Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem A. 502. (February 2010)

A. 502. Prove that for arbitrary complex numbers w1,w2,...,wn there exists a positive integer k\le2n+1 for which \mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) \ge 0.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A w1,...,wn számokhoz vegyük hozzá a komplex konjugáltjaikat is; legyen w_{n+1}=\overline{w_1}, ..., w_{2n}=\overline{w_n}.

Legyen

(x-w_1)(x-w_2)\ldots(x-w_{2n}) = x^{2n}+A_1x^{2n-1}+\ldots+A_{2n-1}x+A_{2n}

az a valós együtthatós polinom, amelynek komplex gyökei a w1,...,w2n számok, és legyen A2n+1=A2n+2=...=0.

Legyen

S_k = w_1^k+x_2^k+\ldots+w_{2n}^k.

Mivel

\mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) = \frac12 \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_{2n}^{k}\big) = \frac12 S_k,

az állítás ekvivalens azzal, hogy az S1,S2,...,S2n+1 (szintén valós) számok között van nemnegatív.

A továbbiakban felhasználjuk az úgynevezett Newton-Girard formulákat (lásd pl. itt vagy itt): tetszőleges k pozitív egészre

S_k + A_1S_{k-1} + A_2S_{k-2} + \ldots + A_{k-1}S_1 + kA_k = 0.

Az A1,...,A2n+1 számok között van legalább egy nempozitív, mert például A2n+1=0. Legyen Am az első nempozitív. Ekkor 1\lem\le2n+1, és A1,...,Am-1 mind pozitív. Az m-edik Newton-Girard formula szerint

S_{m}+A_1S_{m-1}+A_2S_{m-2}+\ldots+A_{m-1}S_1 = -m A_m \ge 0 .

A baloldalon az S1,...,Sm számoknak egy olyan lineáris kombinációja áll, amiben minden együttható pozitív. Mivel a jobboldalon álló -mAm nemnegatív, az S1,...,Sm számok között is van legalább egy nemnegatív.

Megjegyzések. Az állítás éles abban az értelemben, hogy S1,...,S2n lehet egyszerre negatív. Például w_j=\cos\frac{2\pi j}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi j}{2n+1} esetén S_1=\ldots=S_{2n}=-1 (és A_1=\ldots=A_{2n}=1).

2. Az állítás Turán Pál On a new method of analysis and its applications című könyvéből származik.

Statistics:

3 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010