
1-8. osztályosok
9-10. osztályosok
11-12. osztályosok

Matematika feladatok, 9-10 osztály

1. feladat. Egy 8×8-as sakktábla egyik sarokmez?jét levágtuk, és a maradék részt szeretnénk egybevágó háromszögekkel egyrét?en lefedni. Legalább hány háromszögre van szükségünk?
  (A) 14
  (B) 16
  (C) 17
  (D) 18
  (E) 22

Helyes válasz: D

Indoklás: Válasszuk egységnek a tábla egy kis négyzetének az oldalát. Így a lefedend? rész területe pontosan 63 egységnégyzet. Ha nézzük a levágott mez? bels? csúcsába futó oldalakat tartalmazó háromszögeket, akkor ez a bels? csúcs legalább az egyiknek csúcsa, különben a mondott oldalak ott metszenék egymást. Abban a háromszögben, ahol ez a bels? csúcs ugyancsak csúcs, a levágott darab peremén lév? oldal legfeljebb egységnyi, és a hozzá tartozó magasság legfeljebb 7. Így a fed? rendszerben a háromszögek területe legfeljebb \frac72 egység, számuk pedig legalább 63 :
\frac72 = 18. Ennyi háromszög pedig elég is lesz, mint az ábra is szemlélteti.


2. feladat. Gondoltunk 5 számot, melyeket páronként összeadva a következ?ket kapjuk: 0; 2; 4; 4; 6; 8; 9; 11; 13; 15. Ha növekv? sorrendbe állítjuk ezt az 5 számot, vajon mi lesz a középs??
  (A) -1
  (B) 0
  (C) 1
  (D) 2
  (E) 3

Helyes válasz: E

Indoklás: Ismeretes, hogy 5 számból 10 pár képezhet?, s mivel a felsoroltak között nincs 3 egyforma érték, mind az 5 szám különböz?. Jelöljük ?ket növekv? sorrendbe állítva a,b,c,d,e-vel. A 10 összeget összeadva 72-t kapunk. Mivel mindegyik szám pontosan 4 párban szerepel, ezért a+b+c+d+e=72:4=18. A tíz összeg legkisebbike a+b, legnagyobbika pedig d+e, ahol a+b=0 és d+e=15. Tehát c=a+b+c+d+e-(a+b)-(d+e)=18-0-15=3.


3. feladat. Franciaország történetében 1700 és 1900 között két fontos gy?zelmet jegyeztek föl április 22. napján. Ezek közül melyik lehet a kés?bbi évszám, ha tudjuk a következ?ket: 1. Az els? és a második gy?zelem között pontosan 4382 nap telt el. 2. A számjegyek összege az els? gy?zelem évszámában 23.
  (A) 1781
  (B) 1790
  (C) 1799
  (D) 1808
  (E) 1871

Helyes válasz: D

Indoklás: A két gy?zelem között 4382 nap telt el, években kifejezve 4382=12.365+2, azaz 12 év, melyb?l pontosan 2 szök?év. Az 1582 óta használatos Gergely-naptár szerint a 4-gyel osztható évszámú évek szök?évek, kivételt képeznek ezek alól a 100-zal oszthatóak, melyek közül csak a 400-zal oszthatók szök?évek. Ezért a 12 év között csak úgy lehet pontosan 2 szök?év, ha tartalmaz századfordulót ez az id?szak. 1700 és 1900 nem jöhet szóba a feltétel miatt, így ez a századforduló 1800. Tehát az els? gy?zelem id?pontja 1788 és 1800 közé esik, s ebben az intervallumban csak 1796 tesz eleget a második kikötésnek. Így a kés?bbi gy?zelem évszáma 1808.

Megjegyzés: 1796. április 22-én Napóleon az itáliai hadjárat során Mondoviánál legy?zi a piemonti seregeket, 1808. április 22-én pedig elfoglalja Madridot.


4. feladat. Az ABC egység oldalú szabályos háromszög belsejében felveszünk egy P pontot, melynek az AB oldalra vett vetülete C1, az AC-re B1, a BC-re pedig A1. Hány egység AC1+BA1+CB1?
  (A) 1
  (B) \frac{3}{2}
  (C) \frac{3}{5}
  (D) 2
  (E) \frac{5}{3}

Helyes válasz: B

Indoklás: A P ponton át húzzunk párhuzamost a háromszög mindhárom oldalával. Így felbontottuk a háromszöget 3 paralelogrammára és 3 kis szabályos háromszögre. Ez utóbbiak oldalait jelölje rendre x,y,z. A PA1, PB1, PC1 szakasz az ?t tartalmazó kis háromszögnek magasságvonala, így felezi a szemközti oldalt. Emiatt

AC_1 + BA_1 + CB_1 = ( y + \frac{z}{2} ) + ( z + \frac{x}{2} ) + (
x + \frac{y}{2} ) = \frac32 (x+y+z),

ahol x+y+z=AB=1, hiszen az eredeti háromszög minden oldalán x,y,z pontosan egyszer fordul el?. Tehát a kérdéses összeg \frac32.


5. feladat. Hány a,b természetes számokból álló számpár teljesíti a 90<a+b<100 és 0,9 < \frac{a}{b} < 0,91 egyenl?tlenségeket egyszerre?
  (A) 1
  (B) 2
  (C) 3
  (D) 4
  (E) 5

Helyes válasz: B

Indoklás: A második egyenl?tlenséget b-vel szorozva, majd b-t hozzáadva 1,9b<a+b<1,91b adódik. Ezt az els? egyenl?tlenséggel egybevetve kapjuk, hogy 90<1,91b és 1,9b<100, azaz \frac{90}{1,91} < b < \frac{100}{1,9}, s mivel b egész, ebb?l 48\leqb\leq52. Erre a lehetséges 5 értékre megvizsgáljuk, hogy létezik-e megfelel? a, azaz egész szám 0,9b és 0,91b között. Ekkor azt kapjuk, hogy csak az a=46,b=51 és a=47,b=52 pár ad jó megoldást.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley