Problem A. 502. (February 2010)
A. 502. Prove that for arbitrary complex numbers w1,w2,...,wn there exists a positive integer k2n+1 for which .
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A w1,...,wn számokhoz vegyük hozzá a komplex konjugáltjaikat is; legyen , ..., .
Legyen
az a valós együtthatós polinom, amelynek komplex gyökei a w1,...,w2n számok, és legyen A2n+1=A2n+2=...=0.
Legyen
Mivel
az állítás ekvivalens azzal, hogy az S1,S2,...,S2n+1 (szintén valós) számok között van nemnegatív.
A továbbiakban felhasználjuk az úgynevezett Newton-Girard formulákat (lásd pl. itt vagy itt): tetszőleges k pozitív egészre
Az A1,...,A2n+1 számok között van legalább egy nempozitív, mert például A2n+1=0. Legyen Am az első nempozitív. Ekkor 1m2n+1, és A1,...,Am-1 mind pozitív. Az m-edik Newton-Girard formula szerint
A baloldalon az S1,...,Sm számoknak egy olyan lineáris kombinációja áll, amiben minden együttható pozitív. Mivel a jobboldalon álló -mAm nemnegatív, az S1,...,Sm számok között is van legalább egy nemnegatív.
Megjegyzések. Az állítás éles abban az értelemben, hogy S1,...,S2n lehet egyszerre negatív. Például esetén (és ).
2. Az állítás Turán Pál On a new method of analysis and its applications című könyvéből származik.
Statistics:
3 students sent a solution. 5 points: Backhausz Tibor, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010