Problem A. 505. (March 2010)
A. 505. In a cyclic quadrilateral ABCD, the points O1 and O2 are the incenters of triangles ABC and ABD, respectively. The line O1O2 meets BC and AD at E and F, respectively.
(a) Show that there exists a circle k which touches the lines BC and AD at E and F, respectively.
(b) Prove that k also touches the circumcirlce of ABCD.
Proposed by: János Nagy, Budapest)
(5 pont)
Deadline expired on April 12, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. (a) Jelöljük a körülírt kört k0-lal, és legyen G,H,I rendre a kör AB, BC, DA íveinek felezőpontja. Az ABC háromszögben AH és CG szögfelezők, tehát O1 ezek metszéspontja; hasonlóan O2 a BI és DG húrok metszéspontja. Ismert továbbá, hogy O1 és O2 rajta van a G középpontú, A-n és B-n átmenő körön. Az O1O2G háromszög tehát egyenlő szárú.
A CO1E és DO2F háromszögekben
és
CO1E=GO1O2=O1O2G=FO2D,
tehát FEC=DFE. Ebből pedig következik, hogy létezik a BC egyenest E-ben, az AD egyenest F-ben érintő k kör.
(b) Legyen az AB és EF egyenesek metszéspontja P, a PG egyenes és k0 második metszéspontja T. (Ha AB és EF párhuzamosak, akkor P a két egyenes ideális pontja és T=G.)
A Pascal-tételt az ABCGTH (piros) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy ABGT=P, CGHA=O1 és BCTH egy egyenesen van; következésképp a TH egyenes átmegy az E ponton. Hasonlóan, a Pascal-tételt a BADGTI (zöld) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy a TI egyenes átmegy az F ponton.
A k0 körhöz H-ban és I-ben, illetve a k-hoz E-ben és F-ben húzott érintők párhuzamosak. Ezért a HE egyenes és az IF egyenes is átmegy a két kör külső hasonlósági pontján. Tehát HEIF=T a két kör külső hasonlósági pontja. De a hasonlósági pont csak akkor lehet rajta valamelyik körön, ha a két kör érinti egymást.
(A fenti megoldás Ilja Bogdanovtól származik.)
Statistics:
8 students sent a solution. 5 points: Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010